规范答题增分专项六高考中的概率与统计2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n题型一一元线性回归模型的应用\n例1糖画是一种以糖为材料进行造型的民间艺术,常见于公园与旅游景点.某师傅制作了一种新造型糖画,为了进行合理定价,先进行试销售,其单价x(单位:元)与销售量y(单位:个)的相关数据如下表:(1)已知销售量y与单价x具有线性相关关系,求y关于x的经验回归方程;(2)若该新造型糖画每个的成本为7.7元,为使得进入售卖时利润最大,请利用所求的经验回归方程确定单价应该定为多少元?(结果保留整数)参考公式:经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为\n\n对点训练1为改善人们的居住环境,某区增加了对环境综合治理的资金投入.已知今年治理环境x(单位:亩)与资金投入y(单位:万元)的四组对应数据的散点图如图所示,用最小二乘法得到y关于x的经验回归方程为.(注:“亩”为非国际通用单位)(1)求的值,并预测今年治理环境10亩所需投入的资金为多少万元;(2)已知该区去年治理环境10亩所投入的资金为3.5万元,根据(1)的结论,请你对该区环境治理给出一条简短的评价.\n(2)由(1)知预测今年治理环境10亩所需投入的资金为7.35万元,而该区去年治理环境10亩所投入的资金为3.5万元,今年比去年的资金投入将增加一倍以上,说明该区加大了改善人们居住环境的力度,值得赞扬.\n题型二独立性检验与概率的综合有关独立性检验的问题的解题步骤:(1)提出零假设H0;(2)作出2×2列联表;(3)计算随机变量χ2的值;(4)查临界值,检验作答.有关概率问题的求解关键是判断概率模型.\n例2某企业为了检查甲、乙两条自动流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本,称出它们的质量(单位:mg),质量值落在区间(175,225]上的产品为合格品,否则为不合格品.甲流水线样本的频数分布表如表所示,乙流水线样本的频率分布直方图如图所示.\n(1)根据乙流水线样本的频率分布直方图,求乙流水线样本质量的中位数(结果保留整数);(2)从甲流水线样本质量在区间(165,185]的产品中任取2件产品,求这2件产品中恰有1件合格品的概率;(3)由以上统计数据完成下面2×2列联表,依据小概率值α=0.1的独立性检验,能否推断产品的合格与两条自动流水线的选择有关?\n\n解:(1)由频率分布直方图可知前三组的频率之和为10×(0.002+0.009+0.020)=0.31<0.5,前四组的频率之和为10×(0.002+0.009+0.020+0.034)=0.65>0.5,故中位数在第四组,设为x.由(x-195)×0.034+0.31=0.5,解得x≈201.故乙流水线样本质量的中位数为201mg.(2)由频数分布表可知甲流水线样本质量在区间(165,185]的产品共有5件,其中合格品有2件,\n(3)由已知得甲流水线样本中合格品有100-3-5=92(件),乙流水线样本中合格品有100×(1-0.002×2×10)=96(件).故2×2列联表如下:零假设为H0:产品的合格与两条自动流水线的选择无关.由2×2列联表中的数据,计算得根据小概率值α=0.1的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为产品的合格与两条自动流水线的选择无关.\n对点训练2某海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:旧养殖法新养殖法\n(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表中的数据,依据小概率值α=0.001的独立性检验,分析箱产量是否与养殖方法有关;\n(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).附:\n解(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”.由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66.故P(C)的估计值为0.66.因此,事件A的概率估计值为0.62×0.66=0.4092.\n(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表\n(3)在新养殖法的箱产量的频率分布直方图中,箱产量低于50kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,箱产量低于55kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5,故新养殖法箱产量的中位数的估计值为\n题型三概率分布列及其均值、方差突破策略一用字母表示事件法处理独立事件、互斥事件的概率分布列、均值问题使用简洁、准确的数学语言描述解答过程是解答这类问题并得分的根本保证.引进字母表示事件可使得事件的描述简单而准确,使得问题描述有条理,既不遗漏,也不重复.\n例3在某电视台娱乐节目的一期比赛中,有6名歌手(1至6号)登台演出,由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的歌手,各家媒体独立地在投票器上选出3名出彩候选人,其中媒体甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,另在2号至6号中随机选出2名;媒体乙不欣赏2号歌手,他必不选2号;媒体丙对6名歌手的演唱没有偏爱,因此在1至6号歌手中随机地选出3名.(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率;(2)X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及均值.