苏州市第一中学2022届高三“三模”数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填写在答题纸相应位置上．1．设集合,,则▲．2．记，则点位于第▲象限．3．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：分组[1.5,3.5)[3.5,5.5)[5.5,7.5)[7.5,9.5)[9.5,11.5)频数614162010根据样本的频率分布估计，数据落在[5.5，9.5)的概率约是▲.4．已知向量，向量，则的最大值为▲．5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是▲．①.若，，则；②.若，，则；③.若，，则；④.若，，则．6．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为▲．开始结束是输出否（第9题图）x←1,y←1z←x+yx←yy←z7．设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，，，则__▲___．8．若变量满足约束条件,则目标函数的最小值是___▲___．9．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为▲．10．已知，且，则19的值为____▲____．11．已知函数若，使得成立，则实数的取值范围是▲．12．四棱锥的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，，，则该球的体积为▲．13．在中，已知，，，为线段上的点，且，则的最大值为▲．14．我们把形如的函数称为“莫言函数”，并把其与轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心凡是与“莫言函数”图象有公共点的圆，皆称之为“莫言圆”．当，时，在所有的“莫言圆”中，面积的最小值▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.(Ⅰ)求的值及函数的值域；(Ⅱ)若,且,求的值.16．（本小题满分14分）直三棱柱中，，，、分别为19、的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求四面体的体积．17．（本小题满分14分）如图，某农业研究所要在一个矩形试验田内种植三种农作物，三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中．试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区．已知种植区的占地面积为平方米．（1）设试验田的面积为，，求函数的解析式；（2）求试验田占地面积的最小值．18．（本小题满分16分）已知椭圆过点，且它的离心率．直线与椭圆交于、两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）当时，求证：、两点的横坐标的平方和为定值；OxyMN（Ⅲ）若直线与圆相切，椭圆上一点满足，求实数的取值范围．1919．（本小题满分16分）已知数列，，且满足（）.（1）若，求数列的通项公式；（2）若，且.记，求证：数列为常数列；（3）若，且,.求数列的前项和．20．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；(3)当a＝1时，设函数f(x)在区间[t，t＋3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)＝M(t)－m(t)，求函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值．19考场号_____学号_____班级___________姓名_____________………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………答题纸一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）成绩1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．16．1917．OxyMN18．1919．1920.数学Ⅱ(附加题)1921．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作GFEDCBA（第21—A题图）答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在梯形中，∥BC，点，分别在边，上，设与相交于点，若，，，四点共圆，求证：．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵有特征值及对应的一个特征向量，求曲线在的作用下的新曲线方程．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为．直线与曲线交于两点，求．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设，实数满足，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）19在某社区举办的《有奖知识问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答某一道题，已知甲回答对这道题的概率是，甲、丙二人都回答错的概率是，乙、丙二人都回答对的概率是．（Ⅰ）求乙、丙二人各自回答对这道题的概率；（Ⅱ）设乙、丙二人中回答对该题的人数为X，求X的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）已知数集，其中，且，若对（），与两数中至少有一个属于，则称数集具有性质．