风里雨里，七哥课上等你目录第一章集合与简易逻辑.............................................................................................................-5-第一节集合.................................................................................................................................................-6-第二节简易逻辑.........................................................................................................................................-8-第二章函数...............................................................................................................................-14-第一节函数...............................................................................................................................................-16-第二节基本初等函数...............................................................................................................................-19-第三节函数与方程...................................................................................................................................-23-第四节导数及其应用...............................................................................................................................-24-第三章三角函数.......................................................................................................................-37-第一节任意角的三角函数.......................................................................................................................-39-第二节同角三角函数关系式及诱导公式...............................................................................................-41-第三节三角函数的图像与性质...............................................................................................................-42-第四节三角恒等变换...............................................................................................................................-44-第五节解三角形.......................................................................................................................................-45-第四章数列...............................................................................................................................-55-第一节数列的基本概念...........................................................................................................................-56-第二节等差数列与等比数列...................................................................................................................-57-第三节数列的求和...................................................................................................................................-58-第五章平面向量.......................................................................................................................-67-第一节平面向量概念及线性运算...........................................................................................................-68-第二节平面向量基本定理及坐标运算...................................................................................................-70-第三节平面向量的数量积.......................................................................................................................-71-第六章解析几何.......................................................................................................................-76-第一节直线方程及位置关系...................................................................................................................-79-第二节圆的方程及位置关系...................................................................................................................-80-第三节圆锥曲线.......................................................................................................................................-81-第四节直线与圆锥曲线的位置关系.......................................................................................................-84-第五节曲线方程.......................................................................................................................................-85-第七章立体几何.......................................................................................................................-97-第一节空间几何体...................................................................................................................................-98-第二节空间中的平行与垂直...................................................................................................................-99-第三节空间中的距离与角度（理）.....................................................................................................-102-第四节空间向量与立体几何（理）.....................................................................................................-103-第八章概率及统计.................................................................................................................-115-第一节随机抽样及统计.........................................................................................................................-116--3-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你第二节随机事件及概型.........................................................................................................................-118-第三节排列组合（理）.........................................................................................................................-119-第四节二项式定理（理）.....................................................................................................................-121-第九章不等式.........................................................................................................................-132-第一节不等式的解法与证明.................................................................................................................-133-第二节不等式的解法与应用.................................................................................................................-134-第十章数系的扩充.................................................................................................................-138-第十一章算法与框图.............................................................................................................-143-第一节算法及程序框图.........................................................................................................................-143-第十二章坐标系与参数方程.................................................................................................-152-第一节极坐标与参数方程.....................................................................................................................-152-参考答案...................................................................................................................................-157--4-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你第一章集合与简易逻辑高考导航考试要求命题走向1．集合的含义与表示1、集合（1）了解集合的含义、元素与集合的属有关集合的高考试题，考查重点是集合于关系；与集合之间的关系，近年试题加强了对集合（2）能用自然语言、图形语言、集合语的计算化简的考查，并向无限集发展，考查言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意2．集合间的基本关系利用几何的直观性，注意运用Venn图解题（1）理解集合之间包含与相等的含义，方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强能识别给定集合的子集；集合表示方法的转换和化简的训练．考试形集（2）在具体情境中，了解全集与空集的式多以一道选择题为主，分值5分．合含义．预测高考将继续体现本章知识的工具作3．集合的基本运算．用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题（1）理解两个集合的并集与交集的含的表达之中，相对独立．具体题型估计为：义，会求两个简单集合的并集与交集；（1）题型是1个选择题或1个填空（2）理解在给定集合中一个子集的补集题；的含义，会求给定子集的补集；（2）热点是集合的基本概念、运算和（3）能使用韦恩（Venn）图表达集合的工具作用．关系及运算．4．命题及其关系（1）理解命题的概念；（2）了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题，否命题与逆否命题，会分析四种命题2、常用逻辑用语的相互关系；本部分内容主要是常用的逻辑用语，包逻（3）理解必要条件，充分条件与充要条括命题与量词，基本逻辑联结词以及充分条辑件的意义．件、必要条件与命题的四种形式．预测高考用5．简单的逻辑联结词对本部分内容的考查形式如下：考查的形式语了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含以选择、填空题为主，考察的重点是条件和义．复合命题真值的判断．6．全称量词与存在量词（1）理解全称量词与存在量词的意义；（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定．-5-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你知识精讲第一节集合一、集合的含义及其表示1.集合：某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a是集合的元素，记作aA；若b不是集合A的元素，记作bA；2.集合中的元素具有的三个性质：确定性、无序性、互异性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同与元素的排列顺序无关；3.集合的三种表示方法：列举法---把集合的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法；使用列举法的时候要注意以下几点（1）元素间用分隔符“，”；（2）元素不重复；（3）元素无顺序；（4）对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后才用省略号．描述法---用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在花括号内表示集合的方法．对于描述法，不能只把注意力放在竖线右边适合的条件，还要对竖线左边的形式引起足够的重视．图示法---为了更形象的表示集合，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合．二、集合中元素与集合的关系文字语言符号语言属于不属于三、常见集合的符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号NN+ZQRC四、集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同AB且BA=AB子集A中任意一元素均为B中的元素ABA中任意一元素均为B中的元素，且B真子集AB中至少有一元素不是A的元素空集是任何集合的子集，是任何非空集合空集A，BB()的真子集五、集合的基本运算1、交集与并集（1）交集：由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集．交集-6-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你AB=xxAx且B．（2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．AB=xxAx或B．2、全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（2）若S是一个集合，AS，则S中子集A的补集记作CA；s注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．交并补AB=xxAx且BAB=xxAx或BCUA=xxU且xA-7-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你第二节简易逻辑一、四种命题及其关系1、命题的定义命题：可以判断真假的语句叫命题；注意：不是任何语句都是命题，一般来说，疑问句，祈使句，感叹句都不是命题；一个命题，常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示．2、四种命题如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题．两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题．若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假．3、表示形式一般的，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q则p．4、四种命题的关系原命题互逆逆命题若p则q若q则p互否互为逆互否为逆否互否否命题若否命题若则互逆则二、充分条件、必要条件与充要条件一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件．可分为四类：（1）充分不必要条件，即pq且qp/（2）必要不充分条件，即qp且pq/（3）既充分又必要条件，即pq（4）既不充分也不必要条件，即qp/且pq/，一般地，如果既有pq，又有qp，就记作：pq，“”叫做等价符号．pq表示pq且qp．这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件．三、基本逻辑联结词：“或”“且”“非”1、或：两个简单命题至少有一个成立；2、且：两个简单命题都成立；-8-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你3、非：对一个命题的否定．四、简单命题与复合命题1、定义简单命题：不含逻辑联结词的命题．复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题．2、表达形式简单命题常用小写的拉丁字母pqrs，，，，表示；复合命题常用p或q，p且q，非p表示．3、复合命题的真值表pqp且qp或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容．-9-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你五、量词1、全称量词与全称命题短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示含有全体量词的命题，叫做全称命题．2、特称量词及特称命题短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做特称量词，并用符号“”表示，含有特称量词的命题，叫做特称命题．要点解析一、集合的简单性质：（1）AA=A，A=，AB=BA；（2）AA=，AB=BA；（3）(AB)(AB)；（4）ABAB=A，ABAB=B；（5）(AB)C=A(BC)；(AB)C=A(BC)；（6）C(AB)=(CA)(CB)；C(AB)=(CA)(CB)．SSSSSS二、空集的相关知识点1、空集是指不含任何元素的集合．0、和的区别；0与三者间的关系．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．条件为AB，在讨论的时候不要遗忘了A=的情况．2、若A集合为：A=xax=bb,0，讨论空集从a=0入手；若A集合为：A=xMxN形式，讨论空集从MN的入手；2若A集合为：A=xax+bxc+=00(c)形式，讨论空集从a=0，b=0和0的入手；三、有限集的子集个数公式nnn设有限集A中有n个元素，则A的子集个数有2个，其中真子集个数是21−，非空子集个数是21−，n非空真子集个数是22−．四、集合基本概念问题的求解方法集合的基本概念包括集合、元素的概念，元素与集合的关系，集合与集合的关系，集合中元素的特性等，此类题目的命题点一般着眼于集合中元素的确定性与互异性，解决问题的关键是对数学分类讨论思想的灵活运用，分类应注意：不重复、不遗漏、分类的标准一致．五、集合间基本关系问题的求解方法1、判断两集合的关系通常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；二是利用列举法表示各集合，从元素中寻求关系．2、已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴，韦恩图帮助分析．-10-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你六、从集合的角度分析条件问题定义从集合观点看若pq，则p是q的充分条件若集合MN，则M是N的充分条件若qp，则p是q的必要条件若集合NM，则M是N的必要条件若pq且qp/，则p是q的充分不必要条件若集合MN，则M是N的充分不必要条件若qp且pq/，则p是q的必要不充分条件若集合NM，则M是N的必要不充分条件若pq，则p是q的充要条件若集合MN=，则M是N的充分必要条件若qp/且pq/，若集合MN/且NM/则p是q的非必要非充分条件则M是N的非充分非必要条件七、四种命题真假的判定1、原命题为真，它的逆命题不一定为真；2、原命题为真，它的否命题不一定为真；3、原命题为真，它的逆否命题一定为真；原命题与逆否命题互为等价命题．八、判断充要条件的方法1、定义法：若pq，则p是q的充要条件；2、逆否法：若证p是q的充要条件，只需证明q是p的充要条件；3、集合法：若集合MN=，则M是N的充分必要条件．-11-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你高考特训x【例1】（2017全国Ⅰ）已知集合A=xx1，Bx=31，则（）A．AB=xx0B．AB=RC．AB=xx1D．AB=2【例2】（2017全国Ⅱ）已知集合A=1,2,4，B=xx−40xm+=，若AB=1，则B=（）A．1,3−B．{1,0C．1,3D．1,522【例3】（2017全国Ⅲ）已知集合A=(xyx,1)+y=，B==(xyy,)x，则AB中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．0【例4】（2018全国Ⅰ）已知集合2（）A=xx−−x20，则RA=A．xx−12B．xx−12C．xx|−1xx|2D．xx|−1xx|2【例5】（2018全国Ⅱ）已知集合()22A=x，yx+y≤3，xZZ，y，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．4【例6】（2018全国Ⅲ）已知集合Axx|−10，B=0,1,2，则AB=（）A．0B．1C．1,2D．0,1,2【例7】（2018浙江）已知全集U=12345，，，，，A=13，，则UA=（）A．B．13，C．245，，D．