九年级数学学科试卷（满分150分，用卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．4和9的比例中项是（▲）（A）6；（B）；（C）；（D）．2．如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为（▲）（A）；（B）；（C）；（D）．3．已知，，是非零向量，下列条件中不能判定∥的是（▲）（A）∥，∥；（B）＝3；（C）＝；（D）＝,＝－2．4．在Rt△ABC中，，如果AC=2，，那么下列各式中正确的是（▲）（A）；（B）；（C）；（D）．图1ADBCE(第16题图)5．如图1，、分别是△ABC的边AB、AC上的点，下列各比例式不一定能推得DE//BC的是（▲）（A）；（B）；（C）；（D）．yOx图26．二次函数的图像如图2所示，那么点在（▲）（A）第一象限；（B）第二象限；（C）第三象限；（D）第四象限．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：如果，那么▲．ABCDE图58．如图3，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E．如果，l1l2图3，那么线段BC的长是▲．ABCDE图49．如图4，、分别是△ABC的边、延长线上的点，∥，，如果，那么向量=▲（用向量表示）．10．在Rt△ABC中，，如果，那么▲°．11．已知一条抛物线经过点，且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物线的表达式可以是▲（写出一个即可）．12．如果抛物线的对称轴是y轴，那么顶点坐标为▲.13．已知某小山坡的坡长为400米，山坡的高度为200米，那么该山坡的坡度i=▲．14．如图5，△ABC是边长为3的等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点，∠ADE=60°，如果BD=1，那么CE=▲．15．如图6，在Rt△ABC中，，CD是AB边上的中线，若CD=5，BC=6，则cos∠ACD的值是▲．图616．如图7，在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，如果△AOE的面积是4，那么四边形OECD的ACBD图6面积是▲．ABCEDO图7ABC图817．如图8，在△ABC中，AB=4，AC=5，将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，那么边BC的长等于▲．518．若抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，且满足顶点在抛物线上，顶点在抛物线上，则称抛物线与抛物线互为“关联抛物线”.已知顶点为的抛物线与顶点为的抛物线互为“关联抛物线”，直线与轴正半轴交于点，如果，那么顶点为的抛物线的表达式为▲．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：.20．（本题满分10分）已知二次函数的图像经过、两点.（1）求二次函数的解析式；（2）将该二次函数的解析式化为的形式，并写出该二次函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴．ABCDEF图921．（本题满分10分）已知：如图9，在△ABC中，//，．（1）求证：//；（2）如果，，求DF的长.22．（本题满分10分）图10已知：如图10，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作DF∥CB，分别交AC、AB于点E、F，且满足.（1）求证：∠AEF=∠DAF；（2）求证：.523.（本题满分12分）OMABN北l东图11如图11，在东西方向的海岸线上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O．现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN.经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．（1）求AB两地的距离；（结果保留根号）（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：，，.）24．（本题满分12分）如图12，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与BC交于点D，与x轴交于点E.OyxCDABE图12Ml（1）求抛物线的对称轴及B点的坐标；（2）如果，求抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，已知点是该抛物线对称轴上一点，且在线段的下方，，求点的坐标.25．（本题满分14分）图13ABCDEF如图13，在Rt△ABC与Rt△ABD中，，，,过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，联结DF.（1）求证：AE=AC；（2）设，，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长.九年级数学学科试卷（练习）评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B；2．A；3．C；4．D；5．C；6．C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．；8．8；9．；10．60；11．答案不唯一（如）；12．；13．；14．；15．；16．8；17．；18．．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）解：原式=，………………………………………………………………（8分）=，………………………………………………………………………………………（1分）=.