课时规范练13 函数与方程基础巩固组1.(2021陕西西安高三月考)函数f(x)=的零点的个数是( )A.1B.2C.3D.42.(2021山东威海高三期中)已知[x]表示不超过实数x的最大整数,若函数h(x)=[x]-1,函数f(x)=-lnx的零点是x0,则h(x0)=( )A.1B.2C.3D.43.(2021湖北武汉高三期中)若函数f(x)=有两个零点,则实数a的取值范围是( )A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.[0,+∞)D.(-∞,1]4.(2021山东潍坊高三期末)若函数g(x)=x2,h(x)=4x-ln|x-2|,则函数f(x)=g(x)-h(x)的所有零点之和等于( )A.0B.2C.4D.85.(2021山东潍坊二模)关于函数f(x)=其中a,b∈R,给出下列四个结论:甲:6是该函数的零点;乙:4是该函数的零点;丙:该函数的零点之积为0;丁:方程f(x)=有两个根.若上述四个结论中有且只有一个结论错误,则错误结论是( )A.甲B.乙C.丙D.丁6.(多选)(2021辽宁锦州高三期中)已知函数f(x)=2x+x-2的零点为a,函数g(x)=log2x+x-2的零点为b,则( )A.a+b=2B.2a+log2b=2C.a2+b2>3D.0<ab<17.(2021广东汕头高三月考)已知函数f(x)=2lgx+x-4的零点在区间(k,k+1),k∈Z上,则实数k= . 综合提升组8.(2021山东东营高三期中)已知函数f(x)=ax2+bx+1,有下列四个说法:p1:x=是f(x)的零\n点;p2:x=2是f(x)的零点;p3:f(x)的两个零点之和为1;p4:f(x)有两个异号零点,若只有一个说法错误,则该说法是( )A.p1B.p2C.p3D.p49.(2021湖南师大附中高三期末)已知函数f(x)=则方程(x-1)f(x)=1的所有实数根之和为( )A.2B.3C.4D.110.(2021山东烟台高三二模)已知函数f(x)是定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=则方程f(x)+x2=2根的个数为( )A.3B.4C.5D.611.(2021北京通州高三一模)已知函数f(x)=(t>0)有2个零点,且过点(e,1),则常数t的一个取值为 . 12.(2021浙江绍兴高三月考)已知函数f(x)=若其图象上存在互异的三个点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),使得=k,则实数k的取值范围是 . 创新应用组13.(2021福建厦门第三次质检)已知函数f(x)=x2-x-asinπx+1有且仅有一个零点,则实数a=( )A.B.C.D.214.(多选)已知函数f(x)=若方程f(x)=a有三个不同的实数根x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则( )A.0<a≤1B.-1<x1≤0C.x2x3=eD.ax1x2x3的取值范围是-,0\n课时规范练13 函数与方程1.B 解析令函数f(x)==0,即x2-2x-1=0,解得x=1±,经检验x=1±都是方程f(x)=0的解,f(x)有两个零点,故选B.2.A 解析因为f(2)=1-ln2>0,f(3)=-ln3<0,所以x0∈(2,3),所以h(x0)=[x0]-1=1,故选A.3.A 解析当x<1时,f(x)=ln(1-x)有一个零点0,因此当x>1时,函数有另一个零点,所以a=≥1,即实数a的取值范围是[1,+∞).4.C 解析由f(x)=x2-(4x-ln|x-2|)=0得ln|x-2|=-x2+4x,画出y=ln|x-2|,y=-x2+4x两个函数的图象(如图),由图可知,两个函数图象都关于直线x=2对称,故交点横坐标之和为4,即f(x)的所有零点之和等于4.5.B 解析若甲是错误的结论,则由乙正确可得b=4,由丙正确得a=1,此时丁不正确,不符合题意;若乙是错误的结论,则由甲正确可得b=6,由丙正确得a=1,此时丁也正确,符合题意;若丙、丁是错误的结论,则甲和乙不可能同时正确,不符合题意,故选B.6.ABD 解析由f(x)=0,g(x)=0得2x=2-x,log2x=2-x,函数y=2x与y=log2x互为反函数,在同一坐标系中分别作出函数y=2x,y=log2x,y=2-x的图象,如图所示,则A(a,2a),B(b,log2b).