27.2与圆有关的位置关系3.切线第3课时切线长定理及三角形的内切圆学习目标：1.掌握切线长的定义及切线长定理.2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（难点）3.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质.（重点）自主学习一、知识链接1.圆是轴对称图形，它的对称轴是____________________.2.（1）切线的判定定理:____________________________________________________________.(2)切线的性质定理:____________________________________________________________.3.三角形的外接圆是指__________________________________________;其外心是三角形____________________________的交点，其到三角形______________的距离相等.4.角平分线的判定定理:____________________________________________________________；角平分线的性质定理:____________________________________________________________.思考：过☉O外的一点，能作☉O的几条切线？二、新知预习（预习课本P52-54）填空并完成练习：1.圆的切线上某一点与______之间的线段长，叫做这点到圆的切线长.2.切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的_____________相等.这一点和圆心的连线______这两条切线的夹角.3.与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的________,三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的_________.这个三角形叫做这个圆的__________.三角形的内心是三角形三条__________的交点.练习：.1.如图，P为圆O外一点，PA、PB分别切圆O于A、B两点，若PA=3，则PB=（ ）A．2B．3C．4D．5第1题图第2题图第3题图2.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，∠APB=50°，则∠AOP=__________．3.如图，I是△ABC的内心，∠ABC=60°，则∠AIC=__________．,合作探究一、要点探究探究点1：切线长定理做一做在纸上画一个圆，在圆外任选一点P，过点P作圆的切线.沿着直线PO将纸张对折，设点A的对应点为点B，连结PB.问题1PB是☉O的切线吗？请简要说明理由.问题2PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？【要点归纳】1.切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．2.切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.推理验证已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.想一想：若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.【典例精析】例1如图①，AB、AC是⊙O的切线，且∠A=54°，则∠BDC=__________．图①图②【针对训练】如图②，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD=2，∠DAC=∠DCA，则CE=__________．例2如图所示，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E．若△PDE的周长为12，求PA的长.,探究点2：三角形的内切圆及内心概念学习：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.问题1如分别过点O作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段OE、OF、OG之间有什么关系？问题2如图，☉O是△ABC的内切圆，那么线段OA、OB、OC有什么特点？做一做已知△ABC，作和△ABC的各边都相切的圆.【典例精析】例3如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.例4△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长.知识拓展（1）设△ABC的面积为S，周长为L，△ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？解：由三角形内心的性质可知______=______=______=r.由图形可知，S=S△AOB+S△AOC+S△BOC=________+______+______=(_____+_____+_____）r=Lr.（2）直角三角形的两直角边长分别是a、b,斜边长为c，则其内切圆的半径r为___________（以含a、b、c的代数式表示r）.方法一：面积法：由（1）中的结论，可知(a+b+c)r=____________,则,r=________________.方法二：切线长定理：由切线长定理可知AD=AC-DC=________,BE=BC-CE=________,因为AF=________，BF=________，AF+________=c,所以_______+________=c,则r=________.二、课堂小结切线长定义切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．切线长定理定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角.辅助线作法①分别连结圆心和切点；②连结两切点；③连结圆心和圆外一点.三角形的内切圆有关概念与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形的三边距离相等.应用运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.当堂检测1.下列关于三角形的内心说法正确的说法为（ ）A.内心是三角形三个角平分线的交点B.内心是三角形三边中垂线的交点C.内心到三角形三个顶点的距离相等D．钝角三角形的内心在三角形外2.如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为_______.第2题图第3题图第4题图3.如图所示，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列说法：①PA=PB，②∠1=∠2，③OP垂直平分线段AB，其中正确说法的序号是____________.4.如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10，CD=12，则四边形ABCD的周长为_______.5.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60°．（1）求∠BAC的度数；（2）当OA=2时，求AB的长．6.如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，且∠C=90°，AB=13，BC=12．,（1）求BF的长；（2）求⊙O的半径r．参考答案自主学习一、知识链接1.直径所在的直线2.（1）经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（2）圆的切线垂直于经过切点的半径3.经过三角形三个顶点的圆三边的垂直平分线三个顶点4.到角两边距离相等的点在角的平分线上角平分线上的点到角两边的距离相等二、新知预习1.切点2.切线长平分3.内切圆内心外切三角形角平分线练习：1.B2.65°3.120°合作探究一、要点探究探究点1：切线长定理做一做解：PB如图所示.问题1解：PB是☉O的切线，理由如下：连结OA，OB.由折叠可知∠PAO=∠PBO.∵PA是☉O的切线，∴∠PAO=90°.∴∠PBO=90°.∵OB是☉O的半径，∴PB是☉O的切线.问题2解：PA=PB，∠APO=∠BPO.,推理验证：证明：∵PA切☉O于点A，∴OA⊥PA.同理可得OB⊥PB.∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP.∴PA=PB，∠APO=∠BPO.想一想解：OP垂直平分AB.证明：∵PA、PB是⊙O的切线，点A、B是切点，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.∴OP垂直平分AB.【典例精析】例163°【针对训练】2例2解：∵PA、PB分别和⊙O切于A、B两点，∴PA=PB.∵DE是⊙O的切线，∴DA=DC，EB=EC.∵△PDE的周长为12，∴PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+AD+EB+PE=PA+PB=2PA=12.∴PA=6．探究点2：三角形的内切圆及内心问题1解：OE=OF=OG．问题2解：线段OA、OB、OC分别是∠A、∠B、∠C的平分线．做一做解：作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O；2.过点O作OD⊥BC，垂足为D；3.以O为圆心，OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.【典例精析】例3解：连结IB、IC.∵点I是△ABC的内心，∴IB、IC分别是∠B、∠C的平分线，在△IBC中，∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（43°+61°）=128°.例4解：设AE=x，则AF=x，CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC，得(13-x)+(9-x)=14，解得x=4.∴AF=4，BD=5，CE=9.知识拓展（1）OEOFOGAB·OEAC·OFBC·OGABACBC（2）或abb-ra-rADBEAFBFa-rb-r当堂检测1.A2.70°3.①②③4.445.解：（1）∵PA、PB是⊙O的切线，∴AP=BP，∠PAC=90°.∵∠P=60°，∴∠PAB=60°.∴∠BAC=90°-60°=30°．（2）连结OP，则在Rt△AOP中，OA=2，∠APO=30°，∴OP=4，由勾股定理得AP,＝2.∵AP=BP，∠APB=60°，∴△APB是等边三角形.∴AB＝AP＝2．6.解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=13，BC=12，∴AC===5．∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴BD=BF，AD=AE，CF=CE．设BF=BD=x，则AD=AE=13-x，CF=CE=12-x．∵AE+EC=5，∴13-x+12-x=5．∴x=10．∴BF=10．（2）连结OE、OF，∵OE⊥AC，OF⊥BC，∴∠OEC=∠C=∠OFC=90°．∴四边形OECF是矩形．∴OE=CF=BC-BF=12-10=2，即r=2．