………………………………………………………………………………………………（1分）20．（本题满分10分）解：（1）∵二次函数的图像经过点、两点，∴，解得………………………………………………………………（4分）∴二次函数的解析式为……………………………………………………………（1分）（2）∵，将其化为顶点式为.……………………………………（2分）∵，∴该二次函数的图像开口向上，顶点坐标，对称轴为直线.……（3分）21．（本题满分10分）（1）证明：∵//，∴．…………………………………………………………（2分）又∵，∴．∴//．………………………………………………（3分）（2）解：∵//，∴.……………………………………………………………（2分）∵，∴.………………………………………………………………………（1分）∵，∴，∴.………………………………………………………（2分）22．（本题满分10分）(1)证明：∵DF∥CB，∴∠ABC=∠AFD.……………………………………………………………（1分）∵，∴.……………………………………………………………………（1分）∴△ABC∽△DFA.∴∠ACB=∠DAF.…………………………………………………………………（1分）∵DF∥CB，∴∠ACB=∠AEF.∴∠AEF=∠DAF.……………………………………………………（2分）（2）∵AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB.∵△ABC∽△DFA，∴∠CAB=∠ADF.∴∠ACD=∠ADF.…（2分）又∵∠DAE=∠DAE，∴△AED∽△ADC.∴.……………………………………………（1分）∵DF∥CB，.……………………………………………………………………………………（1分）5∵，∴.…………………………………………………………………………（1分）23．（本题满分12分）解：（1）过点A作AC⊥OB于点C.…………………………………………………………………（1分）由题意，得OA=60千米，OB=30千米，∠AOB=37°.在Rt△AOC中，.……………………………………………………（1分）.……………………………………………………（1分）∴.……………………………………………………………（1分）∴在Rt△ABC中，.………………………………（1分）答：AB两地的距离为千米.…………………………………………………………………（1分）（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船不能行至码头MN靠岸．…………………（1分）延长AB交l于点D.………………………………………………………………………………（1分）∵AC⊥OB，OB⊥l，∴AC∥OD，∴.…………………………………………………（1分）∴，∴.……………………………………………………………………（1分）∵，∴如果该轮船不改变航向继续航行，那么不能行至码头MN靠岸．…………（2分）24．（本题满分12分）解：（1）由题意得，对称轴l为直线.…………………………………………………（2分）∵，∴.………………………………………………………………………………（2分）（2）∵，∴.………………………………………………………（1分）∵∥，∴.………………………………………………………………………（1分）∵，，,，………………………………………………（1分）∴，∴,∴.……………………………………………（1分）（3）设.∵，∴.∵∥，∴，∵，∴.…………………（1分）又，∴△BDF∽△BFC.………………………………………………………………（1分）∴，∵，，∴，∴（正根舍）……………………………………………（1分）∴.…………………………………………………………………………………………（1分）25．（本题满分14分）（1）证明：∵，∴.∵，∴Rt△ABC∽Rt△DBA.(2分)∴.∵AE⊥BD，，∴AE=AC.……………………………………(2分)（2）过点A作AH∥CF，交BD于点H.………………………………………………………………(1分)∵AH∥CF，∴∠HAB=∠ABC，∵∠ABD=∠ABC，∴∠HAB=∠ABD，∴AH=BH.∵∠DAB=90°，∴∠DAH+∠HAB=90°，∠ADB+∠ABD=90°，∴∠DAH=∠ADB，∴AH=DH.∴.…………………………………………………………………………(1分)∵，,，∴，∴.………………………………(1分)∵AH∥CF，∴.…………………………………………………………………………(1分)∴.………………………………………………………………………(2分)（3）∵△ABC与△DEF相似，又∠DEF=∠C=90°，∴∠ABC=∠DFE，或∠ABC=∠FDE.①当∠ABC=∠DFE时,方法一：∵∠ABC=∠ABE，∴∠ABE=∠DFE.又∠ABE=∠DAE，∴∠DFE=∠DAE.∴DF=DA，∵DE⊥AF，∴AE=EF.…………………………………………………………………(1分)∴，即，∴（负根舍）.………………………………………………(1分)方法二：∵∠ABC=∠ABE，∴∠ABE=∠DFE.又∠ABE=∠DAE，∴∠DFE=∠DAE.∴DF=DA，∵DE⊥AF，∴AE=EF.………………………………………………………………(1分)∵AE=AC，∴AF=2AC，又∠C=90°，∴∠AFC=30°，∴∠BAC=30°，∴.(1分)②当∠ABC=∠FDE时，方法一：∵∠ABC=∠ABE，∴∠ABE=∠FDB，∴AB∥DF，∴∠DFB=∠ABC.∴∠FDB=∠DFB，∴BF=BD.∵,∴.∵，又AH∥BF，∴.……………………………………………(1分)∴，∴（负根舍）.……………………………………………………………(1分)方法二：∵∠ABC=∠ABE，∴∠ABE=∠FDB，∴AB∥DF，∴5.……………………(1分)∴，∴（负根舍）.………………………………………………………(1分)综上所述，满足条件BC的长为或.5
