2021年全国高考数学试卷(理科)(乙卷)

2021年全国高考数学试卷（理科）（乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设2（z+）+3（z﹣）＝4+6i，则z＝（　　）A．1﹣2iB．1+2iC．1+iD．1﹣i2．（5分）已知集合S＝{s|s＝2n+1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n+1，n∈Z}，则S∩T＝（　　）A．∅B．SC．TD．Z3．（5分）已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（　　）A．p∧qB．￢p∧qC．p∧￢qD．￢（p∨q）4．（5分）设函数f（x）＝，则下列函数中为奇函数的是（　　）A．f（x﹣1）﹣1B．f（x﹣1）+1C．f（x+1）﹣1D．f（x+1）+15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（　　）A．B．C．D．6．（5分）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（　　）A．60种B．120种C．240种D．480种7．（5分）把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（x﹣第29页（共29页）,）的图像，则f（x）＝（　　）A．sin（﹣）B．sin（+）C．sin（2x﹣）D．sin（2x+）8．（5分）在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（　　）A．B．C．D．9．（5分）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝（　　）A．+表高B．﹣表高C．+表距D．﹣表距10．（5分）设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（　　）A．a＜bB．a＞bC．ab＜a2D．ab＞a211．（5分）设B是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的上顶点，若C第29页（共29页）,上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（　　）A．[，1）B．[，1）C．（0，]D．（0，]12．（5分）设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝﹣1，则（　　）A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．b＜a＜cD．c＜a＜b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知双曲线C：﹣y2＝1（m＞0）的一条渐近线为x+my＝0，则C的焦距为　　．14．（5分）已知向量＝（1，3），＝（3，4），若（﹣λ）⊥，则λ＝　　．15．（5分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，则b＝　　．16．（5分）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为　　（写出符合要求的一组答案即可）．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。第29页（共29页）,17．（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s12和s22．（1）求，，s12，s22；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果﹣≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC中点，且PB⊥AM．（1）求BC；（2）求二面角A﹣PM﹣B的正弦值．19．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知第29页（共29页）,+＝2．（1）证明：数列{bn}是等差数列；（2）求{an}的通项公式．20．（12分）己知函数f（x）＝ln（a﹣x），已知x＝0是函数y＝xf（x）的极值点．（1）求a；（2）设函数g（x）＝．证明：g（x）＜1．21．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2＝1上点的距离的最小值为4．（1）求p；（2）若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C（2，1），半径为1．（1）写出⊙C的一个参数方程；（2）过点F（4，1）作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+3|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）＞﹣a，求a的取值范围．第29页（共29页）,第29页（共29页）,2021年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设2（z+）+3（z﹣）＝4+6i，则z＝（　　）A．1﹣2iB．1+2iC．1+iD．1﹣i【分析】利用待定系数法设出z＝a+bi，a，b是实数，根据条件建立方程进行求解即可．【解答】解：设z＝a+bi，a，b是实数，则＝a﹣bi，则由2（z+）+3（z﹣）＝4+6i，得2×2a+3×2bi＝4+6i，得4a+6bi＝4+6i，得，得a＝1，b＝1，即z＝1+i，故选：C．【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键，是基础题．2．（5分）已知集合S＝{s|s＝2n+1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n+1，n∈Z}，则S∩T＝（　　）A．∅B．SC．TD．Z【分析】分别讨论当n第29页（共29页）,是偶数、奇数时的集合元素情况，结合集合的基本运算进行判断即可．【解答】解：当n是偶数时，设n＝2k，则s＝2n+1＝4k+1，当n是奇数时，设n＝2k+1，则s＝2n+1＝4k+3，k∈Z，则T⊊S，则S∩T＝T，故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用分类讨论思想结合交集定义是解决本题的关键，是基础题．3．（5分）已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（　　）A．p∧qB．￢p∧qC．p∧￢qD．￢（p∨q）【分析】先分别判断命题p和命题q的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案．【解答】解：对于命题p：∃x∈R，sinx＜1，当x＝0时，sinx＝0＜1，故命题p为真命题，￢p为假命题；对于命题q：∀x∈R，e|x|≥1，因为|x|≥0，又函数y＝ex为单调递增函数，故e|x|≥e0＝1，故命题q为真命题，￢q为假命题，所以p∧q为真命题，￢p∧q为假命题，p∧￢q为假命题，￢（p∨q）为假命题，故选：A．