27.4正多边形和圆学习目标：1.了解正多边形和圆的有关概念.2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.(重点)3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.（难点）自主学习一、知识链接1.正多边形是指_______相等,_________也相等的多边形.2.n边形的内角和为______________,正n边形的每个内角为_________.3.用尺规作图，画出已知线段的垂直平分线，及已知角的平分线.二、新知预习（预习课本P65-67）填空并完成练习：1.任何正多边形都有一个________圆和一个________圆；2.正多边形的外接圆和内切圆有公共的圆心，这个圆心为正多边形的________.外接圆的半径叫做正多边形的___________,内切圆的半径叫做正多边形的_________.正多边形的每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的___________.3.把圆分成（n＞2）等份，依次连结各等分点所得到的多边形是这个圆的一个_______________.练习：1.如图，在正六边形ABCDEF中，中心为点O，OM⊥BC，则该正六边形的半径为____________,边心距为___________,中心角为_________.第1题图第2题图2.如图，正五边形的中心角∠AOB的度数为__________°.3.已知正六边形的边长为2，则其半径为_______,边心距为_______.合作探究一、要点探究探究点1：正多边形的对称性画一画：画出下列各正多边形的对称轴：
问题正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？【要点归纳】正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.探究点2：正多边形的有关概念及性质观察与思考问题观察正五边形的各条对称轴，它们有哪些性质？（1）这些对称轴交于一点O，它们是正五边形各边的_____________,则点O到正五边形___________的距离相等，记作R，那么以点O为圆心，以R为半径的圆经过正五边形的各个顶点，则它是正五边形的__________.（2）这些对称轴还是正五边形各内角的________________,则点O到正五边形___________的距离相等,记作r.那么以点O为圆心，以r为半径的圆与正五边形的各边_________，则它是正五边形的__________.想一想其他的正多边形，是否也能得出同样的(1)(2)中的结论？【要点归纳】1.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.2.正多边形的外接圆和内切圆有公共的圆心，这个圆心为正多边形的中心.外接圆的半径叫做正多边形的半径,内切圆的半径叫做正多边形的边心距.正多边形的每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.填一填：完成下面表格正多边形边数内角中心角外角346n【典例精析】例1若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（ ）A．正五边形B．正八边形C．正十边形D．正十八边形【针对训练】若正多边形的一个外角为40°，则这个正多边形的中心角的度数是 ．想一想1.怎样把一个圆进行四等分？2.依次连结各等分点，得到一个什么图形？探究归纳把⊙O进行5等分，依次连结各等分点得到五边形ABCDE.(1)填空：①=______;②_______=______;③∠A_____∠E.(2)这个五边形ABCDE是正五边形吗？简单说说理由.
【要点归纳】把圆分成（n＞2）等份，依次连结各分点所得到的多边形是这个圆的一个内接正多边形.【典例精析】例2用尺规作图，作出圆内接正三边形、正八边形.探究点3：正多边形的有关计算探究归纳如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：①它的中心角等于度；②OCBC(填＞、＜或＝）；③△OBC是三角形；④圆内接正六边形的面积是△OBC面积的倍.【典例精析】例3如图①，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是()A．60°B．45°C．36°D．30°图①图②【针对训练】如图②，圆内接正五边形ABCDE中，对角线AD和CE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）A．36°B．60°C．72°D．108°例4有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积(精确到0.1m2).【针对训练】如图，已知正八边形ABCDEFGH内接于半径为R的⊙O，求这个正八边形的面积．
【方法归纳】圆内接正多边形的辅助线的作法：1.连半径，得中心角；2.作边心距，构造直角三角形.二、课堂小结正多边形和圆正多边形的对称性正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.正多边形的有关概念正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的有关计算添加辅助线的方法：连半径；作边心距.当堂检测1.对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 （ ）A.正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴B.正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C.正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D.正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补2.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连结BD，则∠CDB的度数是（ ）A．90°B．60°C．45°D．30°3.若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是 ．4.求半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距、中心角和面积．将结果填写在下表中：圆的内接正多边形边长边心距中心角面积正三角形 正方形 正六边形 5.用尺规作图，作出圆的内接正十二边形.6.如图，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，且边长为4．（1）求该正六边形的半径、边心距；（2）求该正六边形的外接圆的周长和面积．
参考答案自主学习一、知识链接1.各条边各个内角2.180°•（n-2）3.画图略.二、新知预习1.外接内切2.中心半径边心距中心角3.内接正多边形练习：1.OB或OCOM∠BOC2.723.2合作探究一、要点探究探究点1：正多边形的对称性画一画：如图所示.问题正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形；正四边形、正六边形是中心对称图形，正三角形、正五边形不是中心对称图形.探究点2：正多边形的有关概念及性质观察与思考问题（1）垂直平分线各个顶点外接圆（2）平分线各边相切内切圆填一填：填表如下：正多边形边数内角中心角外角360°120°120°490°90°90°6120°60°60°
n【典例精析】例1C【针对训练】40°想一想1.解：如图①，过圆心作两条互相垂直的直径，分别与圆交于点A、B、C、D，则点A、B、C、D将圆四等分.2.解：得到一个正方形.探究归纳（1）①3②3③=（2）五边形ABCDE是正五边形.理由如下：由（1）可得∠A=∠B=∠C=∠D=∠E.由题意得即AB=BC=CD=DE=EA.∴五边形ABCDE是正五边形.【典例精析】例2解：如图所示：探究点3：正多边形的有关计算探究归纳①60②=③等边④6【典例精析】例3C【针对训练】C例4解：如图，易知△OCB为等边三角形，故BC=OB=4m.过点O作OP⊥BC于点P.在Rt△OPB中,OB＝4m,PB＝利用勾股定理,可得边心距故亭子地基的面积【针对训练】解：如图，连结AO、BO、CO、AC.
∵正八边形ABCDEFGH的半径为R，∴AO＝BO＝CO＝R，∠AOB＝∠BOC＝＝45°.∴∠AOC＝90°.∴AC＝R，此时AC与BO垂直.∴S四边形AOCB＝BO×AC＝×R×R＝R2.∴正八边形的面积为R2×4＝2R2．当堂检测1.B2.D3.60°4.填表如下：圆的内接正多边形边长边心距中心角面积正三角形 2 1 120° 3正方形 2 90° 8 正六边形 2 60° 65.解：图略.（提示：在圆内接正六边形的基础上作每条边的垂直平分线并延长，与圆交于6个点，再顺次连结12个点，即为所求内接正十二边形.）6.解：（1）如图，AB为⊙O的内接正六边形的一边，连结OA、OB.过点O作OM⊥AB于点M.∵六边形ABCDEF为正六边形，∴OA＝OB，∠AOB＝×360°＝60°.∴△OAB为等边三角形，∴OA＝AB＝4.∵OM⊥AB，∴∠AOM＝∠BOM＝30°，AM＝AB＝2.∴OM＝AM＝2.故正六边形的的半径为4，边心距为2，中心角为60°.（2）正六边形的外接圆的周长＝2π×OA＝8π；外接圆的面积＝π×OA2＝16π．