12345，，，，【例8】（2018浙江）已知平面α，直线m，n满足m，n，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【例9】（2018北京）设a，b均为单位向量，则“a−33b=a+b”是“ab⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件113【例10】（2018天津）设xR，则“x−”是“x1”的（）22A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件-12-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你2【例11】（2019全国I）已知集合M=x−42x，N=xx−−x60，则MN=（）A．xx−43B．xx−−42C．xx−22D．xx232【例12】（2019全国II）设集合A=xx−5x+60，B=xx−10，则AB=（）A．(−,1)B．(−2,1)C．(−−3,1)D．(3,+)2【例13】（2019全国III）已知集合A=−1,0,1,2，B=xx1，则AB=（）A．−1,0,1B．0,1C．−1,1D．0,1,2【例14】（2019浙江）已知全集U=−1,0,1,2,3，集合A=0,1,2，B=−1,0,1，则(AB)=U（）A．−1B．0,1C．−1,2,3D．−1,0,1,3【例15】（2019浙江）若a0，b0，则“ab+4”是“ab4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件-13-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你第二章函数高考导航考试要求命题走向1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变从近几年来看，对本部分内容的考察形量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应于函数的概念及表示多以下面的形式出现：关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的通过具体问题（几何问题、实际应用题）找函要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解出变量间的函数关系，再求出函数的定义数映射的概念；域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的的2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰结果．概当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函高考对函数概念与表示考察是以选择念数；或填空为主，以解答题形式出现的可能性相及3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并对较小，本节知识作为工具和其他知识结合性能简单应用；起来命题的可能性依然很大．质4．通过已学过的函数特别是二次函数，理解预测高考对本节的考察是：函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结1．题型是1个选择和1个填空；合具体函数，了解奇偶性的含义；2．热点是函数概念及函数的工具作用，5．学会运用函数图像理解和研究函数的性以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数质．成为新的热点．1．指数函数指数函数、对数函数、幂函数是三类常（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中见的重要函数，在历年的高考题中都占据着所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化重要的地位．从近几年的高考形势来看，对等），了解指数函数模型的实际背景；指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例以基本函数的性质为依托，结合运算推理，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；能运用它们的性质解决具体问题．为此，我指（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算对算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并法，能对常见的指数型函数、对数型函数进函理解指数函数的单调性与特殊点；行变形处理．数（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指预测对本节的考察是：数函数是一类重要的函数模型．1．题型有两个选择题和一个解答题；2．对数函数2．题目形式多以指数函数、对数函数、（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用幂函数为载体的复合函数来考察函数的性换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用质．同时它们与其它知识点交汇命题，则难对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及度会加大．对简化运算的作用；-14-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；x3．知道指数函数ya=与对数函数yx=log互a为反函数（aa01，）．1．导数及其应用高考继续以上面的几种形式考察不会（1）导数概念及其几何意义有大的变化：①了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化（1）考查形式为：选择题、填空题、率就是导数，体会导数的思想及其内涵；②通过解答题各种题型都会考察，选择题、填空题函数图像直观地理解导数的几何意义．一般难度不大，属于高考题中的中低档题，（2）导数的运算解答题有一定难度，一般与函数及解析几何①会求导；②能利用给出的基本初等函数的结合，属于高考的中低档题；导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的（2）高考可能涉及导数综合题，以导导数，能求简单的复合函数（仅限于形如数为数学工具考察：导数的物理意义及几何faxb(+)的导数；③会使用导数公式表．意义，复合函数、数列、不等式等知识．（3）导数在研究函数中的应用导定积分是新课标教材新增的内容，主要①借助几何直观探索并了解函数的单调性函包括定积分的概念、微积分基本定理、定积与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，数分的简单应用，由于定积分在实际问题中非会求不超过三次的多项式函数的单调区间；②常广泛，因而高考会在这方面考察，预测高结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必考呈现以下几个特点：要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多（1）新课标考察，难度不会很大，注项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超意基本概念、基本性质、基本公式的考察及过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数简单的应用；高考中本讲的题目一般为选择方法在研究函数性质中的一般性和有效性．题、填空题，考查定积分的基本概念及简单（4）生活中的优化问题举例运算，属于中低档题；例如，使利润最大、用料最省、效率最高等（2）定积分的应用主要是计算面积，优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用．诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等（5）定积分与微积分基本定理实际问题要很好的转化为数学模型．-15-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你知识精讲第一节函数一、映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．记作f：A→B．函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射．注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．二、函数的概念设AB、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx()和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=fx(),xA．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合fxx()A叫做函数的值域．注意：（1）“y=fx()”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=gx()”；（2）函数符号“y=fx()”中的fx()表示与x对应的函数值，是一个数，而不是f乘x．三、函数的表示方法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的关系．四、几类特殊的函数类型1、分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．2、复合函数若y=fu()，u=gx()，x(ab,)，u(mn,)，那么y=fgx()称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是gx()的值域．五、函数的奇偶性1、定义如果对于函数fx()定义域内的任意x都有f(−x)=−fx()，则称fx()为奇函数；如果对于函数fx()定义域内的任意x都有f(−=x)fx()，则称fx()为偶函数．如果函数fx()不具有上述性质，则fx()不具有奇偶性．如果函数同时具有上述两条性质，则fx()既是奇函数，又是偶函数．注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶-16-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则−x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．2、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2)确定fx(−)与fx()的关系；3)作出相应结论：若f(−=x)fx()或f(−x)−fx()=0，则fx()是偶函数；若f(−x)=−fx()或f(−x)+fx()=0，则fx()是奇函数．3、简单性质：1)图像的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于y轴对称；2)设fx()，gx()的定义域分别是D，D，那么在它们的公共定义域上：12奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇六、函数的单调性1、定义一般地，设函数y=fx()的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x，1x2，当xx12时，都有fx(12)fx()或fx(12)fx()，那么就说fx()在区间D上是增函数（减函数）；注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当xx时，总有fx()fx()或fx()fx()．1212122、利用定义判断函数单调性的格式步骤：1)任取x1，xD2，且xx12；2)作差fx()−fx()；123)变形（通常是因式分解和配方）；4)定号（即判断差fx()−fx()的正负）；125)下结论（即指出函数fx()在给定的区间D上的单调性）．3、简单性质：①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数fx()+增函数gx()是增函数；减函数fx()+减函数gx()是减函数；增函数fx()−减函数gx()是增函数；减函数fx()−增函数gx()是减函数．七、函数的最值最大值：一般地，设函数y=fx()的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的xI，都有fx()M；②存在xI，使得fx()=M．那么，称M是函数y=fx()的最大值．00最小值：一般地，设函数y=fx()的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有fx()M；②存在xI，使得fx()=M．那么，称M是函数y=fx()的最小值．00注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在xI，使得fx()=M；函数最大（小）应00-17-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有fx()M或fx()M．八、函数的周期性1、定义如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有fxT(+=)fx()，则称fx()为周期函数；2、性质：TTfxT(+=)fx()常常写作fx+=fx−，若fx()的周期中，存在一个最小的正数，则称22它为fx()的最小正周期；T若周期函数fx()的周期为T，则fx()（0）是周期函数，且周期为．||-18-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你第二节基本初等函数一、指数与对数运算1、根式的概念1)定义*n若一个数的n次方等于a（n1，且nN），则这个数称a的n次方根．即若xa=，则x称a的n次nN*），当n为奇数时，an的次方根记作n方根（n1，且a；当n为偶数时，负数a没有n次方根，而na正数a有两个n次方根且互为相反数，记作（a0）．2)性质naa,0nnnnn(aa)=；当n为奇数时，aa=；当n为偶数时，aa==−aa,02、幂的有关概念1)规定n*0a=aaa（nN）a=1（a0）；n个m−p1nnm*a=（pQ）aa=（a0，m，nN,且n1）．pa2)性质：rsrs+aa=a（a0，r，sQ）；srrs(aa)=（a0，r，sQ）；rrr(ab)=ab（a0，b0，rQ）．3、对数的概念1)定义b如果a（a0，且a1）的b次幂等于N，就是aN=，那么数b称以a为底N的对数，记作logNb=，a其中a称对数的底，N称真数．其中，以10为底的对数称常用对数，logN记作lgN；以无理数e（e2.71828=）为底的对数称10自然对数，logN，记作lnN．e2)基本性质：aNlogaN=．真数N为正数（负数和零无对数）；log10=；loga=1；对数恒等式：aa3)运算性质：如果a0，a1，M0，N0，则loga(MN)=+logaMlogaN；Mlog=−logMNlog；aaaNnlogM=nlogM（nR）．aalogNm4)换底公式：logN=（a0，a1，m0，m1，N0）；alogamnnlogabba=log1；logambb=loga．m-19-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你二、指数函数与对数函数1、指数函数1)定义x函数ya=（a0，且a1）称指数函数，2)图像及其性质xya=a101＜a＜图像定义域R值域(0,+)过定点(0,1)，图像都在一、二象限性质x−x对于相同的a（a0，且a1），函数ya=与ya=的图像关于y轴对称．当x0时，01y当x0时，y1单调性当x0时，y1当x0时，01y在(−+,)上是增函数在(−+,)上是减函数-20-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你2、对数函数1)定义函数yx=log（a0，且a1）称对数函数a2)图像及其性质yx=loga101＜a＜a图像定义域(0,+)值域R过定点(1,0)，图像都在一、四象限对于相同的a（a0，且a1），函数y==logxy与logx的图像关于x轴对性质a1a称．当01x时，y0当01x时，y0单调性当x1时，y0当x1时，y0在(0,+)上是增函数在(0,+)上是减函数三、二次函数与幂函数21)二次函数的定义：形如y=ax+bxc+（a0）的函数叫做二次函数．2)二次函数的三种表达形式2一般式：y=ax+bxc+（a0）2顶点式：y=axh(−)+k（a0）两根式：y=ax(−x)(x−x)(a0)（a0）123)二次函数的图像与性质2b二次函数y=ax+bxc+（a0）是以直线x=−为对称轴的抛物线，其开口方向由a的符2a号决定．对称轴两侧单调性相反．mn+4)若二次函数满足fx(+m)=f(−+xn)，则二次函数对称轴为x=25)幂函数的定义a一般地，形如yx=（aR）的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，a为常数．6)图像的性质1在同一平面直角坐标系下，幂函数yx=，yx=2，yx=3，yx=2，yx=−1，图像分别如下图．-21-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你a当a0时，幂函数yx=（aR）的图像都经过点(0,0)，(1,1)；在第一象限内，函数值y随x的增大而增大；在第一象限内，a1时，函数图像是向下凸的，0a1时，函数图像是向上凸的；a当a0时，幂函数yx=（aR）的图像都经过点(1,1)；在第一象限内，函数值y随x的增大而减小，函数图像是向下凸的．123−1yx=yx=yx=yx=2yx=定义域RRR0,+)xxR且x0值域R0,+)R0,+)yyR且x0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇x0,+)时，增x0,+)时，减单调性增增增x−(,0)时，减x−(,0)时，减定点(0,0)，(1,1)(1,1)-22-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你第三节函数与方程一、方程的根与函数的零点1、函数零点概念：对于函数y=fx()（xD），把使fx()=0成立的实数x叫做函数y=fx()（xD）的零点．2、函数零点的意义：函数y=fx()的零点就是方程fx()=0的实数根，亦即函数y=fx()的图像与x轴交点的横坐标．即：方程fx()=0有实数根函数y=fx()的图像与x轴有交点函数y=fx()有零点．23、二次函数y=ax+bxc+（a0）的零点：20，方程ax+bxc+=0有两不等实根，二次函数的图像与x轴有两个交点，二次函数有两个零点；2=0，方程ax+bxc+=0有两相等实根（二重根），二次函数的图像与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；20，方程ax+bxc+=0无实根，二次函数的图像与x轴无交点，二次函数无零点．4、零点存在性定理：如果函数y=fx()在区间ab,上的图像是连续不断的一条曲线，并且有fafb()()0，那么函数y=fx()在区间(ab,)内有零点．即存在c(ab,)，使得fc()=0，这个c也就是方程的根．二、二分法1、二分法的概念对于在区间ab,上连续不断，且满足fa()fb()0的函数y=fx()，通过不断地把函数fx()的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2、用二分法求函数fx()的零点近似值的步骤（1）确定区间ab,，验证fa()fb()0，给定精度；（2）求区间(ab,)的中点x；1（3）计算fx()：1①若fx()=0，则x就是函数的零点；11②若fa()fx()0，则令bx=（此时零点x0(ax,)）；111③若fx(1)fb()0，则令ax=1（此时零点x0(xb1,)）；（4）判断是否达到精度；即若ab−，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤（2）~（4）．3、函数零点的性质从“数”的角度看：即是使fx()=0的实数；从“形”的角度看：即是函数fx()的图像与x轴交点的横坐标；若函数fx()的图像在xx=处与x轴相切，则零点x通常称为不变号零点；若函数fx()的图像在00xx=处与x轴相交，则零点x通常称为变号零点．（注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件00fa()fb()0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．-23-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你第四节导数及其应用一、导数的概念函数y=fx()，如果自变量x在x处有增量x，那么函数y相应地有增量=yfx(+x)−fx()，000yyfx(00+x)−fx()比值叫做函数y=fx()在x到xx+之间的平均变化率，即=．00xxxy如果当→x0时，有极限，我们就说函数y=fx()在点x处可导，并把这个极限叫做y=fx()0xyfx+x−fx在点x处的导数，记作fx()或y即fx()==(00)()．00xx=00limxxlim→xx00→说明：yy（1）函数y=fx()在点x处可导，是指→x0时，有极限．如果不存在极限，就说函数在0xx点x处不可导，或说无导数．0（2）x是自变量x在x处的改变量，x0时，而y是函数值的改变量，可以是零．0由导数的定义可知，求函数y=fx()在点x处的导数的步骤：0（1）求函数的增量=yfx(+x)−fx()；00yfx(00+x)−fx()（2）求平均变化率=；xxy（3）取极限，得导数fx()=lim．0→x0x二、导数的几何意义函数y=fx()在点x处的导数的几何意义是曲线y=fx()在点Pxfx(,())处的切线的斜率．也就000是说，曲线y=fx()在点Pxfx(,())处的切线的斜率是fx()．相应地，切线方程为000y−y0=f(x0)(xx−0)．三、常见函数的导数公式．1、C=0（C为常数）aa−12、(x)=ax3、(sin)=cos4、(cos)=−sin15、(lnx)=x116、(logx)==loge（a0，且a1）aaxxlnaxx7、(ee)=xx8、(a)=alna（a0，且a1）-24-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你四、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）．即：(uv)=uv法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)=+uvuv．若C为常数，则(Cu)=Cu．法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母uuvuv−的平方：=（v0）．2vv形如y=f(x)的函数称为复合函数．复合函数求导步骤：分解——求导——回代．法则：yx()=yuux()()．五、导数的应用（1）一般地，设函数y=fx()在某个区间可导，如果fx()0，则fx()为增函数；如果fx()0，则fx()为减函数；如果在某区间内恒有fx()=0，则fx()为常数．（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．（3）一般地，在区间ab,上连续的函数x在ab,上必有最大值与最小值．①求函数x在(ab,)内的极值；②求函数x在区间端点的值fa()，fb()；③将函数x的各极值与fa()，fb()比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值．六、定积分1、概念设函数fx()在区间ab,上连续，用分点a=xxxxxb=把区间ab,等分成n个01i−1inn小区间，在每个小区间xxii－1,上取任一点i(in=1,2,,)作和式Ini=f()x（其中x为小区间长度），i＝1b把n→+即→x0时，和式I的极限叫做函数fx()在区间ab,上的定积分，记作：fx()dx，即nanbfxx()d=limf(i)x．an→i=1这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间ab,叫做积分区间，函数fx()叫做被积函数，x叫做积分变量，fx()dx叫做被积式．mm1+11基本的积分公式：0dxC=；xdx=+xC（mQ，m−1）；dx=+lnxC；m+1xxxxxaedxC=+e；axd=+C；cosdxx=+sinxC；sindxx=−cosxC+（表中C均为常数）．lna2、定积分的性质bb①kfx()ddx=kfx()x（k为常数）；aa-25-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你bbb②afx()gx()dx=afx()dxagx()dx；bcb③afx()dx=+afx()dxcfx()dx（其中acb)．3、定积分求曲边梯形面积由三条直线xa=，xb=（ab），x轴及一条曲线y=fx()（fx()0）围成的曲边梯的面积bS=fx()dx．a如果图形由曲线y=fx()，y=f(x)（不妨设fx()f(x)0），及直线xa=，xb=（ab）112212bb围成，那么所求图形的面积S=−fx()ddxfx()x．12aa-26-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你要点解析一、两个函数相等的概念函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f．当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．二、函数定义域三种类型解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义．三、函数定义域求法（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知fx()的定义域求fgx()的定义域或已知fgx()的定义域求fx()的定义域：①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；②若已知fx()的定义域ab,，其复合函数fgx()的定义域应由agx()b解出．四、函数值域的求法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的．