第八章解析几何\n第八讲 圆锥曲线的综合问题第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程f(x，y)＝0.\n①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.当Δ______0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；当Δ______0时，直线和圆锥曲线相切于一点；当Δ______0时，直线和圆锥曲线没有公共点．＞＝＜\n知识点二 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k(k不为0)的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝________________或|P1P2|＝_________________.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．\n\n1．判定直线与圆位置关系的关键是圆心到直线的距离与半径的大小关系．2．判定过定点的直线与椭圆的位置关系应关注定点与椭圆的位置关系．3．判定过定点的直线与双曲线的位置关系应注意直线斜率与渐近线斜率的关系，过定点与双曲线只有一个公共点的直线可能与双曲线相切，可能与渐近线平行．4．过定点与抛物线只有一个公共点的直线可能与抛物线相切，可能与对称轴平行．\nB\n\n2．(2021·宁夏模拟)直线l过抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是()A．y2＝－12xB．y2＝－8xC．y2＝－6xD．y2＝－4xB\nA\n\nC\n\n\n\n\n\n考点突破·互动探究\n例1考点一直线与圆锥曲线的位置关系——自主练透D\nB\n\n\n研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数．对于过定点的直线常考虑定点与圆锥曲线的位置关系，进而判断直线与圆锥曲线的位置关系．注意：(1)在没有给出直线方程时，要对直线斜率不存在的情况进行讨论，避免漏解；(2)对于选择题、填空题，常根据几何条件，利用数形结合的方法求解．注：(1)研究直线与圆的位置关系，只需抓住圆心到直线的距离与半径的关系；(2)当直线过定点时，注意定点与圆锥曲线的位置关系；(3)注意“直线与抛物线只有一个交点”与“直线与抛物线相切”的区别．\n例2考点二直线与圆锥曲线相交的弦的问题——多维探究\n\n\n\n\n\n\n例3B\n\n\n处理中点弦问题常用的求解方法\n角度3求直线的方程(2021·广东梅州质检)已知F为抛物线T：x2＝4y的焦点，直线l：y＝kx＋2与T相交于A，B两点．(1)若k＝1，求|FA|＋|FB|的值；(2)点C(－3，－2)，若∠CFA＝∠CFB，求直线l的方程．例4\n\n\n\n解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：(1)设出直线方程，设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与曲线方程，得到关于x(或y)的一元二次方程；(3)写出韦达定理；(4)将所求问题或题中关系转化为x1＋x2，x1x2形式；\n(5)代入韦达定理求解．设直线方程时一定要关注直线的斜率是否存在，若不能确定，应分类求解，当过点P(a，b)的直线不与x轴垂直时，可设其方程为y＝k(x－a)＋b；当过点P(a，b)的直线不与y轴垂直时，可设其方程为x＝m(y－b)＋a.\nA\n\n\n\n\n\n名师讲坛·素养提升\n圆锥曲线中的创新应用问题(1)探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面(其纵断面是抛物线的一部分)，正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角例4坐标系中，抛物线C：y2＝8x，一条光线经过M(8，－6)，与x轴平行射到抛物线C上，经过两次反射后经过N(8，y0)射出，则y0＝______，光线从点M到N经过的总路程为______.20\nB\n(3)(2022·重庆梁平区联考)如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯．①在杯口放一个半径为4cm的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为_________cm；②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为________(单位：cm)．\n\n(方法一)光线从点M到N经过的总路程为|MP|＋|PQ|＋|QN|＝(xM－xP)＋(xP＋xQ＋4)＋(xN－xQ)＝xM＋xN＋4＝20.(方法二)设抛物线的准线为l，则其方程为x＝－2，分别过点P，Q作准线l的垂线，垂足分别为G，H，则|PF|＝|PG|，|QF|＝|QH|，所以|PQ|＝|PF|＋|QF|＝|PG|＋|QH|，故光线从点M到N经过的总路程为|MP|＋|PQ|＋|QN|＝|MG|＋|NH|＝8＋2＋8＋2＝20.\n(2)如图，由双曲线定义得：|AF2|－|AF1|＝2m①，由椭圆定义得：|BF2|＋|BF1|＝2a②，②－①得：|BA|＋|AF1|＋|BF1|＝2a－2m；\n\n\n如图1所示，建立直角坐标系，易知B(2，8)，设抛物线的方程为y＝mx2，所以将B(2，8)代入得m＝2，故抛物线方程为y＝2x2，当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，\n\n〔变式训练2〕(1)(2021·广东佛山市模拟)古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图①，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.图②，在底面半径和高均为1的圆锥中，\nAB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，F是线段EO的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为__________，M，N是该曲线上的两点且MN∥CD，若MN经过点F，则|MN|＝______.抛物线\n(2)(2021·大教育山东联盟校联考)有光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，一光源在点M(10，8)处，由其发出的光线沿平行于C的对称轴的方向射向C上的点P，反射后又射向C上的点Q，再反射后，又沿平行于C的对称轴的方向射出，途中经过点N(5，－2)，则p的值是_____.4\nB\n\n\n\n