由反函数的性质知A,B关于点(1,1)对称,则a+b=2,2a+log2b=2.因为a>0,b>0,且a≠b,所以0<ab<2=1,故A,B,D正确.因为f(x)=2x+x-2在R上单调递增,且f=<0,f(1)=1>0,所以<a<1.因为a2+b2=a2+(2-a)2=2(a-1)2+2<a<1,所以a2+b2∈2,,故C不正确,故选ABD.\n7.3 解析由题意有函数f(x)=2lgx+x-4在(0,+∞)上单调递增,又因为f(3)=2lg3+3-4=2lg3-1=lg9-1<0,f(4)=2lg4+4-4=2lg4>0,即f(3)f(4)<0,则函数f(x)=2lgx+x-4的零点在区间(3,4)上,即k=3.8.A 解析由题意,若p1,p2正确,则p3,p4均错误,不合题意,故p1,p2中必有一个错误.若p1错误,p2,p3正确,则f(x)的另一个零点为x=-1,此时p4正确,符合题意;若p2错误,p1,p3正确,则f(x)的另一个零点为x=,此时p4错误,不符合题意,故选A.9.A 解析当x>1时,2-x<1,所以f(2-x)=-ln[2-(2-x)]=-lnx=-f(x),当x<1时,2-x>1,所以f(2-x)=ln(2-x)=-f(x),当x=1时,f(1)=0,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称.显然x=1不是方程的根,当x≠1时,原方程可变为f(x)=,画出函数y=f(x)和y=的图象(如图),由图知,二者仅有两个交点,设为A(x1,y1),B(x2,y2),因为函数y=f(x)和y=的图象都关于点(1,0)对称,所以A,B关于点(1,0)对称,所以=1,即x1+x2=2,故选A.10.D 解析要求方程f(x)+x2=2根的个数,即为求函数f(x)的图象与函数y=2-的图象的交点个数,当x∈(0,+∞)时图象如下:由图知在区间(0,+∞)上有3个交点,又因为f(x)和函数y=2-在(-∞,0)∪(0,+∞)上是偶函数,所以在(-∞,0)上也有3个交点,故一共有6个交点,故选D.11.2(答案不唯一) 解析由x2+2x=0可得x=0或x=-2,由lnx=0可得x=1,因为函数f(x)=(t>0)有2个零点,且过点(e,1),所以e>t≥1,即常数t的取值范围是[1,e).12.(-1,0) 解析画出函数f(x)的图象如图,\n由题意得函数图象上存在互异的三个点,且=k,则可看作函数y=kx与函数f(x)的图象有三个不同的交点,由图知,当k=-1或k=0时,有且仅有两个交点,要使两个函数图象有三个不同的交点,则k的取值范围为(-1,0).13.B 解析依题意,方程x2-x-asinπx+1=0有且仅有一个实数根,令g(x)=x2-x+1,h(x)=asinπx,所以函数g(x),h(x)的图象有且仅有一个交点.显然a≤0不合题意,当a>0时,函数g(x),h(x)在x=处分别取得最小值和最大值a,由图象(图略)易知a=.14.ABD 解析作出函数y=a与函数y=f(x)的图象如图所示:对于A选项,由图可知,当0<a≤1时,方程f(x)=a有三个不同的实数根,选项A正确;对于B选项,由图可知,x1≤0,由f(x1)=-+1∈(0,1],解得-1<x1<1,此时-1<x1≤0,选项B正确;对于C选项,当0<x<1时,f(x)=|lnx|=-lnx;当x>1时,f(x)=|lnx|=lnx,由图可知,0<x2<1<x3,由f(x2)=f(x3)得-lnx2=lnx3,即lnx2+lnx3=0,所以x2x3=1,选项C错误;对于D选项,因为x2x3=1,所以ax1x2x3=ax1=(-+1)x1,且-1<x1≤0,记h(x)=(-x2+1)x,-1<x≤0,则h'(x)=-3x2+1,令h'(x)=-3x2+1=0,得x=-x=舍去,所以当-1<x<-时,h'(x)<0,当-<x≤0时,h'(x)>0,所以h(x)的极小值也是最小值,h(x)min=h-=-,因为h(-1)=0,h(0)=0,所以ax1x2x3的取值范围是-,0,选项D正确,故选ABD.