第29页（共29页）,【点评】本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4．（5分）设函数f（x）＝，则下列函数中为奇函数的是（　　）A．f（x﹣1）﹣1B．f（x﹣1）+1C．f（x+1）﹣1D．f（x+1）+1【分析】先根据函数f（x）的解析式，得到f（x）的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为（0，0），从而得到答案．【解答】解：因为f（x）＝＝，所以函数f（x）的对称中心为（﹣1，﹣1），所以将函数f（x）向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数y＝f（x﹣1）+1，该函数的对称中心为（0，0），故函数y＝f（x﹣1）+1为奇函数．故选：B．【点评】本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定f（x）的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于基础题．5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（　　）A．B．C．D．【分析】由AD1∥BC1，得∠PBC1是直线PB与AD1所成的角（或所成角的补角），由此利用余弦定理，求出直线PB与AD1所成的角．【解答】解：∵AD1∥BC1，∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角（或所成角的补角），设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则PB1＝PC1＝＝，BC1＝＝2，BP＝＝第29页（共29页）,，∴cos∠PBC1＝＝＝，∴∠PBC1＝，∴直线PB与AD1所成的角为．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（　　）A．60种B．120种C．240种D．480种【分析】5分先选2人一组，然后4组全排列即可．【解答】解：5名志愿者选2个1组，有种方法，然后4组进行全排列，有种，共有＝240种，故选：C．第29页（共29页）,【点评】本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键，是基础题．7．（5分）把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（x﹣）的图像，则f（x）＝（　　）A．sin（﹣）B．sin（+）C．sin（2x﹣）D．sin（2x+）【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图像变换规律，得出结论．【解答】解：∵把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（x﹣）的图像，∴把函数y＝sin（x﹣）的图像，向左平移个单位长度，得到y＝sin（x+﹣）＝sin（x+）的图像；再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得f（x）＝sin（x+）的图像．故选：B．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图像变换规律，属基础题．8．（5分）在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（　　）A．B．C．D．【分析】由题意可得可行域：第29页（共29页）,，可得三角形的面积，结合几何概型即可得出结论．【解答】解：由题意可得可行域：，可得三角形的面积＝××＝，1﹣＝．故选：B．【点评】本题考查了线性规划知识、三角形的面积、几何概型、对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（5分）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝（　　）A．+表高第29页（共29页）,B．﹣表高C．+表距D．﹣表距【分析】根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出．【解答】解：＝，＝，故＝，即＝，解得AE＝，AH＝AE+EH，故AB＝＝＝＝+DE＝+表高．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（　　）A．a＜bB．a＞bC．ab＜a2D．ab＞a2【分析】分a＞0及a＜0，结合三次函数的性质及题意，通过图象发现a，b的大小关系，进而得出答案．【解答】解：令f（x）＝0，解得x＝a或x＝b，即x＝a及x＝b是f（x）的两个零点，第29页（共29页）,当a＞0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，则0＜a＜b；当a＜0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，则b＜a＜0；综上，ab＞a2．故选：D．【点评】本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想，属于中档题．11．（5分）设B是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（　　）第29页（共29页）,A．[，1）B．[，1）C．（0，]D．（0，]【分析】由题意可得至多一个解，根据判别式即可得到a与b的关系式，再求出离心率的取值范围．【解答】解：点B的坐标为（0，b），因为C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，所以点P的轨迹可以看成以B为圆心，2b为半径的圆与椭圆至多只有一个交点，即至多一个解，消去x，可得y2﹣2by+a2﹣3b2＝0，∴△＝4b2﹣4••（a2﹣3b2）≤0，整理可得4b4﹣4a2b2+a4≤0，即（a2﹣2b2）2≤0，解得a2＝2b2，∴e＝＝，故e的范围为（0，]，故选：C．【点评】本题考查了椭圆的方程和性质，考查了运算求解能力和转化与化归思想，属于中档题．12．（5分）设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝﹣1，则（　　）A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．b＜a＜cD．c＜a＜b【分析】构造函数f（x）＝2ln（1+x）﹣（﹣1），0＜x＜1，h（x）＝第29页（共29页）,ln（1+2x）﹣（﹣1），利用导数和函数的单调性即可判断．【解答】解：∵a＝2ln1.01＝ln1.0201，b＝ln1.02，∴a＞b，令f（x）＝2ln（1+x）﹣（﹣1），0＜x＜1，令＝t，则1＜t＜∴x＝，∴g（t）＝2ln（）﹣t+1＝2ln（t2+3）﹣t+1﹣2ln4，∴g′（t）＝﹣1＝＝﹣＞0，∴g（t）在（1，）上单调递增，∴g（t）＞g（1）＝2ln4﹣1+2ln4＝0，∴f（x）＞0，∴a＞c，同理令h（x）＝ln（1+2x）﹣（﹣1），再令＝t，则1＜t＜∴x＝，∴φ（t）＝ln（）﹣t+1＝ln（t2+1）﹣t+1﹣ln2，∴φ′（t）＝﹣1＝＜0，∴φ（t）在（1，）上单调递减，∴φ（t）＜φ（1）＝ln2﹣1+1﹣ln2＝0，∴h（x）＜0，∴c＞b，第29页（共29页）,∴a＞c＞b．