10.2用样本估计总体第十章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.结合实例,能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数),理解集中趋势参数的统计含义.2.结合实例,能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差),理解离散程度参数的统计含义.3.结合实例,能用样本估计总体的取值规律.4.结合实例,能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义.\n备考指导用样本估计总体在高考中主要以选择题或填空题的形式出现,在概率、统计的解答题中也时有体现,难度中等,主要考查用样本估计总体这一思想方法,重点突出对频率分布直方图及样本数字特征的考查.复习本节知识应注意多结合具体的实际问题,进一步加强通过对数据的分析进行决策的能力.本节在素养方面要加强逻辑推理、数学运算、直观想象的培养,进一步体会统计思维与确定性思维的差异,形成对数据处理过程进行初步评价的意识.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.画频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差).(2)决定组距与组数.(3)将数据分组.(4)列频率分布表.(5)画频率分布直方图.\n2.百分位数(1)第p百分位数的定义:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.(2)求第p百分位数的步骤:第1步,按从小到大排列原始数据.第2步,计算i=n×p%.第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.\n(3)常用的分位数有第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数,这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等,第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.\n3.平均数、中位数、众数\n平均数和中位数在频率分布直方图中的关系,有以下三种分布形态.(1)(2)(3)一般来说,对于一个单峰的频率分布直方图来说,如果直方图的形状是对称的(如图(1)),那么平均数和中位数应该大体上差不多;如果直方图在右边“拖尾”(如图(2)),那么平均数大于中位数;如果直方图在左边“拖尾”(如图(3)),那么平均数小于中位数.\n问题思考在频率分布直方图中,如何确定中位数?在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等.\n温馨提示1.方差、标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,方差、标准差越大,数据的离散程度越大;方差、标准差越小,数据的离散程度越小.2.在实际问题中,总体平均数、总体方差和总体标准差都是未知的,一般用样本估计总体.在随机抽样中,样本平均数、样本方差和样本标准差依赖于样本的选取,具有随机性.\n\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.()(2)一组数据的众数可以是一个或多个,中位数也具有相同的结论.()(3)上四分位数就是第25百分位数.()(4)在频率分布直方图中,最高的小长方形底边中点的横坐标是众数.()(5)在频率分布直方图中,众数的左边和右边的小长方形的面积之和相等.()√××√×\n2.已知一组数据为6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36,则这组数据的下四分位数为()A.47B.49C.7D.153.若数据x1,x2,x3,…,xn的平均数,方差s2=2,则数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的平均数和方差分别为()A.5,2B.16,2C.16,18D.16,9D将数据由小到大排列为6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49,共11个数据.下四分位数即第25百分位数,由11×25%=2.75,可知这组数据的下四分位数为第3个数据15.C由题意可知数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的平均数为3×5+1=16,方差为32×2=18.\n4.(多选)已知某滑冰比赛有9位评委进行评分,首先这9位评委给出某选手的原始评分,然后评定该选手的得分时,从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分,得到7个有效评分,则7个有效评分与9个原始评分相比,可能变化的数字特征是()A.中位数B.平均数C.方差D.极差BCD从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分,得到7个有效评分,其中位数一定不变,其他数字特征均可能发生变化.\n5.若已知某组数据的频率分布直方图如图所示,则估计该组数据的众数为,中位数为.15.5由于众数是样本中出现次数最多的数,故由直方图可估计为15.5.中位数是样本中的中间数据,由于样本数据在区间[13,14)内的频率为0.02,在区间[14,15)内的频率为0.18,在区间[15,16)内的频率为0.36,0.02+0.18+0.36>0.5,所以中位数落在区间[15,16)内,设中位数为x,则0.02+0.18+(x-15)×0.36=0.5,得\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1频率分布直方图及其应用例1(2020天津,4)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为()A.10B.18C.20D.36B由频率分布直方图可知,直径落在区间[5.43,5.47)的频率为(6.25+5.00)×0.02=0.225,故所求个数为0.225×80=18.