数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确项的代号并填入答题纸的相应位置．]1．下列选项中的两个图形一定相似的是（▲）A．两个等腰三角形；B．两个矩形；C．两个菱形；D．两个正方形．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=5，那么cotB等于（▲）A．；B．；C．；D．．3．已知，下列说法中不正确的是（▲）A．；B．与方向相同；C．∥；D．．4．下列函数中，属于二次函数的是（▲）A．；B．；C．；D．．5．在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果DE//AC，DF//AB，AE:EB=3:2，那么AF:FC的值是（▲）A．；B．；C．；D．．6．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（▲）ABCDO第6题图A．米；B．10米；C．米；D．12米．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．如果，那么▲．8．已知点P是线段AB的黄金分割点，如果AB=2，那么线段AP=▲．9．如果向量、、满足，那么▲（用向量、表示）．10．如果二次函数的图像经过原点，那么▲．11．如果抛物线开口向上，那么a的取值范围是▲．12．如果抛物线过点(-2，3)，且与y轴的交点是(0，3)，那么抛物线的对称轴是直线▲．13．已知点、为函数的图像上的两点，若，则▲（填“＞”、“＝”或“＜”）．14．如果一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角度数是▲°．15．已知Rt△ABC的两直角边之比为3:4，若△DEF与△ABC相似，且△DEF最长的边长为20，则△DEF的周长为▲．16．如图，过△ABC的重心G作DE//AB分别交边AC、BC于点E、D，联结AD，如果AD平分∠BAC，AB=6，那么EC=▲．ABCDE17．在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在4×4的网格中，△ABC是一个格点三角形，如果△DEF也是该网格中的一个格点三角形，它与△ABC相似且面积最大，那么△DEF与△ABC相似比的值是▲．第16题图GEDCBAABC第18题图第17题图18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，sin∠A＝．点D、E分别在AB和AC边上，AD＝2DB，把△ADE沿着直线DE翻折得△DEF，如果射线EF⊥BC，那么AE=▲．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：．20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标y的对应值如下表：…012……3430…（1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线沿x轴向右平移m个单位，使得新抛物线经过原点O，求m的值以及新抛物线的表达式．521．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）ABCDE第21题图如图，在平行四边形ABCD中，延长BC到点E，使CE=BC，联结AE交DC于点F，设，．F（1）用向量、表示；F（2）求作：向量分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要写明结论．）22．（本题满分10分）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上．图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当∠ABC=130°，∠BCD=70°时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，）AC第22题图2BD第22题图123．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）第23题图ADBFCE如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，BC=2AD，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且∠BDF=∠BAC．（1）求证：；（2）如果BC=6，，求FC的长．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知开口向上的抛物线与y轴的交点为A，顶点为B，点A与点C关于对称轴对称，直线AB与OC交于点D．（1）求点C的坐标，并用含a的代数式表示点B的坐标；（2）当∠ABC=90°时，求抛物线的表达式；（3）当∠ABC=2∠BCD时，求OD的长．Oxy11-1-1备用图Oxy11-1-1第24题图25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tanB=，点D是边BC延长线上的一点，在射线AB上取一点E，使得∠ADE=∠ABC．过点A作AF⊥DE于点F．（1）当点E在线段AB上时，求证：；（2）在（1）题的条件下，设CD=x，DE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；第25题图ADBFCE（3）记DE交射线AC于点G，当△AEF∽△AGF时，求CD的长．2021学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试初三数学试卷评分参考建议2022.1说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考5生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半；5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．D；2．C；3．A；4．C；5．B；6．B．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．＜；14．60；15．48；16．8；17．；18．．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=………………………………………………………（8分）………………………………………………………（2分）20．解：（1）由题意可知：抛物线顶点为，……………………（1分）设抛物线表达式为．……………………（2分）∵抛物线经过点，∴，．……………………（1分）∴∴抛物线的表达式为.……………………（1分）（本题根据表格信息还可以设为其它表达式形式，请根据评分参考相应给分）.（2）∵抛物线沿x轴向右平移m个单位，∴设新抛物线表达式为.……………………………（2分）∵抛物线经过点，∴，……………………………（1分）∴（舍）.……………………………………………（1分）∴新抛物线的表达式为（或）.…………（1分）521．解：（1）在平行四边形ABCD中∴，AD=BC．，AB=DC．∴．…………………………………………………………（2分）∵CE=BC，∴AD=CE．∵，∴．……………………………………………………（2分）∴．…………………………………………………（2分）（2）图正确………………………………………………………………（2分）结论正确……………………………………………………………（2分）22．解：过点B作BE⊥CD于点E，过点A作AF⊥BE交EB的延长线于点F．…（1分）∴点A到底座CD所在平面的距离即为EF的长度．根据题意，可知AB=200mm，BC=80mm，∠ABC=130°，∠BCE=70°．在Rt△BCE中，sin∠BCE=，…………………………………（2分）∴．…………………………………（1分）∵∠ABF+∠ABC+∠CBE=180°，∴∠ABF=30°．………………………………………………………………（1分）在Rt△ABF中，cos∠ABF=，…………………………………（2分）∴．……………………………………………（1分）∴EF=BE+BF=75.2+173=248.2≈248mm．……………………………（2分）答：点A到底座CD所在平面的距离约为248mm．23．（1）证明：由∠BAC=∠BDF，∠AEB=∠DEF，得△AEB∽△DEF．……………………………………………………（1分）∴．……………………………………………………………（1分）∵AD∥BC，∴，即．……………………………………………（2分）∴，即．………………………………………（2分）（2）在Rt△ABC中，，∵BC=6，∴AC=9，．……………………………（2分）∵，∴．又BC=2AD可得EC=6．…………………………………………（1分）∵∠DAB=90°，AD=3．∴．可得．……………………………………………（1分）∵，∴，∴．………………………………………（1分）∴．……………………………………………………（1分）24．解：（1）由题意当x=0时，y=3，∴．………………………………（1分）∵，∴对称轴为直线，顶点．……………………………（2分）∵点A与点C关于直线对称，∴．…………………………………………………………………（1分）（2）∵抛物线开口向上，∴点B在直线AC下方．记对称轴直线与AC的交点为H．当∠ABC=90°时，由BA=BC易得，BH=HA=HC=2．∴．…………………………………………（2分）∵，∴，∴．………………………（1分）即抛物线的表达式是．………（1分）（3）记对称轴直线与AC的交点为H，与OC的交点为P．由上题可知：BA=BC，BH⊥AC∴∠ABC=2∠CBH．当∠ABC=2∠BCD时，则有∠CBH=∠BCD∴PB=PC．………………………………………（1分）∴点B必在线段HP的延长线上．（如图所示）∵，，∴．………………………………（1分）∵AO//PB，∴．……………………………………（1分）又由．∴．……………………………………（1分）25．（1）证明：由∠ADE=∠ABC，∠EAD=∠DAB得△ADE∽△ABD．………………………………………………（2分）∵AF⊥DE，AC⊥BD，∴．…………………………………………………………（2分）（2）∵∠ACB=90°，AB=10，tanB=，∴AC=6，BC=8．………………………………………………………（1分）在Rt△ACD中，．…………………（1分）5在Rt△ADF中，．∵，∴．…………………………………（1分）即（0