其类型依解析式的特点分可分三类：（1）求常见函数值域；（2）求由常见函数复合而成的函数的值域；（3）求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．①直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=+axb（a0）的定义域为R，值域为R；k反比例函数y=（k0）的定义域为xx0，值域为yy0；x2二次函数fx()=ax+bxc+（a0）的定义域为R，−24acb当a0时，值域为yy；4a−24acb当a0时，值域为yy．4a2②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为如：fx()=ax+bxc+，x(mn,)的形式；③分式转化法（或改为“分离常数法”）；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；-27-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你k⑥基本不等式法：转化成型如：yx=+（k0），利用平均值不等式公式来求值域；x⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域；⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．五、函数解析式的求法1)已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；2)已知fx()求fgx()或已知fgx()求fx()：换元法、配凑法；3)已知函数图像，求函数解析式；4)fx()满足某个等式，这个等式除fx()外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．六、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法1)利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；2)利用图像求函数的最大（小）值；3)利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；如果函数y=fx()在区间ab,上单调递增，在区间bc,上单调递减则函数y=fx()在xb=处有最大值fb()；如果函数y=fx()在区间ab,上单调递减，在区间bc,上单调递增则函数y=fx()在xb=处有最小值fb()．七、复合函数的单调性设复合函数y=fgx()，其中u=gx()，A是y=fgx()定义域的某个区间，B是映射g:x→=ugx()的象集：①若u=gx()在A上是增（或减）函数，y=fu()在B上也是增（或减）函数，则函数y=fgx()在A上是增函数；②若u=gx()在A上是增（或减）函数，而y=fu()在B上是减（或增）函数，则函数y=fgx()在A上是减函数．八、函数的图像变换（1）平移变换①水平平移：y=fxa()（a0）的图像，可由y=fx()的图像向左（+）或向右（−）平移a个单位而得到．②竖直平移：y=fx()b（b0）的图像，可由y=fx()的图像向上（+）或向下（−）平移b个单位而得到．（2）对称变换①y=f(−x)与y=fx()的图像关于y轴对称．②y=-fx()与y=fx()的图像关于x轴对称．③y=−−fx()与y=fx()的图像关于原点对称．由对称变换可利用y=fx()的图像得到y=fx()与y=f(x)的图像．①作出y=fx()的图像，将图像位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得-28-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你到y=fx()的图像；②作出yfx=()在y轴上及y轴右边的图像部分，并作y轴右边的图像关于y轴对称的图像，即得y=f(x)的图像．（3）伸缩变换①y=afx()（a0）的图像，可将y=fx()图像上每点的纵坐标伸（a1时）或缩（a1时）到原来的a倍，横坐标不变．②y=fax()（a0）的图像，可将y=fx()的图像上每点的横坐标伸（a1时）或缩（a1时）1到原来的倍，纵坐标不变．a（4）翻折变换①作为y=fx()的图像，将图像位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝fx()的图像；②作为y=fx()在y轴上及y轴右边的图像部分，并作y轴右边的图像关于y轴对称的图像，即得y=f(x)的图像．九、二次函数的性质及根的分布问题二次函数的基本性质pq+（1）当a0，fx()在区间pq,上的最大值M，最小值m，令x=．02b若−p，则fp()=m，fq()=M；2abb若px−＜，则fm−=，fq()=M；02a2abb若xq−＜，则fp()=M，fm−=；02a2ab若−q，则fp()==M，fq()m．2a2（2）二次方程y=ax+bxc+（a0）的实根分布及条件．①方程fx()=0的两根中一根比r大，另一根比r小afr()0；=b2−40acb②二次方程fx()=0的两根都大于r−r2aafr()0=2−b40acbpq−③二次方程fx()=0在区间(pq,)内有两根2aafp()0afq()0-29-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你④二次方程fx()=0在区间(pq,)内只有一根fp()fq()0，或fp()=0（检验）或fq()=0（检验）检验另一根若在(pq,)内成立．十、函数零点个数的判断方法(1)直接求零点令fx()=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理利用定理不仅要求函数在区间ab,上是连续不断的曲线，且fa()fb()0，还必须结合函数的图像与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．十一、利用导数求函数单调区间的步骤（1）确定函数fx()的定义域；（2）求导数fx()；（3）由fx()0（fx()0）解出相应的x的范围．当fx()0时，fx()在相应的区间上是增函数；当fx()0时，fx()在相应的区间上是减函数，列表，写出函数的单调区间．-30-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你高考特训xyz【例1】（2017全国Ⅰ）设xyz,,为正数，且2==35，则（）A．2x3y5zB．5z2x3yC．3y5z2xD．3y2x5z2xx−1−+1【例2】（2017全国Ⅲ）已知函数fx()=x−2xa+(e+e)有唯一零点，则a=（）111A．−B．C．D．123221x−【例3】（2017全国Ⅱ）若x=−2是函数fx()=(x+ax−1e)的极值点，则fx()的极小值为（）−3−3A．−1B．−2eC．5eD．1【例4】（2018全国Ⅱ）已知fx()是定义域为(−+,)的奇函数，满足f(11−x)=f(+x)．若f(12)=，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=（）A．−50B．0C．2D．502【例5】（2017全国Ⅱ）已知函数fx()=ax−ax−xlnx，且fx()0．（1）求a；−−22（2）证明：fx()存在唯一的极大值点x，且e2fx()．00-31-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你xx−ee−【例6】（2018全国Ⅱ）函数fx()=的图像大致为（）2x【例7】（2018全国Ⅲ）设a=log0.3，b=log0.3，则（）0.22A．abab+0B．abab+0C．ab+0abD．ab+0ab【例8】（2018浙江）我国古代著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数x+y+=z100,分别为x，y，z，则1当z=81时，x=___________，y=___________．5x+3y+z=100,332【例9】（2018全国Ⅰ）设函数fx()=x+(a−1)x+ax，若fx()为奇函数，则曲线y=fx()在点(0,0)处的切线方程为（）A．yx=−2B．yx=−C．yx=2D．yx=【例10】（2018全国Ⅰ）已知函数fx()=+2sinxsin2x，则fx()的最小值是_____________．【例11】（2018全国Ⅰ）1已知函数fx()=−+xalnx．x（1）讨论fx()的单调性；fx(12)−fx()（2）若fx()存在两个极值点xx,，证明：−a2．12xx−12-32-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你【例12】（2018全国Ⅲ）已知函数()2fx=(2++xax)ln1(+x)−2x．（1）若a=0，证明：当−10x时，fx()0；当x0时，fx()0；（2）若x=0，是fx()的极大值点，求a．【例13】（2018浙江）已知函数fx()=−xlnx．（1）若fx()在xx=，xx(x)处导数相等，证明：fx()+fx()−88ln2；121212（2）若a34ln2−，证明：对于任意k0，直线y=+kxa与曲线y=fx()有唯一公共点．-33-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你0.20.3【例14】（2019全国I）已知a=log0.22，b=2，c=0.2，则（）A．abcB．acbC．cabD．bca2x【例15】（2019全国I）曲线y=+3e(xx)在点(0,0)处的切线方程为____________．【例16】（2019全国II）设函数fx()的定义域为R，满足fx(+=1)2fx()，且当x(0,1时，8fx()=−xx(1)．若对任意xm−(,，都有fx()−，则m的取值范围是（）99758A．−,B．−,C．−,D．−,4323ax【例17】（2019全国II）已知fx()是奇函数，且当x0时，fx()=−e．若f(ln2)=8，则a=__________．x【例18】（2019全国3）已知曲线y=+aexlnx在点(1,ea)处的切线方程为y=+2xb，则（）A．a=e，b=−1B．a=e，b=1−1−1C．a=e，b=1D．a=e，b=−1【例19】（2019全国III）设fx()是定义域为R的偶函数，且在(0,+)单调递减，则（）−3−2−2−311A．flog3f22f23B．flog3f23f2244−3−2−2−311C．fff2223log3D．fff2322log3442【例20】（2019江苏）函数y=76+x−x的定义域是______．【例21】（2019江苏）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yx=ln上，且该曲线在点A处的切线经过点(−−e,1)（e为自然对数的底数），则A的坐标是______．【例22】（2019江苏）设fx()，gx()是定义在R上的两个周期函数，fx()的周期是4，gx()的周期是kx(+2,0)x12为2，且fx()是奇函数，当x(0,2时，fx()=11−(x−)，gx()=1，其中−,1x22k，若在区间(0,9上，关于x的方程fx()=gx()有8个不同的实数根，则k的取值范围是______．xx,0【例23】（2019浙江）已知a，bR，函数fx()=1132，若函数y=fx()−axb−x−(a+1)x+axx,032恰有三个零点，则（）A．a−1，b0B．a−1，b0-34-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你C．a−1，b0D．a−1，b032【例24】（2019浙江）已知aR，函数fx()=−axx，若存在tR，使得ft(+−2)ft()，则实数3a的最大值是__________．【例25】（2019全国I）已知函数fx()=sinx−ln1(+x)，fx()为fx()的导数．证明：（1）fx()在区间−1,存在唯一极大值点；2（2）fx()有且仅有2个零点．x+1【例26】（2019全国II）已知函数fx()=−lnx．x−1（1）讨论fx()的单调性，并证明fx()有且仅有两个零点；x是fx()的一个零点，证明曲线yx=ln在点()x（2）设0Ax00,lnx处的切线也是曲线y=e的切线．-35-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你32【例27】（2019全国III）已知函数fx()=2x−ax+b．（1）讨论fx()的单调性；（2）是否存在a，b，使得fx()在区间0,1的最小值为−1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．【例28】（2019江苏）设函数fx()=(xaxbxc−)(−)(−)，fx()为fx()的导函数．（1）若abc==，f(48)=，求a的值；（2）若ab，bc=且fx()和fx()的零点均在集合−3,1,3中，求fx()的极小值；4（3）若a=0，0b1，c=1，且fx()的极大值是M，求证：M．27【例29】（2019浙江）已知实数a0，设函数fx()=alnx+x+1，x0．3（1）当a=−时，求函数fx()的单调区间；41x（2）对任意x,+均有fx()，求a的取值范围．e22a注：e2.71828=为自然对数的底数．-36-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你第三章三角函数高考导航考试要求命题走向任1．任意角、弧度意2．三角函数角预测高考对本讲的考察是：（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、的1．题型是1道选择题和解答题中小过程；正切）的定义；三2．热点内容是三角函数知识的综合应用（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式角和实际应用，这也是新课标教材的热点内容．π函（，π的正弦、余弦、正切）．2数1．能画出yx=sin，yx=cos，yx=tan的图像，了解三角函数的周期性；近几年高考降低了对三角变换的考查要三2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在0,2π，求，而加强了对三角函数的图像与性质的考角查．ππ函正切函数在−,上的性质（如单调性、最大和最预测高考对本讲内容的考察为：22数1．题型为1道选择题（求值或图像变换），小值、图像与x轴交点等）；图1道解答题（求值或图像变换）；3．结合具体实例，了解y=+Asin(x)的实际像2．热点问题是三角函数的图像和性质，意义；能借助计算器或计算机画出y=+Asin(x)特别是y=+Asin(x)的图像及其变换；的图像，观察参数A，，对函数图像变化的影响．从近几年的高考考察的方向来看，这部三1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式分的高考题以选择、解答题出现的机会较多，角的过程，进一步体会向量方法的作用；有时候也以填空题的形式出现，它们经常与恒2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，等弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变变了解它们的内在联系；换研究三角函数的性质．换3．能运用上述公式进行简单的恒等变换-37-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你对本讲内容的考察主要涉及三角形的边1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函解握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体三度量问题；几何体的空间角以及解析几何中的有关角等角2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解问题．今后高考的命题会以正弦定理、余弦定形决一些与测量和几何计算有关的实际问题．理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理．-38-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你知识精讲第一节任意角的三角函数一、任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角．旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点．为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角．如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．二、终边相同的角、区间角与象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．要特别注意:如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称为非象限角．终边相同的角是指与某个角具有同终边的所有角，它们彼此相差2kπ（kZ），即=2kkπ+,Z，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等．π5ππ5π区间角是介于两个角之间的所有角，如=,．6666三、弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1（单位可以省略不写）．角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如−π，−2π等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定．l角的弧度数的绝对值是：=，其中，l是圆心角所对的弧长，r是半径．r角度制与弧度制的换算主要抓住180=πrad．180π弧度与角度互换公式1rad=57.30=5718、1=0.01745rad．π180弧长公式：lr=（是圆心角的弧度数），112扇形面积公式：S==lrr．22四、三角函数定义22在的终边上任取一点Pab(,)，它与原点的距离r=a+b0．过P作x轴的垂线，垂足为MPbOMaM，则线段OM的长度为a，线段MP的长度为b．则sin==；cos==；OPrOPrMPbtan==．OMa利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Pxy(,)，那么：（1）y叫做的正弦，记做sin，即sin=y；（2）x叫做的余弦，记做cos，即cos=x；-39-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你yy（3）叫做的正切，记做tan，即tan=(x0)．xx五、三角函数线三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法．利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便．以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）．当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点Pxy(,)，过点P作PM⊥x轴交x轴于点M，根据三角函数的定义：MP==ysin；OM==xcos．我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关．当角的终边不在坐标轴时，以O为始点、M为终点，规定：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有负值x；其中x为P点的横坐标．这样，无论那种情况都有OM==xcos同理，当角的终边不在x轴上时，以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有负值y；其中y为P点的纵坐标．这样，无论那种情况都有MP==ysin．像MP，OM这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段．如上图，过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与的终边交于点T，请根据正切函数的定义与相似三角形的知识，借助有向线段OAAT、，我们有ytan==ATx我们把这三条与单位圆有关的有向线段MPOMAT、、，分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．-40-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你第二节同角三角函数关系式及诱导公式一、同角三角函数关系式22sinsin+=cos1；tan=cos使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法．几个常用关系式：sin+cos，sin−cos，sincos（三式之间可以互相表示）2(sin+cos)=+12sincos2(sin−cos)=−12sincos二、诱导公式可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”．诱导公式一：sin(+=2kπ)sin；cos(+=2kπ)cos，其中kZ诱导公式二：sin(π+)=−sin；cos(π+)=−cos诱导公式三：sin(−)=−sin；cos(−=)cos诱导公式四：sin(π−=)sin；cos(π−)=−cos诱导公式五：sin2(π−)=−sin；cos2(π−=)cosπ－π−π+2π−2kkπ+(Z)−2sin−sinsin−sin−sinsincoscoscos−cos−coscoscossinπ（1）要化的角的形式为k（k为常整数）；2（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；kk（3）sin(kπ+)=−(1sin)，cos(kπ+)=−(1cos)（kZ）；πππππ（4）sinx+=cos−x=cosx−；cosxx+=sin−．44444-41-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你第三节三角函数的图像与性质一、三角函数的图像与性质函数yx=sinyx=cosyx=tan性质π定义域RRxxkπ＋,kZ2图像值域−1,1−1,1Rπ对称轴xk=+π（kZ）xk=π（kZ）无2π对称中心(kπ,0)（kZ）kπ+,0（kZ）kπ2,0（kZ）2周期2π2πππ3π单调减区间2kkπ++,2π（kZ）2kkπ,2π+π（kZ）22ππππkkπ−+,π单调增区间2kkπ−+,2π（kZ）2kkπ−π,2π（kZ）2222（kZ）奇偶性奇偶奇-42-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你二、五点法作图（1）yx=sin的图像在0,2π上的五个关键点的坐标为π3π(0,0)，,1，(π,0)，,1−，(2π,0)．22（2）yx=cos的图像在0,2π上的五个关键点的坐标为π3π(0,1)，,0，(π,1−)，,0，(2π,1)22三、y=Asin(x+)+B（A0，0）的性质2π最大值是AB+，最小值是BA−，周期是T=，频率是f=，相位是x+，初相是；其图2ππ像的对称轴是直线xk+=π+（kZ），凡是该图像与直线yB=的交点都是该图像的对称中心．2四、三角函数图像的变换由yx=sin的图像变换出y=Asin(x+)+B的图像一般有两个途径途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）先将yx=sin的图像向左（0）或向右（0）平移个单位，再将图像上各点的横坐标变为原1来的倍（0），便得y=+Asin(x)的图像．再将y=+Asin(x)图像上各点向上（B0）或者向下（B0）平移B个单位，得到y=Asin(x+)+B的图像．途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换．1先将yx=sin的图像上各点的横坐标变为原来的倍（0），再沿x轴向左（0）或向右（0）平移个单位，便得y=+Asin(x)的图像．再将y=+Asin(x)图像上各点向上（B0）或者向下（B0）平移B个单位，得到y=Asin(x+)+B的图像．利用图像的变换作图像时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现，无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少．-43-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你第四节三角恒等变换一、两角和与差的三角函数sin()=sincoscossin；cos(=)coscossinsin；tantantan(=)．1tantan二、二倍角公式sin2=2sincos；2222cos2=cos−sin=2cos−=−112sin；2tantan2=．21tan−三、三角函数式的化简（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等．（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．（1）降幂公式121cos2−21cos2+sincos=sin2；sin=；cos=．222（2）辅助角公式22baasinxb+cosx=a+bsin(x+)，其中sin==，cos．2222a++bab-44-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你第五节解三角形一、直角三角形中各元素间的关系如图，在△ABC中，C=90，ABc=，ACb=，BC=aAcbCaB222（1）三边之间的关系：a+=bc．（勾股定理）（2）锐角之间的关系：AB+=90；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）abasinAB==cos，cosAB==sin，tanA=．ccb二、斜三角形中各元素间的关系如图，在△ABC中，A，B，C为其内角，a，b，c分别表示A，B，C的对边．