故选B.\n\n对点训练1(多选)港珠澳大桥位于中国广东省珠江口伶仃洋海域内,是中国境内一项连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,因其超大的建筑规模、空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名世界.2018年10月24日上午9时开通运营后,香港到澳门之间的陆路车程极大缩短.为了解实际通行所需时间,随机抽取了n辆车进行统计,结果显示这些车辆的通行时间(单位:min)都在[35,50]内,按通行时间分为[35,38),[38,41),[41,44),[44,47),[47,50]五组,其中通行时间在[38,47)内的车辆有182辆,统计得到的频率分布直方图如图所示,则()A.n=200B.n=280C.抽取的车辆中通行时间在[35,38)内的车辆有4辆D.抽取的车辆中通行时间在[35,38)内的车辆有12辆AD\n由频率分布直方图得通行时间在[38,47)的频率为1-(0.01+0.02)×3=0.91,又通行时间在[38,47)的车辆有182辆,故故A正确,B错误.因为抽取的车辆中通行时间在[35,38)的频率为0.02×3=0.06,所以抽取的车辆中通行时间在[35,38)的车辆有0.06×200=12(辆).故C错误,D正确.\n能力形成点2样本的数字特征及其应用例2(1)(多选)已知某煤炭公司某年1~10月份的煤炭生产量如下表所示.则下列关于这组数据的结论正确的是()A.极差为12.5B.平均数为24C.中位数为24D.众数为17.5ABD将数据按照从小到大的顺序排列为17.5,17.5,21,23,24,25,26,27,29,30,故极差为30-17.5=12.5,平均数为\n(2)(2020全国Ⅲ,文3)设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为()A.0.01B.0.1C.1D.10C\n(3)甲、乙两人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分统计情况如图所示.①分别求出两人得分的平均数与方差;②根据统计图和①中得出的结果,请对两人的训练成绩作出评价.\n解①由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩得分分别为甲:10,13,12,14,16;乙:13,14,12,12,14.从题中折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩无明显提高.\n解题心得1.众数、中位数、平均数及方差的意义:(1)平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明地描述.(2)平均数、中位数、众数描述其集中趋势,方差和标准差描述波动大小.2.平均数、方差的公式推广:\n对点训练2(1)已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2,方差是,则另一组数3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数、方差分别是()D\n(2)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,得到如下频数分布表.①作出这些数据的频率分布直方图;\n②估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);③根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?\n解①\n②质量指标值的样本平均数为=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.质量指标值的样本方差为s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.③质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定.\n第三环节 学科素养提升\n平均数、中位数、众数的实际应用典例小明是班里的优秀学生,他某学期的历次数学成绩是96,98,95,93分,但最近的一次考试成绩只有45分,原因是他带病参加了考试.期末评价时,怎样给小明评价?解:小明5次考试成绩从小到大排列为45,93,95,96,98,中位数是95,应评定为“优秀”.解题心得利用平均数、中位数、众数分析实际问题时,要明确平均数、中位数、众数在刻画一组数据的集中趋势时各自的优点与缺点,进而对实际问题作出客观评价.\n变式训练一次数学知识竞赛中,两组学生的成绩如下表:已经算得两组学生的平均分都是80分,请根据你所学过的众数、中位数、平均数知识,结合统计表,判断这两组学生在这次竞赛中谁成绩更好,并说明理由.\n解(1)甲组学生成绩的众数为90分,乙组学生成绩的众数为70分,从成绩的众数比较看,甲组学生成绩好些.(2)甲、乙两组学生成绩的中位数、平均数都是80分,其中甲组学生成绩在80分以上(含80分)的有33人,乙组学生成绩在80分以上(含80分)的有26人,从这一角度看,甲组学生成绩总体较好.(3)从成绩统计表看,甲组学生成绩大于或等于90分的人数为20,乙组学生成绩大于或等于90分的人数为24,所以乙组学生成绩在高分阶段的人数多,同时,乙组学生得100分的比甲组学生得100分的多6人,从这一角度看,乙组学生成绩较好.
