课时规范练14 函数模型及其应用基础巩固组1.(2021山东高三月考)如图,公园里有一处扇形花坛,小明同学从A点出发,沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈,则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是( )2.(2021湖南长郡高三月考)2020年11月24日4时30分,长征五号遥五运载火箭在我国文昌航天发射场成功发射,飞行约2200秒后,顺利将探月工程嫦娥五号探测器送入预定轨道,开启我国首次地外天体采样返回之旅.已知火箭的最大速度v(单位:km/s)与燃料质量M(单位:kg),火箭质量m(单位:kg)的函数关系为v=2ln1+,若已知火箭的质量为3100kg,火箭的最大速度为12km/s,则火箭需要加注的燃料质量为( )(参考数据:ln2≈0.69,ln403.43≈6) A.402.43tB.1247.53tC.1250.63tD.403.43t3.(2021海南海口中学高三月考)如图所示的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中错误的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.(2021辽宁沈阳高三期中)为了研究疫情有关指标的变化,某学者给出了如下的模型:假定初始时刻的病例数为N0,平均每个病人可传染给K个人,平均每个病人可以直接传染给其他人的时间为L天,在L天之内,病例数目随时间t(单位:天)变化的关系式为N(t)=N0(1+K)t,若N0=2,K=2.4,则利用此模型预测第5天的病例数大约为( )(参考数据:log1.4454≈18,log2.4454≈7,log3.4454≈5)A.260B.580C.910D.12005.某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y,观影人数记为x,y关于x的函数图象如图1所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图2、图3中的实线分别为调整后y关于x的函数图象.给出下列四种说法,其中正确的是( )\nA.图2对应的方案是:提高票价,并提高固定成本B.图2对应的方案是:保持票价不变,并降低固定成本C.图3对应的方案是:保持票价不变,并保持固定成本不变D.图3对应的方案是:提高票价,并降低固定成本6.某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x(单位:万件)与投入实体店体验安装的费用t(单位:万元)之间满足函数关系式x=3-.已知该公司每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元.若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润为 万元. 7.(2021辽宁辽阳高三月考)某公司为加大核心技术的研发投入,建立了一套关键部件的评价标准:耐久度f(x)与时间x(单位:小时)的函数关系为f(x)=-k+3k+1,x∈[0,24),k∈[0,1].(1)令g(x)=,x∈[0,24),求g(x)的最大值;(2)若f(x)的最大值记为h(k),求函数h(k)的表达式;(3)若当h(k)≤4时,表示耐久度达到标准.则当实数k在什么范围内时,该部件耐久度达到标准?综合提升组8.(2021辽宁大连一模)某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:(1)如果不超过200元,则不给予优惠;(2)如果超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;(3)如果超过500元,其500元内的按第(2)条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物,分别付款168元和423元,假设他一次性购买上述两次同样的商品,则应付款\n( )A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元9.(2021安徽蚌埠高三月考)2019年,公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》,对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定,根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准,车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见下表.经过反复试验,一般情况下,某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的散点图如图所示,且该图表示的函数模型f(x)=假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n(n∈N*)小时才可以驾车,则n的值为( )(参考数据:ln15≈2.71,ln30≈3.40)车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值(mg/100mL)饮酒驾车[20,80)醉酒驾车[80,+∞)A.7B.6C.5D.410.(2021北京西城高三一模)长江流域水库群的修建和联合调度,极大地降低了洪涝灾害风险,发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低防洪风险,水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数(蓄满指数=(水库实际蓄水量)÷(水库总蓄水量)×100)来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下:(1)调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0,100];(2)调度后每座水库的蓄满指数都不能降低;(3)调度前后,各水库之间的蓄满指数排名不变.