AcbBaC（1）三角形内角和：ABC++=π（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．abc===2R．（R为外接圆半径）sinAsinBsinC（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．-45-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你三、三角形的面积公式：（1）S=ah==bhch（h，h，h分别表示a，b，c上的高）；△ABCabcabc111（2）S=absinC=bcsinA=acsinB；△ABC222222asinsinBCbsinsinACcsinsinAB（3）S===；△ABC2sin(BC+)2sin(AC+)2sin(AB+)2（4）S=2RsinsinsinABC（R为外接圆半径）；△ABCabc（5）S=；△ABC4R1（6）S=pp(−ap)(−b)(pc−)，p=(abc++)；△ABC21（7）S=rp，p=(abc++)（r为内切圆半径）．△ABC2四、解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形．解斜三角形的主要依据是：在△ABC中，A，B，C为其内角，a，b，c分别表示A，B，C的对边．（1）角与角关系：ABC++=π；（2）边与边关系：abc+，bca+，cab+，abc−，bca−，cab−；（3）边与角关系：abc正弦定理===2R（R为外接圆半径）；sinAsinBsinC222222222余弦定理c=+ab−2abcosC，b=+ac−2accosB，a=+bc−2bccosA．222sinAab+−ca它们的变形形式有：a=2sinRA，=，cosA=．sinBb2bc五、三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点．1、角的变换△ABC中，ABC++=π，sin(AB+=)sinC，cos(AB+)=−cosC，AB+CAB+Ctan(AB+=)-tanC，sin=cos，cos=sin；22222、三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理．113、S=ah=absinC=rp=ppa(−)(pb−)(pc−)，其中r为三角形内切圆半径，p为半周长．224、在△ABC中，熟记并会证明：A，B，C成等差数列的充分必要条件是=B60；△ABC是正三角形的充分必要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列．-46-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你要点解析一、几种终边在特殊位置时对应角的集合角的终边所在位置角的集合x轴正半轴=kk360,Zy轴正半轴=kk360+90,Zx轴负半轴=kk360+180,Zy轴负半轴=kk360+270,Zx轴=kk180,Zy轴=kk180+90,Z坐标轴=kk90,Z二、、、2之间的关系．2若终边在第一象限，则终边在第一或第三象限；2终边在第一或第二象限或y轴正半轴．2若终边在第二象限，则终边在第一或第三象限；2终边在第三或第四象限或y轴负半轴．2若终边在第三象限，则终边在第二或第四象限；2终边在第一或第二象限或y轴正半轴．2若终边在第四象限，则终边在第二或第四象限；2终边在第三或第四象限或y轴负半轴．2三、三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如=(+)−，2=(+)+(−)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．四、三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明．五、解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A，B，C），由ABC++=π求C，由正弦定理求a，b；（2）已知两边和夹角（如a，b，C），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，-47-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你然后利用ABC++=π，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a，b，A），应用正弦定理求B，由ABC++=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a，b，c，应余弦定理求A，B，再由ABC++=π，求角C．六、解三角形中会用到的结论2Sabc+−△斜（1）三角形内切圆的半径：r=，特别地，r=；直abc++2（2）三角形中的射影定理：在△ABC中，ba=cosCc+cosA；（3）两内角与其正弦值：在△ABC中，ABsinAsinB．-48-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你高考特训π【例1】（2017全国Ⅲ）设函数fx()=+cosx，则下列结论错误的是（）38πA．fx()的一个周期为2B．y=fx()的图像关于直线x=对称3ππC．fx(+π)的一个零点为x=D．fx()在,π上单调递减6223π【例2】（2017全国Ⅱ）函数fx()=sinx+3cosx−，x0,的最大值是______．422π【例3】（2017全国Ⅰ）已知曲线Cy:=cosx，C:y=+sin2x，则下列结论正确的是（）123πA．把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位16长度，得到曲线C2πB．把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位112长度，得到曲线C21πC．把C上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位126长度，得到曲线C21πD．把C上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位1212长度，得到曲线C2【例4】（2017全国Ⅱ）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2Bsin(AC+=)8sin．2（1）求cosB；（2）若ac+=6，△ABC的面积为2，求b．-49-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你1【例5】（2018全国Ⅲ）若sin=，则cos2=（）38778A．B．C．−D．−9999【例6】（2018全国Ⅱ）若fx()=−cosxsinx在−aa,是减函数，则a的最大值是（）ππ3πA．B．C．D．π424【例7】（2018全国Ⅱ）已知sin+=cos1，cos+=sin0，则sin(+=)________．C5【例8】（2018全国Ⅱ）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）25A．42B．30C．29D．25【例9】（2018浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=7，b=2，A=60，则sinB=___________，c=___________．【例10】（2018江苏）在△ABC中，角ABC,,所对的边分别为abc,,，ABC=120，ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4ac+的最小值为___________．【例11】（2018全国Ⅰ）在平面四边形ABCD中，=ADC90，=A45，AB=2，BD=5．（1）求cosADB；（2）若DC=22，求BC．7【例12】（2018全国Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所8成角为45°，若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．-50-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你45【例13】（2018江苏）已知，为锐角，tan=，cos(+)=−．35（1）求cos2的值；（2）求tan(α−β)的值．【例14】（2018浙江）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点34P−，-．55（1）求sin(+π)的值；5（2）若角β满足sin(+=)，求cosβ的值．13-51-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你【例15】（2019全国I）关于函数fx()=+sinxsinx有下述四个结论：π①fx()是偶函数②fx()在区间,π单调递增2③fx()在−,有4个零点④fx()的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③πππ【例16】（2019全国II）下列函数中，以为周期且在区间,单调递增的是（）242A．fx()=cos2xB．fx()=sin2xC．fx()=cosxD．fx()=sinxπ【例17】（2019全国II）已知0,，2sin2=+cos21，则sin=（）215325A．B．C．D．5535【例18】（2019全国II）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b=6，ac=2，πB=，则△ABC的面积为__________．3π【例19】（2019全国III）设函数fx()=+sinx（0），已知fx()在0,2有且仅有5个零5点，下述四个结论：①fx()在(0,2π)有且仅有3个极大值点②fx()在(0,2π)有且仅有2个极小值点π③fx()在0,单调递增101229④的取值范围是,510其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④tan2π【例20】（2019江苏）已知=−，则sin2+=_________．π34tan+4【例21】（2019浙江）在△ABC中，ABC=90，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，若BDC=45，则BD=__________，cos=ABD__________．-52-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你【例22】（2019全国I）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22(sinB−sinC)=sinA−sinsinBC．（1）求A；（2）若22ab+=c，求sinC．【例23】（2019全国III）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知AC+asin=bsinA．2（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．-53-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你【例24】（2019江苏）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c2（1）若ac=3，b=2，cosB=，求c的值；3sinABcosπ（2）若=，求sinB+的值．ab22【例25】（2019浙江）设函数fx()=sinx，xR．（1）已知0,2)，函数fx(+)是偶函数，求的值；22（2）求函数y=fx++fx+的值域．124-54-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你第四章数列高考导航考试要求命题走向1．数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表预测高考：数示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是1．题型既有灵活考察基础知识的选择、列一种特殊函数；填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生的2．通过实例，理解等差数列的概念，探索活中的实际问题的解答题；基并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公2．知识交汇的题目一般是数列与函数、本式；不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，概3．能在具体的问题情境中，发现数列的等还可能涉及部分考察证明的推理题．念差关系，并能用有关知识解决相应的问题．体会等差数列与一次函数的关系．（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活1．通过实例，理解等比数列的概念；应用为主的1~2道客观题目；等2．探索并掌握等差数列的通项公式与前n（2）关于等比数列的实际应用问题或知比项和的公式；识交汇题的解答题也是重点；数3．能在具体的问题情境中，发现数列的等（3）解决问题时注意数学思想的应用，象列比关系，并能用有关知识解决相应的问题．体通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价会等比数列与指数函数的关系．转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力．1．数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的1．探索并掌握一些基本的数列求前n项和综合题是对基础和能力的双重检验，在三者数的方法；交汇处设计试题，特别是代数推理题是高考列2．能在具体的问题情境中，发现数列的通的重点；求项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知2．数列推理题是将继续成为数列命题的和识解决相应的实际问题．一个亮点，这是由于此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度；-55-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你知识精讲第一节数列的基本概念一、数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．二、数列的分类分类原则类型满足条件有穷数列项数有限按项数分类无穷数列项数无限递增数列aan+1n按项与项之间的关系分*递减数列aan+1n其中nN类常数列aan+1=n有界数列存在正数M，使aMn按其他标准分类1,1,1,1,−−......摆动数列an的符号正负相见，如三、数列的表示方法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法．四、数列的通项公式如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子an=fn()来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．五、Sn与an的关系Sn,1=1已知Sn，则an=在数列an中，S−S,2nnn−1aaaann−1nn−1若an最大，则，若an最小，则aaaann+1nn+1-56-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你第二节等差数列与等比数列一、等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．用递推公式表示为a−=ad（n2）nn−1或a−=ad（n1）．nn+1二、等差数列的通项公式an=a1+(n−1)d；说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d0为递增数列，d=0为常数列，d0为递减数列．三、等差中项的概念：ab+定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．其中A=（a，A，b成等2ab+差数列）A=．2四、等差数列的前n和的求和公式na(1+−an)nn(1)S==na+dn122．五、等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等．．．．．．a比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：n+1=q（q0）数列．an六、等比数列通项公式为：n−1a=aqaq0n1（1）．说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比q=1时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）ammn−等比数列的通项公式知：若a为等比数列，则=q．nan七、等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做ab与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）．八、等比数列前n项和公式naq1(1−)一般地，设等比数列an的前n项和是Sn=a1+a2+a3++an，当q1时，Sn=或1−qa−aq1nSn=；当q=1时，Sn=na1（错位相减法）．1−qn说明：（1）aqnS,,,和aaqS,,,各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是q，通项公式中是1n1nnn−1q不要混淆；（3）应用求和公式时q1，必要时应讨论q=1的情况．-57-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你第三节数列的求和一、数列求通项与和Sn,1=1（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=．S−S,2nnn−1（2）求通项常用方法①作新数列法．作等差数列与等比数列；②累差叠加法．最基本的形式是：a=−(a−a)+(a+a)+++(aa)a；nnn−1n−1n−2211③归纳、猜想法．（3）数列前n项和1①重要公式：123++++=nnn(+1)2222nn(++12)(n1)12+++n=622333nn(+1)12+++n=4②等差数列中，S=S+S+mnd；mn+mnnm③等比数列中，S=S+qS=S+qS；mn+nmmn④裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即a=+fn(1)−fn()，然后累加抵消掉中间的许多项，这种n先裂后消的求和法叫裂项求和法．用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：1111111an==−，=−，nn!=(n+1!)−n!，(AnBAnC+)(+)C−BAnB+AnC+nn(++11)nnn11r−1rrC=−CC，=−等．n−−11nn(n++1!)n!(n1!)⑤错位相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法．an=bcnn，bn为等差数列，c为等比数列，记S=bc+bc++bc+bc，则qS=bc++bc+bc，错nn1122n−−1n1nnn12n−+1nnn1位相减即可．⑥并项求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn．数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法．⑦通项分解法：a=bcnnn二、递归数列数列的连续若干项满足的等量关系a=fa(,a,,a)称为数列的递归关系．由递归关系及knk+nk+−12nk+−nn个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列．如由aa=+21，及a=1，确定的数列21−即为递归数nn+11列．递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：-58-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你（1）归纳、猜想、数学归纳法证明；（2）迭代法；（3）代换法．包括代数代换，对数代数，三角代数；（4）作新数列法．最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题．-59-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你要点解析一、等差数列的常用性质（1）在等差数列a中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；n（2）在等差数列a中，相隔等距离的项组成的数列是AP，如：a，a，a，a，；a，a，n135738a，a，；1318aa−*nm（3）在等差数列a中，对任意m，nN，a=a+(nmd−)，d=（mn）；nnmnm−*（4）在等差数列a中，若m，n，p，qN且mn+=+pq，则a+a=a+a；nmnpq（5）设数列{}an是等差数列，且公差为d，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶−=S奇nd；SaSn奇n奇②=；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n−项，则①S−S=a=a；②=．奇偶n中SaSn−1偶n+1偶二、等差数列的判断方法（1）定义法：对于n2的任意自然数，验证aan−n−1为同一常数；*（2）等差中项法：验证2ann−−12=+ana（n3，nN）都成立；（3）通项公式法：验证an=+pnq；2（4）前n项和公式法：验证Sn=an+bn．注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．三、数列设元技巧．（1）若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，ad−2，ad−，a，ad+，ad+2，．（2）若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，ad−3，ad−，ad+，ad+3，，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．四、数列前n项和最值的求法（1）a0，d0时，S有最大值；a0，d0时，S有最小值；（2）S最值的求法：①若已知1n1nn**S，可用二次函数最值的求法（nN）；②若已知a，则S取得最值时n的值（nN）可如下确定：nnna0a0nn或．a0a0n+1n+1五、等比数列的知识要点an+1*（1）掌握等比数列定义=q（常数）（nN），同样是证明一个数列是等比数列的依据，也可由an2a=aa来判断；n+1nn+2（2）特别要注意等比数列前n项和公式应分为q=1与q1两类，当q=1时，S=na，当q1时，n1naq1−(1)a−aq1nSn=，Sn=．1−q1−q-60-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你六、等比数列的判定方法an+1①定义法：对于数列a，若=q（q0），则数列a是等比数列；nnan2②等比中项：对于数列a，若aa=a，则数列a是等比数列．nnn++21nn七、等比数列的性质①等比数列任意两项间的关系：如果a是等比数列的第n项，a是等比数列的第m项，且mn，公nmnm−比为q，则有a=aq；nm②对于等比数列an，若nmuv+=+，则aanm=aauv，也就是：aa1n=aa2n−−1=aa3n2=aa1n如图所示：aaa,,,,a,a,a；123n−−2n1naa21n−*③若数列a是等比数列，S是其前n项的和，kN，S0，那么S，SS−，SS−，nnkk2kk32kk成等比数列．如下图所示：S3ka+a+a++a+a++a+a++a123kk++12k2k13kSkS2k−−SkS3kS2k八、数列求和的常用方法（1）公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；c（2）裂项相消法：适用于其中an是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含aann+1阶乘的数列等；（3）错位相减法：适用于abnn，其中an是等差数列，bn是等比数列．（4）倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法．（5）分组求和法．（6）累加（乘）法等．-61-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你高考特训【例1】（2017全国Ⅰ）记S为等差数列a的前n项和，若aa+=24，S=48，则a的公差为nn456n（）A．1B．2C．4D．8n1【例2】（2017全国Ⅱ）等差数列an的前n项和Sn，a3=3，S4=10，则=_______．k=1Sk【例3】（2017全国Ⅲ）等差数列a的首项为1，公差不为0，若a，a，a成等比数列，则a前6n236n项和为（）A．−24B．−3C．3D．8【例4】（2017全国Ⅱ）已知等差数列a的前n项和为S，等比数列b的前n项和为T，nnnna=−1，b=1，ab+=2．1122（1）若ab+=5，求b的通项公式；33n（2）若T=21，求S．33-62-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你【例5】（2018全国Ⅰ）设S为等差数列a的前n项和，若3S=+SS，a=2，则a=（）nn32415A．−12B．−10C．10D．12【例6】（2018全国Ⅰ）记S为数列a的前n项和，若Sa=+21，则S=_____________．nnnn6【例7】（2018浙江）已知aaaa,,,成等比数列，且a+a+a+a=ln(a+a+a)．若a1，则123412341231（）A．aaa,aB．aaa,a13241324C．aaa,aD．aaa,a13241324*n*【例8】（2018江苏）已知集A=xx|=2n−1,nN，B=xx|=2,nN．将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列a．