故选：B．【点评】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化思想，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知双曲线C：﹣y2＝1（m＞0）的一条渐近线为x+my＝0，则C的焦距为　4　．【分析】根据题意，由双曲线的性质可得＝，解可得m的值，即可得双曲线的标准方程，据此计算c的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线C：﹣y2＝1（m＞0）的一条渐近线为x+my＝0，则有＝，解可得m＝3，则双曲线的方程为﹣y2＝1，则c＝＝2，其焦距2c＝4；故答案为：4．【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的分析，属于基础题．14．（5分）已知向量＝（1，3），＝（3，4），若（﹣λ）⊥，则λ＝　　．【分析】利用向量的坐标运算求得﹣λ＝（1﹣3λ，3﹣4λ），再由（﹣λ）⊥，可得（﹣λ）•＝0，即可求解λ的值．【解答】解：因为向量＝（1，3），＝（3，4），第29页（共29页）,则﹣λ＝（1﹣3λ，3﹣4λ），又（﹣λ）⊥，所以（﹣λ）•＝3（1﹣3λ）+4（3﹣4λ）＝15﹣25λ＝0，解得λ＝．故答案为：．【点评】本题主要考查数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．15．（5分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，则b＝　2　．【分析】由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，∴acsinB＝⇒ac×＝⇒ac＝4⇒a2+c2＝12，又cosB＝⇒＝⇒b＝2，（负值舍）故答案为：2．【点评】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．16．（5分）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为　②⑤或③④　（写出符合要求的一组答案即可）．第29页（共29页）,【分析】通过观察已知条件正视图，确定该正视图的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形．【解答】解：观察正视图，推出正视图的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④．故答案为：②⑤或③④．【点评】该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系，以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。第29页（共29页）,17．（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s12和s22．（1）求，，s12，s22；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果﹣≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．【分析】（1）利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；（2）比较﹣与2的大小，即可判断得到答案．【解答】解：（1）由题中的数据可得，（9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7）＝10，＝（10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5）＝10.3，s12＝[（9.8﹣10）2+（10.3﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2+（9.9﹣10）2+（9.8﹣10）2+（10﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10.2﹣10）2+（9.7﹣10）2]＝0.036；s22＝[（10.1﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）2+（10.1﹣10.3）2+（10.0﹣10.3）2+（10.1﹣10.3）2+（10.3﹣10.3）2+（10.6﹣10.3）2+（10.5﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）2第29页（共29页）,+（10.5﹣10.3）2]＝0.04；（2），2＝，所以﹣＞2，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．【点评】本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC中点，且PB⊥AM．（1）求BC；（2）求二面角A﹣PM﹣B的正弦值．【分析】（1）连结BD，利用线面垂直的性质定理证明AM⊥PD，从而可以证明AM⊥平面PBD，得到AM⊥BD，证明Rt△DAB∽Rt△ABM，即可得到BC的长度；第29页（共29页）,（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可．【解答】解：（1）连结BD，因为PD⊥底面ABCD，且AM⊂平面ABCD，则AM⊥PD，又AM⊥PB，PB∩PD＝P，PB，PD⊂平面PBD，所以AM⊥平面PBD，又BD⊂平面PBD，则AM⊥BD，所以∠ABD+∠DAM＝90°，又∠DAM+∠MAB＝90°，则有∠ADB＝∠MAB，所以Rt△DAB∽Rt△ABM，则，所以，解得BC＝；（2）因为DA，DC，DP两两垂直，故以点D位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，P（0，0，1），所以，，设平面AMP的法向量为，则有，即，令，则y＝1，z＝2，故，设平面BMP的法向量为，则有，即，令q＝1，则r＝1，故，所以＝，设二面角A﹣PM﹣B的平面角为α，第29页（共29页）,则sinα＝＝，所以二面角A﹣PM﹣B的正弦值为．【点评】本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知+＝2．（1）证明：数列{bn}是等差数列；（2）求{an}的通项公式．【分析】（1）由题意当n＝1时，b1＝S1，代入已知等式可得b1的值，当n≥2时，将＝Sn，代入+＝2，可得bn﹣bn﹣1＝，进一步得到数列{bn第29页（共29页）,}是等差数列；（2）由a1＝S1＝b1＝，可得bn＝，代入已知等式可得Sn＝，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣，进一步得到数列{an}的通项公式．