记x为调度前某水库的蓄满指数,y为调度后该水库的蓄满指数,给出下面四个y关于x的函数解析式:①y=-x2+6x;②y=10;③y=1;④y=100sinx.则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 . 创新应用组11.(2021北京高三月考)5G技术的数学原理之一是香农公式:C=Wlog21+,其中C(单位:bit/s)是信道容量或者叫信道支持的最大速度,W(单位:Hz)是信道的带宽,P(单位:dB)是平均信号率,N(单位:dB)是平均噪声功率,叫作信噪比.\n(1)根据香农公式,如果不改变带宽W,那么将信噪比从1023提升到多少时,信道容量C能提升10%?(2)已知信号功率P=P1+P2,证明:Wlog21+=Wlog21++Wlog21+;(3)现有3个并行的信道X1,X2,X3,它们的信号功率分别为P1,P2,P3(P1<P2<P3),这3个信道上已经有一些噪声或者信号功率.根据(2)中结论,如果再有一小份信号功率,把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量?(只需写出结论)\n课时规范练14 函数模型及其应用1.D 解析:小明沿走时,与点O的直线距离保持不变,沿BO走时,随时间增加与点O的距离越来越小,沿OA走时,随时间增加与点O的距离越来越大,故选D.2.B 解析:将v=12,m=3100代入v=2ln1+,得2ln1+=12,解得M=3100(e6-1)≈3100×402.43=1247533(kg)≈1247.53(t),故选B.3.A 解析:选项A中因正方体的底面积是定值,故水面高度的增加是均匀的,即图象是直线型的,故A错误;选项B中因几何体下面窄上面宽,且相同的时间内注入的水量相同,所以下面的高度增加得快,上面增加得慢,即图象应越来越平缓,故B正确;选项C中因球体是对称的几何体,下半球因下面窄上面宽,所以水的高度增加得越来越慢,上半球恰恰相反,所以水的高度增加得越来越快,则图象先陡峭再变缓再变陡,故C正确;选项D中几何体两头宽、中间窄,所以水的高度增加得越来越快后再越来越慢,则图象先平缓再变陡再变缓,故D正确.故选A.4.C 解析:N(5)=2(1+2.4)5=2×3.45,因为log3.4454≈5,所以3.45≈454,所以N(5)=2×3.45≈2×454=908≈910,故选C.5.B 解析:由图1可设y关于x的函数为y=kx+b,k>0,b<0,k为票价,当k=0时,y=b,则-b为固定成本.由图2知,直线向上平移,k不变,即票价不变,b变大,则-b变小,固定成本减小,故A错误,B正确;由图3知,直线与y轴的交点不变,直线斜率变大,即k变大,票价提高,b不变,即-b不变,固定成本不变,故C,D错误,故选B.6.37.5 解析:由题意,产品的月销量x(单位:万件)与投入实体店体验安装的费用t(单位:万元)之间满足x=3-,即t=-1(1<x<3),所以月利润y=48+x-32x-3-t=16x--3=16x-=45.5-16(3-x)+≤45.5-2=37.5,当且仅当16(3-x)=,即x=时,等号成立,即该公司最大月利润为37.5万元.7.解(1)①当x=0时,g(x)=0;②当0<x<24时,g(x)=,因为x+≥2=1,\n当且仅当x=时,等号成立,所以≤1.综上所述,g(x)的最大值为1.(2)当k∈[0,1]时,由(1)可知f(x)=|g(x)-k|+3k+1=所以当0≤g(x)≤k时,f(x)的最大值为h(k)=4k+1;当k<g(x)≤1时,f(x)的最大值为h(k)=2k+2.解4k+1≤2k+2,得k≤,所以h(k)=(3)由h(k)≤4,得解得0≤k≤,或<k≤,即0≤k≤.所以当实数k在0,内时,该部件耐久度达到标准.8.C 解析:某人两次去购物,分别付款168元与423元,根据商场的优惠规定,168元的商品未优惠,而423元的商品是按九折优惠后的,则实际商品价格为423÷0.9=470(元),如果他只去一次购买同样的商品,即价值168+470=638(元)的商品时,应付款500×0.9+(638-500)×0.7=450+96.6=546.6(元),故选C.9.B 解析:由散点图可知,该人喝一瓶啤酒后的2个小时内,其血液酒精含量逐渐增加并超过20mg/100mL,则令即解得n>2ln15≈2×2.71=5.42,因为n∈N*,\n所以n的最小值为6,故至少经过6小时才可以驾车.10.②④ 解析:①y=-x2+6x=-(x2-120x)=-(x-60)2+180,该函数在x=60时函数值为180,超过了范围,不合题意;②y=10在[0,100]上单调递增,且y∈[0,100],≤10,则x≤10,符合题意;③y=1,当x=50时1=10<50,不合题意;④y=100sin,当x∈[0,100]时,x∈0,,故该函数在[0,100]上单调递增,又因为y=100sin∈[0,100],设g(x)=100sin-x,x∈[0,100],g'(x)=100··cos-1,x∈[0,100],即g'(x)=·cos-1,易知g'(x)=·cos-1在[0,100]上单调递减,令g'(x)=0,则存在x0∈[0,100],有g'(x)=0,当x∈[0,x0]时,g'(x)>0;当x∈[x0,100]时,g'(x)<0.故g(x)在[0,x0]上单调递增,在[x0,100]上单调递减,g(0)=0,g(100)=0,故g(x)在[0,100]上g(x)≥0,即在[0,100]上100sin≥x,故④符合题意,故答案为②④.11.(1)解当=1023时,C=Wlog21024=10W,令Wlog21+=10W(1+10%),得Wlog21+=11W,解得=211-1=2047,所以若不改变带宽W,将信噪比从1023提升到2047时,信道容量C能提升10%.(2)证明右边=Wlog21++Wlog21+\n=Wlog21+1+=Wlog21+=Wlog21+=Wlog21+=Wlog21+=Wlog21+=左边,所以,原式成立.(3)解分配到信道X1上能获得最大的信道容量.