记S为数列a的前n项和，则使得Sa12成立的nnnnnn+1的最小值为__________．【例9】（2018全国Ⅲ）等比数列a中，a=1，aa=4．n153（1）求a的通项公式；n（2）记S为a的前n项和．若S=63，求m．nnm-63-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你【例10】（2018全国Ⅱ）记S为等差数列a的前n项和，已知a=−7，S=−15．nn13（1）求a的通项公式；n（2）求S，并求S的最小值．nn【例11】（2018浙江）已知等比数列a的公比q1，且a+a+a=28，a+2是aa，的等差中n3454352项．数列b满足b=1，数列(b−ba)的前n项和为2nn+．n1n+1nn（1）求q的值；（2）求数列b的通项公式．n-64-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你【例12】（2019全国I）记Sn为等差数列an的前n项和．已知S4=0，a5=5，则（）212A．an=−25B．an=−310C．S=−28nnD．S=−n2nnnnn212【例13】（2019全国I）记S为等比数列a的前n项和．若a=，aa=，则S=nn14653____________．【例14】（2019全国III）已知各项均为正数的等比数列a的前4项为和为15，且a=+34aa，则n531a=（）3A．16B．8C．4D．2S10【例15】（2019全国III）记S为等差数列a的前n项和，a0，aa=3，则=nn121S5___________．*【例16】（2019江苏）已知数列an(N)是等差数列，S是前n项的和，若aa+=a0，nn258S=27，则S的值是______．982【例17】（2019浙江）设a，bR，数列a中aa=，a=+ab，nN，则（）n1nn+111A．当b=，a10B．当b=，a10101024C．当b=−2，a10D．当b=−4，a101010【例18】（2019全国II）已知数列a和b满足a=1，b=0，4a=+3a−b4，nn11n+1nn4b=3b−a−4．n+1nn（1）证明：ab+是等比数列，ab–是等差数列；nnnn（2）求a和b的通项公式．nn-65-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你【例19】（2019江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M−数列”．（1）已知等比数列a(nN)满足：aa=a，a−4a+4a=0，证数列a为M−数n245321n列．122（2）已知数列b(nN)满足：b=1，=−，其中S为数列b的前n项和．n1nnSbbnnn+1①求数列b的通项公式；n②设m为正整数．若存在“M−数列”c(nN)，对任意的正整数k，当km时，都有ncbc成立，求m的最大值．kkk+1【例20】（2019浙江）设等差数列a的前n项和为S，a=4，aS=，数列b满足：对每个nn343nnN，Sb+，Sb+，Sb+成等比数列．nnnn+1nn+2（1）求数列a，b的通项公式；nnan（2）记c=，nN，证明：c+c+2+cn，nN．n12n2bn-66-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你第五章平面向量高考导航考试要求命题走向1．平面向量的实际背景及基本概念；通过本讲内容属于平面向量的基础性内容，力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，与平面向量的数量积比较出题量较小．以选理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重几何表示；点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的平2．向量的线性运算；通过实例，掌握向量加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充面加、减法的运算，并理解其几何意义；通过实要条件、向量的坐标运算等．此类题难度不向例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，大，分值5~9分．量以及两个向量共线的含义；了解向量的线性运预测高考：的算性质及其几何意义．（1）题型可能为1道选择题或1道填空运3．平面向量的基本定理及坐标表示；了解题；算平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量（2）出题的知识点可能为以平面图形为的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面载体表达平面向量、借助基向量表达交点位向量的加、减与数乘运算；理解用坐标表示的置或借助向量的坐标形式表达共线等问题．平面向量共线的条件．本讲以选择题、填空题考察本章的基本1．平面向量的数量积；通过物理中"功"等概念和性质，重点考察平面向量的数量积的实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意概念及应用．重点体会向量为代数几何的结平义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系；合体，此类题难度不大，分值5~9分．面掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数平面向量的综合问题是“新热点”题型，向量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联量角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题的2．向量的应用为主．数经历用向量方法解决某些简单的平面几何预测高考：量问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，（1）一道选择题和填空题，重点考察平积体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．中档题目．（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；-67-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你知识精讲第一节平面向量概念及线性运算一、向量的有关概念1、向量既有大小又有方向的量．向量一般用abc，来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母，，表示，如：几何表示法AB，a；坐标表示法a=+xiyj=(xy,)．向量的大小即向量的模（长度），记作AB或a．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．2、零向长度为0的向量，记为0（注意与0的区别），其方向是任意的，0与任意向量平行，向量aa=0=0．由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．3、单位向量模为1个单位长度的向量，向量a0为单位向量a0=1．4、平行向量方向相同或相反的非零向量．任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作ab∥．由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量．数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．5、相等向量新疆源头学子小屋http://www.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞wxckt@126.com新疆源头学子小屋http://www.xjktyg.com/wxc/特级教师王新敞长度相等且方向相同的向量wxckt@126.com相等向量经过平移后总可以重合，记为ab=．大小相等，方向相同xx12=(xy1,,1)=(xy22)．yy12=二、向量的线性运算1、向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法．设AB=a，BC=b，则ab+=AB+BC=AC．规定：（1）00+=a=+aa；（2）向量加法满足交换律与结合律；2、向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量．（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：-68-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你AB+BC+CD++PQQR+=AR，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量．记作−a，零向量的相反向量仍是零向量．关于相反向量有：（i）−−(aa)=；（ii）a+−(a)=−(a)+a=0；（iii）若a，b互为相反向量，则ab=−，ba=−，ab+=0．②向量减法向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a−=ba+−(b)求两个向量差的运算，叫向量的减法．③作图法：ab−可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a，b有共同起点）．4、实数与向量的积①实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）aa=；（Ⅱ）当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当=0时，a=0，方向是任意的．②数乘向量满足交换律、结合律与分配律．5、两个向量共线定理向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得ba=．-69-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你第二节平面向量基本定理及坐标运算一、平面向量的基本定理如果e1，e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使：a=+11e22e，其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．二、平面向量的坐标表示1、平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ij作为基底由平面向量的基本定理，知，该平面内的任一向量a可表示成a=+xyij，由于a与数对(xy,)是一一对应的，因此把(xy,)叫做向量a的坐标，记作a=(xy,)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标．规定：（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系．2、平面向量的坐标运算①若a=(xy11,)b=(xy22,)，则ab=(x1xy2,1y2)；，②若Axy(11,)，Bxy(22,)则AB=(x2−xy1,2−y1)；，③若a=(xy,)，则a=(xy,)；①若a=(xy11,)b=(xy22,)，则ab∥xy12−xy21=0．，-70-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你第三节平面向量的数量积一、向量的数量积1、两个非零向量的夹角已知非零向量a与b，作OA=a，OB=b，则=AOB（0π）叫a与b的夹角．说明：（1）当=0时，a与b同向；（2）当=π时，a与b反向；π（3）当=时，a与b垂直，记ab⊥；2（4）注意两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0π．2、数量积的概念已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则ab=abcos叫做a与b的数量积（或内积）．规定0=a0；ab向量的投影：bcos=，称为向量b在a方向上的投影．投影的绝对值称为射影．a3、数量积的几何意义：ab等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积．4、向量数量积的性质22①向量的模与平方的关系：aa=a=a．②乘法公式成立2222(a+b)(a−b)=a−b=a−b；22222(ab)=a22abb+=aab+b；③平面向量数量积的运算律交换律成立：ab=ba；对实数的结合律成立：(a)=b(ab)=a(b)（R）；分配律成立：(abc)==acbcca(b)．abxx12+yy12④向量的夹角：cos=cosab,==．abx2+y2x2+y21122当且仅当两个非零向量a与b同方向时，=0，当且仅当a与b反方向时=π，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题．5、两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量a=(xy11,)b=(xy22,)，则ab=xx12+yy12．，6、垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作ab⊥．两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b=ab00xx12+yy12=．二、平面内两点间的距离公式22222设a=(xy,)，则a=+xy或a=+xy．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(xy11,)、(xy22,)，那么-71-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你22a=(x1−x2)+(y1−y2)（平面内两点间的距离公式）．-72-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你要点解析一、两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定；（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替；（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0，因为其中cos有可能为0；（4）已知实数a，b，c（b0），若ab=cb，则ac=．但是ab=cb，不能得到ac=；（5）在实数中，有(abc)=abc()，但是(abc)a(bc)，显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线．二、平面向量数量积的运算律（1）结合律不成立：(abc)a(bc)；（2）消去律不成立：ab=cb不能得到ac=；（3）ab=0不能得到a=0或b=0．三、向量数量积的应用向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视．数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直；四、向量中的数学方法①数形结合的思想方法．由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．②化归转化的思想方法．向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定2可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式aa=a，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决．③分类讨论的思想方法．如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量a在b方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零．-73-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你高考特训【例1】（2017全国Ⅰ）已知向量a，b的夹角为60，a=2，b=1，则ab+=2______．【例2】（2018全国Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=（）3113A．AB−ACB．AB−AC44443113C．AB+ACD．AB+AC4444【例3】（2018全国Ⅱ）已知向量a，b满足||1a=，ab=−1，则a(2a-b=)（）A．4B．3C．2D．0【例4】（2018全国Ⅲ）已知向量a=(1,2)，b=−(2,2)，c=(1,)．若c∥(2a+b)，则=________．【例5】（2018天津）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，BAD=120，AB==AD1．若点E为边CD上的动点，则AEBE的最小值为（）21A．163Ｂ．225C．16D．3π【例6】（2018浙江）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b32满足b−4eb=+30，则||ab−的最小值是（）A．31−B．31+C．2D．23−-74-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你【例7】（2019全国I）已知非零向量a，b满足ab=2，且(ab−)⊥b，则a与b的夹角为（）ππ2π5πA．B．C．D．6336【例8】（2019全国III）已知a，b为单位向量，且ab=0，若c=−25ab，则cosac,=___________．-75-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你第六章解析几何高考导航考试要求命题走向直线方程考察的重点是直线方程的特征1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，确定直线位置的几何要素；可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率直对参数的讨论中确定圆的方程．的计算公式；线预测对本讲的考察是：3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握方（1）2道选择或填空，解答题多与其他直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），程知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考体会斜截式与一次函数的关系；察也会是一个出题方向；4．回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系（2）热点问题是直线的倾斜角和斜中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．率、直线的几种方程形式和求圆的方程．-76-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；解析几何中也会出现大题，多考察其几何图2．探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距形的性质或方程知识．直离公式，会求两条平行直线间的距离；预测对本讲的考察是：线3．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、（1）一个选择题或一个填空题，解答与圆与圆的位置关系；题多与其它知识联合考察；圆4．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；（2）热点问题是直线的位置关系、借5．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代助数形结合的思想处理直线与圆的位置关数方法处理几何问题的思想．系，注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；（3）本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力．1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是画现实世界和解决实际问题中的作用；高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概圆质；念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知锥曲线的概念和性质．圆锥曲线在高考试题曲道双曲线的有关性质．中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题线4．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲结合的思想；线的基本概念、标准方程及几何性质等基础5．掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关知识和处理有关问题的基本技能、基本方法．问题．-77-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以压轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力．但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2018年高考对本讲的考察，仍1．由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质将以以下两类题型为主．曲问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；1．求曲线（或轨迹）的方程，对于这类线2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，方结合的思想；以考察学生理解解析几何问题的基本思想方程3．了解圆锥曲线的简单应用．法和能力；2．与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系．-78-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你知识精讲第一节直线方程及位置关系一、直线方程1、直线的倾斜角一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为0,π)．2、直线的斜率当直线的倾斜角不是90时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tan；当直线的倾斜角等于90时，直线的斜率不存在．yy21−过两点Pxy(11,)，Pxy(22,)（xx12）的直线的斜率公式：k==tan（若xx12=，则直xx21−线PP12的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90）．3、直线方程的五种形式名称方程说明适用条件k——斜率倾斜角为90的直线不能用此斜截式y=+kxbb——纵截距式(xy00,)——直线上倾斜角为90的直线不能用此点斜式y−y00=kx(−x)已知点，k——斜率式y−−y11xx(xy11,)，(xy22,)是直线上两与两坐标轴平行的直线不能用两点式=y2−−y1x2x1个已知点此式xya——直线的横截距过(0,0)及与两坐标轴平行的截距式+=1abb——直线的纵截距直线不能用此式ACC−，−，−分别为斜一般式Ax+ByC+=0BABAB、不能同时为零率、横截距和纵截距注意：直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线．4、中点坐标求法若点p1，p2的坐标分别为(xy11,)，(xy22,)，线段pp12的中点M的坐标为(xy00,)，则xx12+x0=2y=yy12+02二、两条直线的位置关系1、两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2=k1k2，特别地，当直线l1，l2-79-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你的斜率都不存在时，l1，l2的关系为平行．2、两条直线垂直对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1⊥l2kk12=−1，特别地，如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1，l2的关系为垂直．三、两条直线相交Ax+ByC+=0111交点：直线l1：Ax1+ByC1+1=0和l2：Ax2+ByC2+2=0的公共点的坐标与方程组Ax+ByC+=0222的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．四、三种距离公式22（1）平面上的两点Pxy1(1,1)，Pxy2(2,2)间的距离公式|PP12|=(x1−x2)+(y1−y2)，特别地，原点22O(0,0)与任一点Pxy(,)的距离||OP=+xy．Ax00++ByC（2）点Pxy0(0,0)到直线lAx:0+By+C=的距离d=．22AB+||CC−12（3）两条平行线l1：Ax1+ByC1+1=0与l2：Ax2+ByC2+2=0间的距离为d=．22AB+第二节圆的方程及位置关系一、圆的方程222圆心为Cab(,)，半径为r的圆的标准方程为(xa−)+(xb−)=r：特殊地，当ab==0时，圆心在原222点的圆的方程为：x+=yr．2222DED+−E4F圆的一般方程x+0y+Dx+Ey+F=，圆心为点(−−,)，半径r=，其中22222D+−E40F＞．2222二元二次方程Ax+BxyCy++Dx+Ey+F=0，表示圆的方程的充要条件是：①、x项y项的系数相AC=0xyB=022同且不为0，即；②、没有项，即；③、D+−E40AF＞．二、直线与圆的位置关系1、根据圆心到直线的距离判断位置关系222直线Ax+ByC+=0与圆(xa−)+(yb−)=r的位置关系有三种Aa++BbC（1）若d=，dr相离0；22AB+（2）dr=相切=0；（3）dr相交0．