【解答】解：（1）证明：当n＝1时，b1＝S1，由+＝2，解得b1＝，当n≥2时，＝Sn，代入+＝2，消去Sn，可得+＝2，所以bn﹣bn﹣1＝，所以{bn}是以为首项，为公差的等差数列．（2）由题意，得a1＝S1＝b1＝，由（1），可得bn＝+（n﹣1）×＝，由+＝2，可得Sn＝，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣＝﹣，显然a1不满足该式，所以an＝．【点评】本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题．20．（12分）己知函数f（x）＝ln（a﹣x），已知x＝0是函数y＝xf（x）的极值点．（1）求a；（2）设函数g（x）＝．证明：g（x）＜1．【分析】（1）确定函数f（x）的定义域，令g（x）＝xf（x第29页（共29页）,），由极值的定义得到g'（x）＝0，求出a的值，然后进行证明，即可得到a的值；（2）将问题转化为证明，进一步转化为证明x+ln（1﹣x）＞xln（1﹣x），令h（x）＝x+（1﹣x）ln（1﹣x），利用导数研究h（x）的单调性，证明h（x）＞h（0），即可证明．【解答】（1）解：由题意，f（x）的定义域为（﹣∞，a），令g（x）＝xf（x），则g（x）＝xln（a﹣x），x∈（﹣∞，a），则g'（x）＝ln（a﹣x）+x•＝，因为x＝0是函数y＝xf（x）的极值点，则有g'（x）＝0，即lna＝0，所以a＝1，当a＝1时，g'（x）＝，且g'（0）＝0，因为g''（x）＝，则g'（x）在（﹣∞，1）上单调递减，所以当x∈（﹣∞，a）时，g'（x）＞0，当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，所以a＝1时，x＝0时函数y＝xf（x）的一个极大值．综上所述，a＝1；（2）证明：由（1）可知，xf（x）＝xln（1﹣x），要证，即需证明，因为当x∈（﹣∞，0）时，xln（1﹣x）＜0，当x∈（0，1）时，xln（1﹣x）＜0，所以需证明x+ln（1﹣x）＞xln（1﹣x），即x+（1﹣x）ln（1﹣x）＞0，令h（x）＝x+（1﹣x）ln（1﹣x），第29页（共29页）,则h'（x）＝（1﹣x），所以h'（0）＝0，当x∈（﹣∞，0）时，h'（x）＜0，当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，所以x＝0为h（x）的极小值点，所以h（x）＞h（0）＝0，即x+ln（1﹣x）＞xln（1﹣x），故，所以．【点评】本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的极值问题，利用导数证明不等式问题，此类问题经常构造函数，转化为证明函数的取值范围问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题．21．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2＝1上点的距离的最小值为4．（1）求p；（2）若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．【分析】（1）由点F到圆M上的点最小值为4建立关于p的方程，解出即可；（2）对求导，由导数的几何意义可得出直线PA及PB的方程，进而得到点P的坐标，再将AB的方程与抛物线方程联立，可得P（2k，﹣b），|AB|以及点P到直线AB的距离，进而表示出△PAB的面积，再求出其最小值即可．【解答】解：（1）点到圆M上的点的距离的最小值为，解得p＝2；第29页（共29页）,（2）由（1）知，抛物线的方程为x2＝4y，即，则，设切点A（x1，y1），B（x2，y2），则易得，从而得到，设lAB：y＝kx+b，联立抛物线方程，消去y并整理可得x2﹣4kx﹣4b＝0，∴△＝16k2+16b＞0，即k2+b＞0，且x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b，∴P（2k，﹣b），∵＝，，∴①，又点P（2k，﹣b）在圆M：x2+（y+4）2＝1上，故，代入①得，，而yp＝﹣b∈[﹣5，﹣3]，∴当b＝5时，．【点评】本题考查圆锥曲线的综合运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C（2，1），半径为1．（1）写出⊙C的一个参数方程；（2）过点F（4，1）作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x第29页（共29页）,轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．【分析】（1）求出⊙C的标准方程，即可求得⊙C的参数方程；（2）求出直角坐标系中的切线方程，再由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ即可求解这两条切线的极坐标方程．【解答】解：（1）⊙C的圆心为C（2，1），半径为1，则⊙C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，⊙C的一个参数方程为（θ为参数）．（2）由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为y﹣1＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+1＝0，圆心C（2，1）到切线的距离d＝＝1，解得k＝±，所以切线方程为y＝±（x﹣4）+1，因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以这两条切线的极坐标方程为ρsinθ＝±（ρcosθ﹣4）+1．【点评】本题主要考查圆的参数方程，普通方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能力，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+3|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）＞﹣a，求a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入f（x）中，根据f（x）≥6，利用零点分段法解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式可得f（x）≥|a+3|，然后根据f（x）＞﹣a第29页（共29页）,，得到|a+3|＞﹣a，求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+3|＝，∵f（x）≥6，∴或或，∴x≤﹣4或x≥2，∴不等式的解集为（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．（2）f（x）＝|x﹣a|+|x+3|≥|x﹣a﹣x﹣3|＝|a+3|，若f（x）＞﹣a，则|a+3|＞﹣a，两边平方可得a2+6a+9＞a2，解得a＞﹣，即a的取值范围是（﹣，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．第29页（共29页）