27.3圆中的计算问题第1课时弧长和扇形面积学习目标：1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点）2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点）自主学习一、知识链接1.已知⊙O的半径为r,则⊙O的周长为___________,⊙O的面积为___________.2.如图，在⊙O中，∠AOC所对的劣弧为__________,若∠AOD=100°，则所对的圆心角为_______°.直径AB所对的弧是________.思考：在T2中，若⊙O的半径为r,那么直径AB所对的弧长是多少,∠AOD所对的弧长是多少？二、新知预习（预习课本P58-61）填空并完成练习：计算半径为r，圆心角分别为、、、、所对的弧长和扇形面积.（1）圆心角为180°，占整个周角的____________,因此它所对的弧长为________,扇形面积为_______.（2）圆心角为90°，占整个周角的____________,因此它所对的弧长为________,扇形面积为_______.（3）圆心角为45°，占整个周角的____________,因此它所对的弧长为________,扇形面积为_______.（4）圆心角为1°，占整个周角的____________,因此它所对的弧长为________,扇形面积为_______.（5）圆心角为n°，占整个周角的____________,因此它所对的弧长为________,扇形面积为_______.【自主归纳】若圆心角的度数为n,圆的半径为r,弧长为l,扇形面积为S，则l=_________;S=_________.练习：1.圆心角为60°，半径为1的弧长为（ ）A．B．πC．D．
2.若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为（ ）A．B．πC．2πD．4π3.已知一个扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，则半径为（ ）A．9B．3C．D．4.若一个扇形的圆心角是45°，面积是2π，则这个扇形的半径是（ ）A．4B．C．4πD．合作探究一、要点探究探究点1：与弧长相关的计算【典例精析】例1若扇形的弧长是5π，半径是18，则该扇形的圆心角是（ ）A．50°B．60°C．100°D．120°【针对训练】150°的圆心角所对的弧长是5πcm，则此弧所在圆的半径是（ ）A．1.5cmB．3cmC．6cmD．12cm【要点归纳】灵活运用n°的圆心角所对的弧长公式是解题的关键.例2如图，在⊙O中，∠C＝30°，OA＝2，则弧AB的长为（ ）A.B．C．D．【针对训练】如图，四边形ABCD内接于⊙O．若⊙O的半径为4，∠D＝135°，求的长.【方法归纳】当所求弧所对的圆心角的度数未知时，需结合图形，灵活运用圆周角定理及其有关推论，计算出该圆心角的度数，再运用弧长公式进行求解.探究点2：与扇形面积有关的计算【典例精析】例3若一个扇形的半径是18cm，面积是54πcm2，则扇形的圆心角为（ ）A．30°B．60°C．90°D．120°
【要点归纳】圆心角为n°的扇形面积为.想一想扇形的弧长公式与面积公式有什么联系？，∴【典例精析】例4已知扇形的弧长为2π，半径为4，则此扇形的面积为（ ）A．4πB．8πC．6πD．5π【针对训练】扇形的弧长为10πcm，面积为120πcm2，则扇形的半径是（ ）A．12cmB．24cmC．28cmD．30cm例5如图，∠ACB是⊙O的圆周角，若⊙O的半径为10，∠ACB＝45°，则扇形AOB的面积为（ ）A．5πB．12.5πC．20πD．25π例6如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m2）.要点归纳：弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积.【针对训练】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.9m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m2）.二、课堂小结
弧长和扇形面积弧长计算公式弧长为扇形面积公式扇形面积为或.弓形面积计算公式弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积.当堂检测1.半径为6cm的圆上有一段长度为2.5πcm的弧，则此弧所对的圆心角为（ ）A．45°B．75°C．90°D．150°2.已知扇形的面积为30πcm2，它的半径为4cm，则扇形的弧长为（ ）A．19πcmB．15πcmC．20πcmD．25πcm3.某扇形的圆心角为72°，面积为5π，则此扇形的弧长为（ ）A．πB．2πC．3πD．4π4.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OC＝2，则图中阴影部分的面积为___________.5.如图所示，AB是⊙O的直径，其半径为1，扇形AOC的面积为．（1）求∠AOC的度数；（2）求的长度．6.如图，有一直径是20厘米的圆型纸片，现从中剪出一个圆心角是90°的扇形ABC．（1）求剪出的扇形ABC的周长．（2）求被剪掉的阴影部分的面积．
参考答案自主学习一、知识链接1.2πr2.πr22.260半圆二、新知预习（1）×2πr=πr×πr2=πr2(2)×2πr=πr×πr2=πr2(3)×2πr=πr×πr2=πr2(4)×2πr=πr×πr2(5)×2πr=【自主归纳】练习：1.D2.B3.C4.A合作探究一、要点探究探究点1：与弧长相关的计算【典例精析】例1A【针对训练】C例2A【针对训练】解：连结AO，OC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝135°，∴∠B＝45°.∴∠AOC＝90°.∴的长＝＝2π.探究点2：与扇形面积有关的计算【典例精析】例3B想一想【典例精析】例4A【针对训练】B例5D
例6解：连结OA、OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交于点C，连结AC.∵OC＝0.6m，DC＝0.3m,∴OD＝OC-DC＝0.3m，即OD＝DC.又AD⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线.∴AC＝AO＝OC.从而∠AOD＝60˚，∠AOB=120˚.有水部分的面积S＝S扇形OAB-SΔOAB=【针对训练】解：由题意可知，OE=CE-OC=0.9-0.6=0.3(cm)，∠BOE=60°，∠AOB=120°，所对的圆心角为240°.S弓形=S扇形+S△OAB=当堂检测1.B2.B3.B4.π﹣25.解：（1）由扇形面积公式S＝得，∴n＝60，即∠AOC＝60°．（2）∵∠AOC＝60°，∴∠BOC＝120°.∴的长度为l＝．6.解：（1）连结BC.∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，即BC＝20cm.∵AB＝AC，∴AB＝AC＝10cm.∴的长＝∴扇形ABC的周长＝（20+5π）cm．（2）S阴＝S圆-S扇形ABC＝π•102﹣＝50π（cm2）．