2、根据直线与圆的方程判断位置关系-80-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你Ax+ByC+=022x+y+Dx+Ey+F=0联立方程组求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=rΔ＝0；相交d<rδ>0；相离d>rΔ<0．三、圆与圆的位置关系设两圆圆心分别为OO12,，半径分别为rr12,，OO12=d．d+rr外离两条公切线12d=+rr外切三条公切线12r1−r2dr1+r2相交两条公切线d=−r12r内切一条公切线0dr12−r内含无公切线第三节圆锥曲线一、椭圆1、椭圆概念平面内与两个定点F、F的距离的和等于常数（大于||FF）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做1212椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距．若M为椭圆上任意一点，则有|MF||+=MF|2a．122222xyyx椭圆的标准方程为：+=1（ab0）（焦点在x轴上）或+=1（ab0）（焦点在y2222abab轴上）．222注：①以上方程中ab,的大小：ab0，其中c=−ab；2222xyyx22②在+=1和+=1两个方程中都有ab0的条件，要分清焦点的位置，只要看x和y2222abab22xy的分母的大小．例如椭圆+=1（m0，n0，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mnmn时表示焦点在y轴上的椭圆．2、椭圆的性质22xy①范围：由标准方程+=1知||xa，||yb，说明椭圆位于直线xa=，yb=所围成的矩形22ab里；②对称性：在曲线方程里，若以−y代替y方程不变，所以若点(,)xy在曲线上时，点(,xy−)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以−x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称．若同时以−x代替x，−y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称．所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称．这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对-81-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标．在椭圆的标准方程中，令x=0，得yb=，则Bb(0,−)，Bb(0,)是椭圆与y轴的两个交点．同理令y=0得xa=，即12Aa(−,0)，Aa(,0)是椭圆与x轴的两个交点．所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的12顶点．同时，线段AA、BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆1212的长半轴长和短半轴长．由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在RtOBF中，||OB=b，||OF=c，2222，且|OF||2=−BF|2|OB|2，即c2=−a2b2；||BF=a222222c④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e=叫椭圆的离心率．∵ac0，∴01e，且e越接近1，ac就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，222这时椭圆越接近于圆．当且仅当ab=时，c=0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x+=ya．二、双曲线1、双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（||PF||−=PF||2a）．12注意：①上式中是差的绝对值，在02a|FF|条件下；|PF||−=PF|2a时为双曲线的一支（含F12122的一支）；|PF||−=PF|2a时为双曲线的另一支（含F的一支）；②当2a=|FF|时，||PF||−=PF||2a2111212表示两条射线；③当2a|FF|时，||PF||−=PF||2a不表示任何图形；④两定点FF,叫做双曲线的焦点，121212||FF叫做焦距．122、椭圆和双曲线比较：椭圆双曲线定义|PF1||+PF2|2(2=aa|FF12|)||PF1||−PF2||2(2=aa|FF12|)22222222xyxyxyyx方程+=1+=1−=1−=122222222abbaabab焦点Fc(,0)Fc(0,)Fc(,0)Fc(0,)注意：如何用方程确定焦点的位置！3、双曲线的性质22xy①范围：从标准方程−=1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线xa=的外侧．即22ab22xa，xa即双曲线在两条直线xa=的外侧．22xy②对称性：双曲线−=1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原22ab22xy点是双曲线−=1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．22ab22xy③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点．在双曲线−=1的方程里，对称轴是xy,轴，22ab-82-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你22xy所以令y=0得xa=，因此双曲线和x轴有两个交点A(−a,0)Aa(,0)，他们是双曲线−=1的顶点．1222ab令x=0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点．1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点．2）实轴：线段AA叫做双曲线的实轴，它的长等于2,aa叫做双曲线的实半轴长．虚轴：线段BB叫1212做双曲线的虚轴，它的长等于2,bb叫做双曲线的虚半轴长．④渐近线：注意到双曲线中的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线．从图22xy上看，双曲线−=1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．22ab4、等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．定义式：ab=；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：yx=；（2）渐近线互相垂直．注意以上几个性质与定义式彼此等价．亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立．223）注意到等轴双曲线的特征ab=，则等轴双曲线可以设为：xy−=(0)，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上．2222xyyx注意−=1与−=1的区别：三个量abc,,中ab,不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标169916轴也变了．三、抛物线1、抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线l上）．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2方程y=20px(p)叫做抛物线的标准方程．p注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（，0），它的准线方程是2px=−；22、抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程222还有其他几种形式：y=−2px，x=2py，x=−2py．这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：2222y=2pxy=−2pxx=2pyx=−2py标准方程(p0)(p0)(p0)(p0)-83-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你图形pppp焦点坐标(,0)(−,0)(0,)(0,−)2222pppp准线方程x=−x=y=−y=2222范围x0x0y0y0对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e=1e=1e=1e=1说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离．第四节直线与圆锥曲线的位置关系一、直线与圆锥曲线的位置关系从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点．直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究．因为方程组解的个数与交点的个数是一样的．直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可生归纳为：fxy(,)=0设直线：Ax+ByC+=0，圆锥曲线Cfxy:(,)=0，由，消去y，得到Ax+ByC+=0＞0相交22＜0相离ax+bxc+=0,=b−4aca,0=0相切注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．二、直线与圆锥曲线相交的弦长公式Fxy(,)=0设直线l:y=+kxn，圆锥曲线：Fxy(,)=0，它们的交点为Pxy1(,),11Pxy2(,22)，且由，y=+kxny22消去，得到ax+bxc+=0,=b−4aca,0弦长公式为：22222(1+k)2d=(x1−x2)+(y1−y2)=(1+−k)(x12x)=2=+1k．aa-84-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你22或d=(1+k)(x1+x2)−4xx12||PF焦点弦长：=e（点P是圆锥曲线上的任意一点，F是焦点，d是P到相应于焦点F的准线的d距离，e是离心率）．第五节曲线方程一、曲线方程1、求曲线（图形）方程的方法及其具体步骤如下：步骤含义说明（1）所研究的问题已给出坐标建立适当的直角坐标系，用1、“建”：建立坐标系；“设”：设系，即可直接设点．()xy，表示曲线上任意一点M的动点坐标（2）没有给出坐标系，首先要选坐标．取适当的坐标系．这是求曲线方程的重要一步，应2、现（限）：由限制条件，列出写出适合条件P的点的集合仔细分析题意，使写出的条件简几何等式．P=MPM|()明正确．用坐标法表示条件PM()，列出3、“代”：代换常常用到一些公式．方程fxy()，=04、“化”：化简化方程fxy()，=0为最简形式．要注意同解变形．化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中证明化简以后的方程的解为坐标5、证明产生不增根或失根，应在所得方的点都是曲线上的点．程中删去或补上（即要注意方程变量的取值范围）．这五个步骤（不包括证明）可浓缩为五字“口诀”：建设现（限）代化”2、求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解．这是求曲线方程的基本方法．转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法．即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解．几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法．参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x，y联系起来，得到用参数表示的方程．如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程．二、圆锥曲线综合问题1、圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题．这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决．解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来．2、圆锥曲线的弦长求法：-85-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你设圆锥曲线C∶fxy(,)=0与直线l：y=+kxb相交于Axy(,),(,Bxy)两点，则弦长||AB为：1122222112|AB|=1+k|x1−x2|=1+k(x1+x2)-4xx12|AB|=1+22|y1−y2|=1+(y1+y2)-4yy12kk若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，AB=+AFBF．在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标()xy，的取值范围．3、对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法．4、实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等．涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：建立坐标系转化成数学问题实际问题数学模型方程翻译回去模型的解讨论方程的解要点解析一、三种对称关系（1）点关于点的对称点Pxy(,)关于Aab(,)的对称点为P'(2a−−x,2by)0000（2）点关于直线的对称设点Pxy(,)关于直线y=+kxb的对称点Pxy'(',')00y''++yxx00=+kb22则有可求出x',y'yy'−0k=−1xx'−0（3）直线关于直线的对称若已知直线l与对称轴l相交，则交点必在与l对称的直线l上，然后再求出l上任一个已知点P关11211于对称轴l对称的点P，那么经过交点及点P的直线就是l；222若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等，由平行直线系和两-86-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你条平行线间的距离即可求出l的对称直线．1二、确定圆的方程的方法（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于abr，，或DEF、、的方程组；（3）解出abr、、或DEF、、代入标准方程或一般方程．注意：（1）求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个方程．（2）过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．（3）确定圆的方程时，常用到以下三个性质：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．三、焦半径公式抛物线上一点P(,)xy，F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：1122ppy=2pxPF:=x+;y=−2pxPF:=−x+112222ppx=2pyPF:=y+;x=−2pyPF:=−y+1122四、直线与圆锥曲线常用技巧当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间关系的灵活转化，往往就能事半功倍；五、圆锥曲线中的数学思想①方程思想，解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量．②用好函数思想方法对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a，b，c，e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效．③掌握坐标法坐标法是解析几何的基本方法，因此要加强坐标法的训练．④对称思想由于圆锥曲线和圆都具有对称性质，可使分散的条件相对集中，减少一些变量和未知量，简化计算，提高解题速度，促成问题的解决．⑤参数思想参数思想是辩证思维在数学中的反映，一旦引入参数，用参数来划分运动变化状态，利用圆、椭圆、双曲线上点用参数方程形式设立或（xy、）即可将参量视为常量，以相对静止来控制变化，变与不变的转化，00可在解题过程中将其消去，起到“设而不求”的效果．⑥转化思想解决圆锥曲线时充分注意直角坐标与极坐标之间有联系，直角坐标方程与参数方程，极坐标之间联系及转化，利用平移得出新系坐标与原坐标之间转化，可达到优化解题的目的．除上述常用数学思想外，数形结合、分类讨论、整体思想、构造思想也是不可缺少的思想方法，复习也应给予足够的重视．-87-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你高考特训2【例1】（2017全国Ⅰ）已知F为抛物线Cy:4=x的焦点，过F作两条互相垂直的直线ll,，直线l与121C相交于AB,两点，直线l与C交于D，E两点，则AB+DE的最小值为（）2A．16B．14C．12D．1022xy22【例2】（2017全国Ⅱ）若双曲线C:−=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(xy−24)+=所截得的22ab弦长为2，则C的离心率为（）23A．2B．3C．2D．3225xy【例3】（2017全国Ⅲ）已知双曲线C:−=1(a0,b0)的一条渐近线方程为yx=，且与椭圆ab22222xy+=1有公共焦点，则C的方程为（）12322222222xyxyxyxyA．−=1B．−=1C．−=1D．−=18104554432【例4】（2017全国Ⅲ）已知抛物线Cy:2=x，过点(2,0)的直线l交C于AB,两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P(4,2−)，求直线l与圆M的方程；2x2【例5】（2017全国Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆Cy:1+=上，过M做x轴的垂线，垂足为2N，点P满足NP=2NM．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x=−3上，且OPPQ=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．-88-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你22【例6】（2018全国Ⅲ）直线xy++=20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(xy−22)+=上，则△ABP面积的取值范围是（）A．2,6B．4,8C．2,32D．22,322xt=−+1,222【例7】（2018天津）已知圆x+y−20x=的圆心为C，直线(t为参数)与该圆相交于A，2yt=−32B两点，则△ABC的面积为__________．22xy【例8】（2018全国Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：22+=10(ab)的左，右焦点，A是C的左顶点，ab3点P在过A且斜率为的直线上，△PFF12为等腰三角形，FFP12=120，则C的离心率为6（）2111A．B．C．D．32342222xyxy【例9】（2018北京）已知椭圆M:+=1(ab0)，双曲线N:1−=．若双曲线N的两条渐2222abmn近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．2x2【例10】（2018浙江）已知点P()0,1，椭圆+y=mm(1)上两点A，B满足AP=2PB，则当m=4___________时，点B横坐标的绝对值最大．-89-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你1【例11】（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点3,，焦点F1(−3,0)，2F2(3,0)，圆O的直径为FF12．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；26②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．72x2【例12】（2018全国Ⅰ）设椭圆Cy:1+=的右焦点为F，过F的直线l与C交于AB,两点，点M2的坐标为(2,0)．（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMA=OMB．22xy【例13】（2018全国Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中43点为M(1,mm)(0)．1（1）证明：k−；2（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP+FAFB+=0．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．-90-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你22xy【例14】（2018天津）设椭圆+=1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为22ab5，点A的坐标为(b,0)，且FB=AB62．3（1）求椭圆的方程；（2）设直线l：y=kxk(0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若AQ52=sinAOQ(O为原点)，求k的值．PQ422xy【例15】（2018江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线−=1(ab0,0)的右焦点Fc(,0)到一22ab3条渐近线的距离为c，则其离心率的值是___________．22x2【例16】（2018全国Ⅰ）已知双曲线C：−=y1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线3与C的两条渐近线的交点分别为M、N．若△OMN为直角三角形，则MN=（）3A．B．3C．23D．4222xy【例17】（2018全国Ⅱ）双曲线−=1(ab0,0)的离心率为3，则其渐近线方程为（）22ab23A．yx=2B．yx=3C．yx=D．yx=2222xy【例18】（2018全国Ⅲ）设FF12,是双曲线C:−=1(a0,b0)的左，右焦点，O是坐标原点．过22abF2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若PF1=6OP，则C的离心率为（）A．5B．2C．3D．222xy【例19】（2018天津）已知双曲线−=1(ab0,0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线22ab与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且dd12+=6，则双曲线的方程为（）22222222xyxyxyxyA．−=1B．−=1C．−=1D．−=14121243993-91-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你2x2【例20】（2018浙江）双曲线−y=1的焦点坐标是（）3A．(−2，0)，(2，0)B．(−2，0)，(2，0)C．(0，−2)，(0，2)D．(0，−2)，(0，2)22【例21】（2018全国Ⅰ）设抛物线C：yx=4的焦点为F，过点(–20，)且斜率为的直线与C交于3M，N两点，则FMFN=（）A．5B．6C．7D．8【例22】（2018北京）已知抛物线C：2y=2px经过点P(12，)．过点Q(01，)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（1）求直线l的斜率的取值范围；11（2）设O为原点，QM=QO，QN=QO，求证：+为定值．2【例23】（2018全国Ⅱ）设抛物线Cy：=4x的焦点为F，过F且斜率为kk(0)的直线l与C交于A，B两点，AB=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．-92-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你42【例24】（2018全国Ⅲ）函数y=−x+x+2的图像大致为（）2CkC【例25】（2018全国Ⅲ）已知点M(−1,1)和抛物线Cy:4=x，过的焦点且斜率为的直线与交于A，B两点．若AMB=90，则k=________．2【例26】（2018浙江）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线Cy：=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；22y（2）若P是半椭圆xx+=10()上的动点，求△PAB面积的取值范围．4yAPMxOB-93-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你【例27】（2019全国Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F(−1,0)，F(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若12AF=2FB，AB=BF，则C的方程为（）2212222222x2xyxyxyA．+=y1B．+=1C．+=1D．