（Ⅰ）分别判断数集与数集是否具有性质，说明理由；（Ⅱ）已知数集具有性质．①求证：；②判断数列是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．19GFEDCBA（第21—A题图）考场号_____学号_____班级___________姓名_____________………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………数学Ⅱ(附加题)A．[选修4-1：几何证明选讲]B．[选修4-2：矩阵与变换]C．[选修4-4：坐标系与参数方程]D．[选修4-5：不等式选讲]22．1923．参考答案1．2．二3．4．45．①6．7．68．29．10．11．12．1913．314．15．(Ⅰ)由已知可得:=3cosωx+又由于正三角形ABC的高为2,则BC=4所以,函数所以，函数…………………………………………7分(Ⅱ)因为(Ⅰ)有由x0所以,故．…………………………………………14分16．(Ⅰ)直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1B⊥AB,BC⊥AB,又B1BBC=B，∴AB⊥平面BB1C1C.又Ｎ、Ｆ分别为A1C1、B1C1的中点∴AB∥A1B1∥NF.19∴NF⊥平面BB1C1C.因为FC平面BB1C1C.所以NF⊥FC.取BC中点G，有BG=GF=GC.∴BF⊥FC，又NFFB=F，∴FC⊥平面NFB.7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,．…………………………………………14分17．解：(1)设的长与宽分别为和，则……………………………………2分……………………………………4分试验田的面积……………………………………6分(2令，，则，…………………………………9分…………………………………11分当且仅当时，，即，此时，．…………13分答:试验田的长与宽分别为44米、22米时，占地面积最小为968米2.…………14分18．解：(Ⅰ)设椭圆的标准方程为由已知得：，解得19所以椭圆的标准方程为：………………………………4分(Ⅱ)由，得，设，，则，为定值．…………9分（Ⅲ）因为直线与圆相切所以，把代入并整理得：设，则有因为，，所以，又因为点在椭圆上，所以，．因为所以，所以，所以的取值范围为．…………………………16分19，解：（Ⅰ）．…………………………………………4分（Ⅱ）先证，即，………………………………………7分然后，数列为常数列…………………10分（Ⅲ）…………………………16分1920．解：(1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝a＞0.当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，a)a(a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)．(5分)(2)由(1)知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当解得0＜a＜.所以a的取值范围是.(8分)(3)a＝1时，f(x)＝x3－x－1.由(1)知f(x)在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．①当t∈[－3，－2]时，t＋3∈[0,1]，－1∈[t，t＋3]，f(x)在[t，－1]上单调递增，在[－1，t＋3]上单调递减．因此f(x)在[t，t＋3]上的最大值M(t)＝f(－1)＝－，而最小值m(t)为f(t)与f(t＋3)中的较小者．由f(t＋3)－f(t)＝3(t＋1)(t＋2)知，当t∈[－3，－2]时，f(t)≤f(t＋3)，故m(t)＝f(t)，所以g(t)＝f(－1)－f(t)．而f(t)在[－3，－2]上单调递增，因此f(t)≤f(－2)＝－.所以g(t)在[－3，－2]上的最小值为g(－2)＝－－＝.(12分)②当t∈[－2，－1]时，t＋3∈[1,2]，且－1,1∈[t，t＋3]．下面比较f(－1)，f(1)，f(t)，f(t＋3)的大小．由f(x)在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有f(－2)≤f(t)≤f(－1)，f(1)≤f(t＋3)≤f(2)．又由f(1)＝f(－2)＝－，f(－1)＝f(2)＝－，从而M(t)＝f(－1)＝－，m(t)＝f(1)＝－.所以g(t)＝M(t)－m(t)＝.综上，函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值为.21．A证明：连结EF．∵四点共圆,∴．∵∥，∴19180°．∴180°．∴四点共圆．∵交于点G，∴．…10分21．B由，即，，，，所以．设曲线上任一点，在作用下对应点，则，即，解之得，代入，得．即曲线在的作用下的新曲线方程是．…………………10分21．C的直角坐标方程为，的直角坐标方程为，所以圆心到直线的距离，…………………10分21．D证：，，又．………………10分22．解：（Ⅰ）设甲、乙、丙回答对这道题分别为事件、、，则，且有19即解得，．…………………4分（Ⅱ）由题意，．，．．所以随机变量的分布列为．…………………10分解：（Ⅰ）由于和都不属于集合，所以该集合不具有性质；由于、、、、、、、、、都属于集合，所以该数集具有性质．………………………………………4分（Ⅱ）①具有性质，所以与中至少有一个属于，由，有，故，，故．………………………………………4分②，，故．由具有性质知，，又，，即……①由知，，，…，，均不属于，由具有性质，，，…，，均属于，19，而，，，，…，即……②由①②可知，即（）．故构成等差数列．………………10分19