\n解:设事件A表示“媒体甲选中3号歌手”,事件B表示“媒体乙选中3号歌手”,事件C表示“媒体丙选中3号歌手”.\n\n\n对点训练3某电视台推出一档游戏类综艺节目,选手面对1~5号五扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐,选手需正确回答这首歌的名字,回答正确,大门打开,并获得相应的梦想基金,正确回答每一扇门后,选手可自由选择带着目前奖金离开,还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金,但是一旦回答错误,游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零;在整个游戏过程中,选手有一次求助机会,选手可以询问亲友团成员以获得正确答案.\n(1)求该选手在第3号门使用求助且最终获得12000元梦想基金的概率;(2)若该选手在整个游戏过程中不使用求助,且获得的梦想基金数额为X,求X的分布列和均值.解(1)记“选手能正确回答第i号门歌曲名字”为事件Ai(i=1,2,…,5),“亲友团能正确回答歌曲名字”为事件B,“回答正确后选择继续挑战”为事件C,\n\n\n突破策略二在条件概率与分布列的综合问题中要理清P(A|B)与P(AB)的区别与联系1.发生时间不同:在P(A|B)中,事件A,B的发生有时间上的差异,B先A后;在P(AB)中,事件A,B同时发生.2.样本空间不同:在P(A|B)中,事件B成为样本空间;在P(AB)中,样本空间仍为总的样本空间,因而有P(A|B)≥P(AB).\n例4一个暗箱中放有除颜色外完全相同的6个黑球和4个白球.(1)不放回地依次取出3个球,若第1次取出的是白球,求第3次取出黑球的概率;(2)有放回地依次取出3个球,若第1次取出的是白球,求第3次取出黑球的概率;(3)有放回地依次取出3个球,求取出白球个数X的分布列和期望.\n\n\n对点训练4(1)求随机变量X的分布列及其均值;(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下,甲队比乙队得分高的概率.\n\n\n题型四二项分布、超几何分布的应用解决二项分布、超几何分布问题,要先判断随机变量服从哪种分布,再利用相关公式解决问题.\n例5随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起,参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加.为此,某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查,其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人,对其平均每月参与马拉松运动训练的天数进行统计,得到以下统计表:(1)以这100人平均每月进行训练的天数位于各段的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该段的概率,从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4人,求恰好有2人平均每月进行训练的天数不少于20的概率;(2)依据统计表,用分层随机抽样的方法,从这100人中抽取20人,再从抽取的20人中随机抽取4人,Y表示抽取的4人中平均每月进行训练的天数不少于20的人数,求Y的分布列及均值.\n\n\n对点训练5在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示.通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与均值.\n\n题型五样本的数字特征与正态分布的综合解决与正态分布有关的问题,理解μ,σ2的意义,记清正态分布的密度曲线f(x)是一条关于直线x=μ对称的钟形曲线,利用图象的对称性解决问题.\n例6从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:\n(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果,求E(X).\n解:(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)①由(1)知,Z~N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)≈0.6827.②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6827,依题意知X~B(100,0.6827),所以E(X)=100×0.6827=68.27.\n对点训练6为了解大学生每年旅游消费支出(单位:百元)的情况,随机抽取了某大学的2000名学生进行问卷调查.(1)根据样本数据,可近似地认为学生的旅游费用支出X服从正态分布N(51,152),若该所大学共有学生45000人,试估计有多少名同学的旅游费用支出在8100元以上;(2)已知样本数据中旅游费用支出在[90,100)范围内的9名学生中有5名男生、4名女生,现随机选取其中3名学生回访,记选出的女生人数为Y,求Y的分布列与均值.附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.\n\n专题总结提升\n解决解答题中的统计与统计案例,以及统计与概率相结合的综合问题,先通过审题将条件与结论分块,并加以转化或具体化,再分块处理加以整合.解决题目中有关概率问题的关键是读懂题意,能从题目的统计背景中抽取有关概率的相关信息,最后将信息转化为概率所属类型,按照概率所属类型求出概率.