+=1232435422xy【例28】（2019全国Ⅰ）已知双曲线C：−=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F，F，过2212abF的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若FA=AB，FBFB=0，则C的离心率1112为____________．23【例29】（2019全国Ⅰ）已知抛物线C：yx=3的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，2与x轴的交点为P．（1）若AF+=BF4，求l的方程；（2）若AP=3PB，求AB．222xy【例30】（2019全国Ⅱ）若抛物线y=2px（p0）的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则p=3pp（）A．2B．3C．4D．822xy【例31】（2019全国Ⅱ）设F为双曲线C：−=1（a0，b0）的右焦点，O为坐标原点，以22ab222OF为直径的圆与圆x+=ya交于P，Q两点．若PQ=OF，则C的离心率为（）A．2B．3C．2D．5-94-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你【例32】（2019全国Ⅱ）已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点Mxy(,)满足直线AM与BM的斜率之积为1−．记M的轨迹为曲线C．2（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．（i）证明：△PQG是直角三角形；（ii）求△PQG面积的最大值．22xy【例33】（2019全国Ⅲ）双曲线C：−=1的右焦点为F，点P在C的一条渐进线上，O为坐标原42点，若PO=PF，则△PFO的面积为（）3232A．B．C．22D．324222xy【例34】（2019全国Ⅲ）设F，F为椭圆C:+=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若123620△MFF为等腰三角形，则M的坐标为___________．122x1【例35】（2019全国Ⅲ）已知曲线Cy:=，D为直线y=−上的动点，过D作C的两条切线，切点22分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点：5（2）若以E0,为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面2积．-95-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你22xy【例36】（2019浙江）已知椭圆+=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的95中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是__________．22y【例37】（2019江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线xb−=1()经过点(3,4)，则该双曲线2b渐近线方程是______．22xy【例38】（2019江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1(ab)的焦点为F(−1,0)，221ab222F2(1,0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴上方，l与圆F2:(x−1)+y=4a交于点A，与椭圆C5交于点D，连结AF并延长交圆F于点B，连结BF交椭圆C于点E，连结DF，已知DF=．122112（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．yAlDF1OF2xEB2【例39】（2019浙江）如图，已知点F(1,0)为抛物线y=2px（p0），点F为焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧．记△AFG，△CQG的面积为S，S．12（1）求p的值及抛物线的准线方程；S1（2）求的最小值及此时点G的坐标．S2-96-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你第七章立体几何高考导航考试要求命题走向1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单近几年来，立体几何高考命题形式比较物体的结构；空稳定，题目难易适中，解答题常常立足于棱2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、间柱、棱锥和正方体位置关系的证明和夹角距圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上几离的求解，而选择题、填空题又经常研究空述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：何间几何体的几何特征和体积表面积．因此复纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观体习时我们要首先掌握好空间几何体的空间图；结构特征．培养好空间想象能力．3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．平面的基本性质与推论以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、立体几何在高考中占据重要的地位，通空垂直的有关性质与判定．通过直观感知、操作确过近几年的高考情况分析，考察的重点及难间认，归纳出判定定理：点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平中理科要求，文科不要求的内容面、平面与平面平行的性质和判定作为考察的1．掌握两条直线所成的角和距离的概念及重点．在难度上也始终以中等偏难为主，在平等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算新课标教材中将立体几何要求进行了降低，行已给出公垂线时的距离）．重点在对图形及几何体的认识上，实现平面关2．掌握点、直线到平面的距离，直线和平面到空间的转化，知识深化和拓展的重点，因系所成的角；而在这部分知识点上命题，将是重中之重．3．掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角；-97-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你知识精讲第一节空间几何体一、柱、锥、台、球的结构特征1、柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．棱柱与圆柱统称为柱体；2、锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面．棱锥与圆锥统称为锥体．3、台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点．圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴．圆台和棱台统称为台体．4、球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．5、组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体．二、空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；三、空间几何体的直观图1、斜二测画法-98-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的OX''、OY，使=XOY45（或135），它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X'轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y'轴，且长度变为原来的一半；④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）．2、平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．四、空间几何体的表面积和体积1、多面体的面积和体积公式名称侧面积（S侧）全面积（S全）体积（V）棱棱柱直截面周长×lSh底·=S直截面·hSS+2侧底柱直棱柱chSh底·棱锥各侧面积之和棱11SS侧+底Sh底锥正棱锥ch32棱台各侧面面积之和棱11S侧++S上底S下底hS()上底++S下底S上底S下底台正棱台(cch+')'32表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表示斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长．2．旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2rlrl+(r12rl)r+rl+r22+r2S全2+rl(r)+rl(r)(12)(12)4R221rh212243Vrh（即rl）hr(1+rr12+r2)R333表中lh、分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥的底半径，rr、分别表示圆台上、下底面半径，R表12示半径．第二节空间中的平行与垂直一、平面概述1、平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度）．2、平面的画法：通常画平行四边形来表示平面．3、平面的表示：用一个小写的希腊字母、、等表示，如平面、平面；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC．二、三公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：Al，Bl，-99-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你A，Bl．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．推论一：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面．三、空间直线:1、空间两条直线的位置关系：相交直线——有且仅有一个公共点；平行直线——在同一平面内，没有公共点；异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点．相交直线和平行直线也称为共面直线．2、异面直线的画法常用的有下列三种：bβαbaaαaαb3、平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的．即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．4、异面直线定理连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．推理模式：A,B,a,BaAB与a是异面直线．5、直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a，aA=，a//．aaaααα6、线面平行的判定定理aabpbp如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：a,b,//aba//．7、线面平行的性质定理-100-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：a//,a,=ba//b．βabβabαα8、两个平面的位置关系有两种两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行．a定理的模式：bab=P//a//b//推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．推论模式：ab=Pa,,b,ab=Pa,,b,//,//aabb//（2）两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．四、空间中的垂直关系1、线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条．2、三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．PaOAPO⊥,Oα推理模式：PA=Aa⊥AOa⊥,aAP注意：⑴三垂线指PAPOAO，，都垂直内的直线a，其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用．3、线面垂直abb'oα-101-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你1)定义如果一条直线l和一个平面相交，并且和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面互相垂直，其中直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，直线与平面的交点叫做垂足．直线l与平面垂直记作：l⊥．2)直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．3)直线和平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．4、面面垂直1）定义相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面．2）两平面垂直的判定定理线面垂直面面垂直，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．3）两平面垂直的性质定理面面垂直线面垂直，若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面．第三节空间中的距离与角度（理）一、空间中的距离1、两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度．2、点到平面的距离平面外一点p在该平面上的射影为p'，则线段pp'的长度就是点到平面的距离；求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来．②等体积法．3、直线与平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．4、平行平面间的距离两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离．求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用等积法计算求之．异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线ab、所成的角为，它们的公垂线AA′的长度为d，在a上有线段AEm=，bAF=n222上有线段，那么EF＝d+m+n2mncos（“±”符号由实际情况选定）二、空间中的夹角空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为[090]090，、[]，和[018，0]．1、两条异面直线所成的角求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形-102-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你去求得；②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是0,，向量2所成的角范围是0,，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角．2、直线和平面所成的角求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来．除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”．3、二面角的度量是通过其平面角来实现的解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键．通常的作法有：①定义法；②利用三垂线定理或逆定理；③自空间一点作与棱垂直的垂面，截二面角得两条射线S所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos=其中S为S斜面面积，S'为射影面积，为斜面与射影面所成的二面角．4、等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等．第四节空间向量与立体几何（理）一、空间直角坐标系1、空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O−xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(,,)xyz，使OA=xi+yj+zk，有序实数组(,,)xyz叫作向量OA在空间直角坐标系O−xyz中的坐标，记作OA=(,,)xyz，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．zoxy2、若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}ijk表示．3、空间向量的直角坐标运算律：①若a=(,aaa12,)3，b=(,,)bbb123，则ab+=(a1+ba1,2+ba2,3+b3)，ab−=(a−ba,−ba,−b)，a=(a,a,a)(R)，112233123ab=ab11+ab22+ab33，a//ba1=ba1,2=ba2,3=b3(R)，-103-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你a⊥bab+ab+ab=0．112233②若Axyz(,,)111，Bxyz(,22,)2，则AB=(x2−xy1,2−yz1,2−z1)．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．4、模长公式：若a=(,aaa12,)3，b=(,,)bbb123，222222则||a=aa=a+a+a，||b=bb=b+b+b123123abab+ab+ab5、夹角公式：112233．cosab==||||aba2+a2+a2b2+b2+b21231236、两点间的距离公式：若Axyz(,,)，Bxyz(,,)，1112222222则|AB|=AB=(x−x)+(y−y)+(z−z)，212121222或dAB,=(x2−x1)+(y2−y1)+(z2−z1)二、空间向量的数量积1、空间向量的数量积．（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量ab,，在空间任取一点O，作OA==aOB,b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作ab,；且规定0,ab，显然有ab,,=ba；若ab,=，2则称a与b互相垂直，记作：ab⊥．（2）向量的模：设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：||a．（3）向量的数量积：已知向量ab,，则||||cosabab,叫做ab,的数量积，记作ab，即ab=||||cosabab,．（4）空间向量数量积的性质：2①ae=||cosaae,．②a⊥b=ab0．③||a=aa．2、空间向量数量积运算律：①(ab)=(ab)=a(b)．②ab=ba（交换律）．③ab()+c=+abac（分配律）．三、空间角的求法1、异面直线所成的角ABCD点AaB,aC,bD,b，ABCD、、、构成向量ABCD,，cosABCD,=,ABCD,ABCD所对应的锐角或直角即为直线a与b所成的角．2、线面角AP与n的角所对应的锐角的余角或直角即为直线AP与平面所成的角，所以AP与n的角的余弦值的绝对值为直线AP与平面所成的角的正弦值，其中n为平面的法向量，=arcsincosAPn,．-104-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你PnAαO要点解析一、三视图画法规则高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐，长对正：主视图与俯视图的长应对正；宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等．二、画水平放置的多边形的直观图的关键画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法．强调斜二测画法的步骤．三、正四面体的性质设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的2232（1）全面积：Sa全=3；（2）体积：Va=；（3）对棱中点连线段的长：da=；12266（4）内切球半径：ra=；（5）外接球半径Ra=．124（6）正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）．四、证明空间线面平行或垂直需注意以下几点：①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路．②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一．③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论．④三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑．应用时常需先认清所观察的平面及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，再根据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直．另外通过计算证明线线垂直也是常用的方法之一．五、求空间距离与角度注意事项求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：-105-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置．②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理．③求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视．二面角的平角的常用作法有三种：根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线．解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面．作二面角的平面角应把握先找后作的S原则．此外在解答题中一般不用公式“cos=”求二面角，否则要适当扣分．S-106-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你高考特训【例1】（2017全国Ⅰ）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10B．12C．14D．16【例2】（2017全国Ⅰ）如图，在四棱锥PABCD−中，ABCD∥，且BAP=CDP=90．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PAPD==ABDC=，APD=90，求二面角APBC−−的余弦值．【例3】（2017全国Ⅱ）如图，四棱锥PABCD−中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，1AB==BCAD，BAD=ABC=90，E是PD的中点．2（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角M−−ABD的余弦值．-107-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你【例4】（2018北京）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．4【例5】（2018江苏）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________．【例6】（2018全国Ⅰ）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．217B．25C．3D．2【例7】（2018全国Ⅲ）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）-108-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你【例8】（2018天津）已知正方体ABCD−ABCD的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的1111中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M−EFGH的体积为__________．【例9】（2018浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．2B．4C．6D．82112正视图侧视图俯视图【例10】（2018江苏）在平行六面体ABCD−ABCD中，AA=⊥ABAB,BC．11111111求证：（1）AB∥平面ABC；11（2）平面ABBA⊥平面ABC．111【例11】（2018北京）如图，在三棱柱ABC−ABC中，CC⊥平面ABC，D，E，F，G分别为1111AA，AC，AC，BB的中点，AB==BC5，AC==AA2．11111（1）求证：AC⊥平面BEF；（2）求二面角BCDC−−的余弦值；1（3）证明：直线FG与平面BCD相交．