课时规范练51 随机事件与概率基础巩固组1.在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了40次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为( )A.0.4,0.4B.0.5,0.5C.0.4,0.5D.0.5,0.42.某工厂生产了一批节能灯泡,这批产品按质量分为一等品、二等品、不合格品.从这批产品中随机抽取一件进行检测,设“抽到一等品”的概率为0.75,“抽到二等品”的概率为0.2,则“抽到不合格品”的概率为( )A.0.05B.0.25C.0.8D.0.953.(2021河南洛阳月考)一次下乡送医活动中,某医院要派医生A1,A2,A3和护士B1,B2,B3分成3组到农村参加活动,每组1名医生和1名护士,则医生A1和护士B1不分到同一组的概率为( )A.B.C.D.4.抛掷一个质地均匀的骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+发生的概率为( )A.B.C.D.5.(2021重庆八中月考)四名数学老师相约到定点医院接种疫苗,若他们一起登记后,等待电脑系统随机叫号进入接种室,则甲不被第一个叫到,且乙、丙被相邻叫到的概率为( )A.B.C.D.6.掷两枚硬币,若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为P1,P2,P3,则下列判断中,不正确的是( )A.P1=P2=P3B.P1+P2=P3C.P1+P2+P3=1D.2P1=2P2=P37.已知事件A,B互斥,且事件A发生的概率P(A)=,事件B发生的概率P(B)=,则事件A,B都不发生的概率是 . 8.(2021河南新乡一模)某班级分别从3名男生a1,a2,a3和2名女生b1,b2中各随机抽取1名学生组队参加知识竞赛,则男生a1和女生b1同时被抽中的概率为 . 综合提升组9.若A,B为对立事件,其概率分别为P(A)=,P(B)=(x>0,y>0),则x+y的最小值为( )\nA.10B.9C.8D.610.下列关于各事件发生的概率判断错误的是( )A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为11.某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况,在某服务区从小型汽车中抽取了80名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(单位:km/h)分成六段:[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90],得到如图所示的频率分布直方图.下列结论不正确的是( )A.这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5B.在该服务区任意抽取一辆车,估计车速超过75km/h的概率为0.65C.若从样本中车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆,则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为D.若从样本中车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆,则车速都在[65,70)内的概率为\n12.有六条线段,其长度分别为2,3,4,5,6,7.现任取三条,则这三条线段在可以构成三角形的前提下,能构成锐角三角形的概率是 . 13.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.现随机选取一个成员,他属于至少2个小组的概率是 ,他属于不超过2个小组的概率是 . 14.(2021河北部分学校联考)从某果园的苹果树上随机采摘500个苹果,其质量分布如频率分布直方图所示.(1)求t的值,并计算这500个苹果的质量的平均值;(2)现按分层抽样的方式从质量在[250,300),[300,350)的苹果中抽取6个,再从这6个苹果中随机抽取2个,求这2个苹果的质量都在[250,300)的概率.创新应用组15.从A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下:所用时间/分钟10~2020~3030~4040~5050~60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.\n课时规范练51 随机事件与概率1.C 解析:100次试验中有40次正面朝上,所以正面朝上的频率为=0.4.因为硬币质地均匀,所以正面朝上和反面朝上的概率都是0.5.故选C.2.A 解析:“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件,所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.75+0.2=0.95.“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件,故其概率为1-0.95=0.05.故选A.3.C 解析:由题意,不同分组有(A1B1,A2B2,A3B3),(A1B1,A2B3,A3B2),(A1B2,A2B1,A3B3),(A1B2,A2B3,A3B1),(A1B3,A2B2,A3B1),(A1B3,A2B1,A3B2),共6种,医生A1和护士B1不分到同一组有4种情况,则所求概率为.故选C.4.C 解析:抛掷一个骰子的试验有6种等可能结果.依题意P(A)=,P(B)=,所以P()=1-P(B)=1-.因为表示“出现5点或6点”的事件,所以事件A与互斥,从而P(A+)=P(A)+P()=.故选C.5.D 解析:四名教师总的进入注射室的顺序有=24种,则甲第二个被叫到,且乙、丙被相邻叫到的方法数有=2种;甲第三个被叫到,且乙、丙被相邻叫到的方法数有=2种;甲第四个被叫到,且乙、丙被相邻叫到的方法数有2=4种,所以“甲不被第一个叫到,且乙、丙被相邻叫到”的概率为.故选D.6.A 解析:掷两枚硬币,出现“两个正面”的概率为P1=;出现“两个反面”的概率为P2=\n;出现“一正一反”的概率为P3=.故A错误,B,C,D正确.7. 解析:因为事件A,B互斥,且P(A)=,P(B)=,则事件A,B至少有一件发生的事件为A+B,其概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=,事件A,B都不发生的事件是A+B的对立事件,则其概率为1-P(A+B)=1-.所以事件A,B都不发生的概率是.8. 解析:抽取1名男生,1名女生的样本空间={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)}.所以男生a1和女生b1同时被抽中的概率P=.9.B 解析:∵A,B为对立事件,其概率分别为P(A)=,P(B)=,∴P(A)+P(B)=1,即=1(x>0,y>0),∴(x+y)=4++1≥5+2=9,当且仅当x=2y=6时,等号成立.故选B.10.D 解析:对于A,从甲、乙、丙三人中任选两人包含的样本点有(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙),共3个,其中,甲被选中的情况有2个,故甲被选中的概率为,故A正确;对于B,从四条长度各异的线段中任取一条,所有样本点包括(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7),共4个,而能构成三角形的只有(3,5,7)一种情况,所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是,故B正确;对于C,该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,所以获得食物的概率为,故C正确;对于D,因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},\n所以由古典概型的概率公式知,所求的概率是,故D错误.故选D.11.D 解析:根据频率分布直方图可知,这80辆小型车辆车速主要集中在[75,80),众数为=77.5,故A正确;车速超过75km/h的概率为(0.06+0.05+0.02)×5=0.65,故B正确;车速在[60,70)内的车辆共有80×(0.01+0.02)×5=12(辆),车速都在[65,70)内的车辆有80×0.02×5=8(辆),所以任意抽取2辆,至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为P=,故C正确;车速都在[65,70)内的概率为P=,故D错误.故选D.12. 解析:有六条线段,其长度分别为2,3,4,5,6,7.现任取三条,则这三条线段能构成三角形的样本空间Ω={(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(2,6,7),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(3,5,7),(3,6,7),(4,5,6),(4,5,7),(4,6,7),(5,6,7)},共13个,其中能构成锐角三角形的样本空间Ω1={(4,5,6),(4,6,7),(5,6,7)},共3个,∴能构成锐角三角形的概率是P=.13. 解析:“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况,故他属于至少2个小组的概率为P=.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”,其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是P=1-.14.解(1)依题意,(2t+0.003+0.008+0.004+0.001)×50=1,解得t=0.002.这500个苹果的质量的平均值为125×0.1+175×0.1+225×0.15+275×0.4+325×0.2+375×0.05=12.5+17.5+33.75+110+65+18.75=257.5(克).(2)依题意,质量在[250,300),[300,350)的苹果分别抽取4个和2个.记质量在[250,300)的苹果为A,B,C,D,质量在[300,350)的苹果为a,b,随机抽取2个,样本点有(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b),共有15种情况.其中满足条件的样本点有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6种情况.故所求概率为P=.\n15.解(1)共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),用频率估计概率,可得所求概率为0.44.(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率分布如下表:所用时间/分钟10~2020~3030~4040~5050~60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)记事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;记事件B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.用频率估计概率及由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2),故甲应选择L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1),故乙应选择L2.