-109-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你【例12】（2018江苏）如图，在正三棱柱ABC−ABC中，AB==AA2，点P，Q分别为AB，BC111111的中点．（1）求异面直线BP与AC所成角的余弦值；1（2）求直线CC与平面AQC所成角的正弦值．11【例13】（2018全国Ⅰ）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）3323323A．B．C．D．4342【例14】（2018全国Ⅰ）如图，四边形ABCD为正方形，EF,分别为ADBC,的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．【例15】（2018全国Ⅱ）在长方体ABCD−ABCD中，ABBC==1，AA=3，则异面直线AD与111111DB所成角的余弦值为（）11552A．B．C．D．5652【例16】（2018全国Ⅱ）如图，在三棱锥PABC−中，AB==BC22，PAPBPC===AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M−−PAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值．POACMB【例17】（2018全国Ⅲ）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角-110-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你形且其面积为93，则三棱锥D−ABC体积的最大值为（）A．123B．183C．243D．543【例18】（2018全国Ⅲ）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M−ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．【例19】如图，ADBC∥且AD=2BC，AD⊥CD,EGAD∥且EG=AD，CDFG∥且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2．（1）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；（2）求二面角E−−BCF的正弦值；（3）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．【例20】已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角S−AB−C的平面角为3，则（）A．123B．321C．132D．231-111-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你【例21】（2018浙江）如图，已知多面体ABCABC-111，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，ABC=120，AA1=4，CC1=1，AB=BC=BB1=2．（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．-112-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你【例22】（2019全国Ⅰ）已知三棱锥PABC−的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC==，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF=90，则球O的体积为（）A．86B．46C．26D．6【例23】（2019全国Ⅰ）如图，直四棱柱ABCD–ABCD的底面是菱形，AA=4，AB=2，11111BAD=60，E，M，N分别是BC，BB，AD的中点．11（1）证明：MN∥平面CDE；1（2）求二面角AMA−−N的正弦值．1【例24】（2019全国Ⅱ）设，为两个平面，则∥的充要条件是（）A．内有无数条直线与平行B．内有两条相交直线与平行C．，平行于同一条直线D．，垂直于同一平面【例25】（2019全国Ⅱ）如图，长方体ABCD–ABCD的底面ABCD是正方形，点E在棱AA上，11111BE⊥EC．1（1）证明：BE⊥平面EBC；11（2）若AE=AE，求二面角B–EC–C的正弦值．11【例26】（2019全国Ⅲ）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B．BMEN，且直线BM、EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BMEN，且直线BM、EN是异面直线-113-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你【例27】（2019浙江）设三棱锥V−ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为，直线PB与平面ABC所成角为，二面角P−−ACB的平面角为，则（）A．，B．，C．，D．，【例28】（2019浙江）如图，已知三棱柱ABC−ABC，平面AACC⊥平面ABC,11111ABC=90，BAC=30，AA==ACAC，E，F分别是AC，AB的中点．1111（1）证明：EF⊥BC；（2）求直线EF与平面ABC所成角的余弦值．1【例29】（2019江苏）如图，长方体ABCD−ABCD1111的体积是120，E是CC1的中点，则三棱椎EBCD-的体积是______．D1C1B1A1ECAB【例30】（2019江苏）如图，在直三棱柱ABC−ABC111中，DE,分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）AB∥平面DEC；111（2）BE⊥CE．1A1B1ABEDC-114-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你第八章概率及统计高考导航考试要求命题走向（1）以基本题（中、低档题为主），多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背理解随机抽样的必要性和重要性；学会用简单随统景，综合考察学生学习基础的知识、应用基机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分计础知识、解决实际问题的能力；析，了解分层抽样和系统抽样方法．（2）热点是随机抽样方法中的分层抽样、系统抽样方法．本讲内容在高考中所占比重不大，纵贯近几年的高考形式对涉及到有关概念的某1、了解概率的意义，了解频率与概率的区别；些计算要求降低，但试题中具有一定的灵活2、了解两个互斥时间的概率加法公式性、机动性．3、理解古典概型及其计算公式（1）对于理科生来讲，对随机事件的概4、会计算随机事件所含的基本时间数及事件发考察，结合选修中排列、组合的知识进行考率生的概率察，多以选择题、填空题形式出现；5、了解随机数的几何意义，运用模拟方法估算概（2）对概率考察的重点为互斥事件、率古典概型的概率事件的计算为主，而以实际6、了解几何概率的意义应用题出现的形式多以选择题、填空题为主．1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理本部分内容主要包括分类计数原理、分通过实例，总结出分类加法计数原理、分步步计数原理、排列与组合、二项式定理三部排乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、列类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组简单的实际问题；组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式合2．排列与组合的通项公式，二项式系数及二项式系数和．及通过实例，理解排列、组合的概念；能利用排列、组合不仅是高中数学的重点内二计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高项决简单的实际问题；考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的式3．二项式定理重点内容，也是高考每年必考内容，新高考能用计数原理证明二项式定理；会用二项会继续考察．式定理解决与二项展开式有关的简单问题．-115-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你知识精讲第一节随机抽样及统计一、简单随机抽样设一个总体的个数为N．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样．实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法．（1）抽签法制签：先将总体中的所有个体编号（号码可以从1到N），并把号码写在形状、大小相同的号签上，号签可以用小球、卡片、纸条等制作，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌；抽签：抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取n次；成样：对应号签就得到一个容量为n的样本．抽签法简便易行，当总体的个体数不多时，适宜采用这种方法．（2）随机数表法编号：对总体进行编号，保证位数一致；数数：当随机地选定开始读数的数后，读数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等等．在读数过程中，得到一串数字号码，在去掉其中不合要求和与前面重复的号码后，其中依次出现的号码可以看成是依次从总体中抽取的各个个体的号码．成样：对应号签就得到一个容量为n的样本．结论：①用简单随机抽样，从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时，每次抽取一个个体时任1n一个体被抽到的概率为；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为；NN②基于此，简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性；③简单随机抽样的特点：它是不放回抽样；它是逐个地进行抽取；它是一种等概率抽样．二、系统抽样当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）．系统抽样的步骤可概括为：（1）将总体中的个体编号．采用随机的方式将总体中的个体编号；NN（2）将整个的编号进行分段．为将整个的编号进行分段，要确定分段的间隔k．当是整数时，k=；nnNN当不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体数N´能被n整除，这时k=；nn（3）确定起始的个体编号．在第1段用简单随机抽样确定起始的个体边号l；（4）抽取样本．按照先确定的规则（常将l加上间隔k）抽取样本：ll,+kl,+2,,k+l(n−1)k．三、分层抽样当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层．结论：-116-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你（1）分层抽样是等概率抽样，它也是公平的．用分层抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的n样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，都等于；N（2）分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表性，在实践的应用更为广泛．四、用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）众数、中位数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数；（2）平均数与方差n1如果这n个数据是xx12,,.........,xn，那么xx=i叫做这n个数据的平均数；ni=1n21如果这n个数据是xx12,,.........,xn，那么S=−()xix叫做这n个数据的方差；同时ni=1n1s=−()xix叫做这n个数据的标准差．ni=1五、频率分布直方图、折线图与茎叶图样本中所有数据（或数据组）的个数和样本容量的比，就是该数据的频率．所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布直方图、折线图、茎叶图来表示．1、频率分布直方图具体做法如下：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图．频率注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距×=频率．组距2、折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图．总体密度曲线：当样本容量足够大，分组越多，折线越接近于一条光滑的曲线，此光滑曲线为总体密度曲线．3、线性回归回归分析：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系或回归关系．回归直线方程：设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n个观测值的n个点大致分布在某一条直线的附近，就可以认为y对x的回归函数的类型为直线型：yˆ=+abx．其中nn(xi−xy)(i−y)xyii−nxyb==ii==11a=−ybx，．我们称这个方程为y对x的回归直线方程．nn222()xii−−xxnxii==11-117-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你第二节随机事件及概型一、随机事件1、随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件．（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件．2、随机事件的概率m事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，n这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作PA()．由定义可知0PA()1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0．3、事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对立事件；（3）包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B（或事件B包含事件A）；4、事件间的运算（1）并事件（和事件）若某事件的发生是事件A发生或事件B发生，则此事件称为事件A与事件B的并事件．注：当A和B互斥时，事件AB+的概率满足加法公式：PA（+B）=PA（）+PB（）（AB、互斥）；且有PA（+B）=PA（）+PB（）=1（A、B对立）．（2）交事件（积事件）若某事件的发生是事件A发生和事件B同时发生，则此事件称为事件A与事件B的交事件．二、古典概型1、古典概型的两大特点1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；2、古典概型的概率计算公式A包含的基本事件个数PA()=；总的基本事件个数一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成．如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的1可能性都相等，那么每一基本事件的概率都是．如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率nmPA()=．n三、几何概型1、几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；2、几何概型的概率公式：-118-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你构成事件A的区域长度（面积或体积）PA（）=．试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）3、几种常见的几何概型（1）设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点．若落在线段l上的点数与线段L的长度成l正比，而与线段l在线段L上的相对位置无关，则点落在线段l上的概率为：P=（长度之比）；L（2）设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g上的点数与区域gg的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关，则点落在区域g上概率为：P=（面积G之比）；（3）设空间区域上v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点．若落在区域v上的点数与区域vV的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无关，则点落在区域v上的概率为：P=（体积V之比）．第三节排列组合一、计数原理1、分类加法计数原理完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类办法中有m种不同的12方法，……在第n类办法中有m种不同的方法．那么完成这件事共有：N=m+m+m+m种不同n123n的方法．注意：（1）分类加法计数原理的使用关键是分类，分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类方法，不同类的任意两种方法是不同的方法，这时分类问题中所要求的“不重复”、“不遗漏”．（2）完成一件事的n类办法是相互独立的．从集合角度看，完成一件事分AB、两类办法，则AB=,AB=I（I表示全集）．（3）明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．2、分步乘法计数原理完成一件事，需要n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有m种不同的方法，……做第12n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有：N=mmmm种不同的方法．n123n注意：（1）明确题目中所指的“做一件事”是什么事，单独用题中所给的某种方法是不是能完成这件事，是不是要经过几个步骤才能完成这件事．（2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成．（3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步去做，才能完成这件事，各步之间不能重复也不能遗漏．3、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别联系：两个计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问题．区别：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计-119-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，是推导排列数与组合数计算公式的依据．要注意“类”间互相独立，“步”间互相联系．二、排列1、排列的概念从n个不同元素中，任取mm()n个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．注意：（1）排列定义包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序”排列．（2）定义中“一定顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件决定，这一点是与组合的根本区别．2、排列数从n个不同元素中取出mm()n个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排m列．从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号An表示．排列数公式：Am=nn(−1)(n−2)(...nm−+1)=n!(nmnm,、N)n(nm−)!注意：我们把正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示．规定0!1=．当mn=时，nn个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，记为An=nn(−1)(n−2)21=n!．注意：（1）排列数公式Am=nn(−1)(n−2)(...nm−+1)适用于具体计算以及解当m较小时含排列数的n方程和不等式．在运用该公式时要注意它的特点：第一个因数是n，最后一个因数是nm−+1，m个连续自然数的连乘积．mn!（2）排列数公式A=，适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，n(nm−)!**则应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件mnm,N,nN的运用．三、组合1、组合的概念从n个不同的元素中任取m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．注意：（1）取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的本质．（2）组合与排列的异同：组合与排列的相同点是“从n个不同元素中任意取出m个不同元素”；不同点是组合“不管元素的顺序并成一组”，而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”，因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序．2、组合数与组合数公式从n个不同元素中取出mm()n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的m组合数，用符号Cn表示．组合数公式：mmAnnn(−1)(n−2)(nm−+1)C==nmAm!mmn!C=(,nmN,且mn)nmnm!(−)!规定：0C=1n-120-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你注意：（1）组合与组合数是两个不同的概念．（2）在公式Am中，我们规定0!1=，因而有0．nCn=13、组合数的性质性质1：mnm−一般地，从个不同元素中取出个元素后，剩下个元素．因为从个不CC=nmnm−nnn同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的nm−个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出nm−个元素的组合数，即：mnm−．在这里，CC=nn主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．注意：（1）该性质反映了组合数的对称性．n（2）若m＞，通常不直接计算m，而改为计算nm−．CCnn2性质2：m＝m+m−1一般地，从aa,,,a这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是m，Cn+1CnCn12n+1Cn+1这些组合可以分为两类：一类含有元素a，一类不含有a．含有a的组合是从aa,,,a这n个元素中11123n+1取出m−1个元素与a组成的，共有m−1个；不含有a的组合是从aa,,,a这n个元素中取出m个1Cn123n+1m元素组成的，共有C个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到n一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．注意：（1）左端下标为n+1，右端下标都为n，相差1；上标左端与右端的一个一样，右端的另一个比它们少1．mmm−1（2）要注意性质C＝C+C的顺用、逆用、变形应用，顺用是将一个组合数拆成两个，逆用则是n+1nn“合二为一”．m−1mm（3）变形：C＝C−C．nn+1n4、几个常用组合数公式012nnCn+Cn+Cn+Cn=2024135n−1C+C+C+=C+C+C+=2nnnnnnmmmmm+1C+C+CC=Cnm+1m+2mn+mn++1kk−1kCnn=nC−111kk+1CC=nn+1kn++11第四节二项式定理一、二项式定理n01nnrnr−rnn一般地，对于任意正整数n，都有(ab+)=Can+Cabn++Canb++Cbnn(N)，这()ab+nr(0,1,2,3...)个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式．其中各项的系数Cr=nn叫做二项式系数．注意：（1）二项展开式有n+1项；（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开；-121-《高中数学知识清单》风里雨里，七哥课上等你（4）二项式定理通常有如下变形：n0n1n−−1rrnrrnnn(ab−)=Ca−Cab+...(1)+−Cab+...(1)+−Cbnnnnn1122rrn(1+x)=+1Cx+Cx+...+Cx+x；nnn（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．二、二项展开式的通项公式rnr−r二项展开式的第r+1项T==Cabr(0,1,2,3...)n叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开rn+1式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．注意：（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是
