2022年东莞市虎门中学高三保温演练题数学（理科）参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高；公式：；0.150.1000.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635考生注意：本卷共三大题，满分150分，时间120分钟．不准使用计算器．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题表内．）1．已知复数z的实部为，虚部为2，则=（）A．B．C．D．2．设全集R，，则（）A．B．C．D．3．函数的反函数为,则的值为（）A．1B．2C．D．44．从2022名学生中选取名学生参加英语比赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2022人中剔除10人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取人，则在2022人中，每人入选的概率（）A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为D．都相等，且为5．已知，A是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）A．B．C．D．6．已知命题：函数是最大值为1的奇函数；命题：，使成立．则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．7．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆有公共点，则的最小值是（）12A．B．C．D．8．已知函数有下列四个结论：（1）当时，的图象关于原点对称（2）有最小值（3）若的图象与直线有两个不同交点，则（4）若在上是增函数，则其中正确的结论为（）A．(1)(2)B．(2)(3)C．(3)D．(3)(4)二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中第14、15题是选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计算前一题的得分．）（一）必做题9．在等比数列中，则这个数列中=．10．如图所示的程序框图，则输出结果．11．对于命题：如果是线段上一点,则；将它类比到平面的情形是：若是内一点，有；将它类比到空间的情形应该是：若是四面体内一点,则有．12．已知某棱锥的三视图如右图所示，则该棱锥的体积为.13．的展开式中，项的系数是．（二）选做题14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线与圆的公共点个数是．15．（几何证明选讲选做题）如图所示，等腰三角形的底边长为8，其外接圆的半径长为5，则三角形的面积是________．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）在锐角中，所对边分别为．已知12，，且．（1）求的大小；（2）若求的最大值．17．（本小题满分12分）某电视台为了了解某地区电视观众对某娱乐节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查。右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该娱乐节目时间的频率分布直方图：将日均收看该娱乐节目时间不低于40分钟的观众认为是喜欢娱乐节目．（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料，你能否在犯错误率不超过0.05的情况下认为喜欢收看娱乐节目的观众与年龄有关？不喜欢娱乐节目喜欢娱乐节目合计大于40岁1020至40岁45合计（2）若用分层抽样的方法从喜欢收看娱乐节目的观众中随机抽取10人为幸运观众，选取2人作为一等奖，求选取的2人来自不同年龄段的概率；（3）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中随机抽取3名观众（看作有放回的抽样），求所取的3名观众中喜欢娱乐节目的人数为．求的分布列、期望和方差．1218．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD，DAB为直角，AB//CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点．（Ⅰ）求证：AB平面BEF；（Ⅱ）设PA＝k·AB，且二面角E—BD—C的平面角大于，求k的取值范围．19．（本小题满分14分）已知函数.（1）若图象上的点处的切线斜率为，求的极值；（2）若在区间上是单调减函数，求的最小值．YN开始结束输出?输入20．（本小题满分14分）已知数列的各项全为正数，观察流程图：（Ⅰ）当时，；当时，.（i）求的通项公式；12（ii）令,求的值；（Ⅱ）已知，求的取值范围．21．（本小题满分14分）设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值．2022年东莞市虎门中学高三保温演练题数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案ABCCDCAD二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．4；10．．11．1212．2；13．；（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．；15．．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，喜欢娱乐节目的有25人，从而列联表如下：不喜欢娱乐节目喜欢娱乐节目合计大于40岁45105520至40岁301545合计7525100假设喜欢收看娱乐节目的观众与年龄无关，将列联表中的数据代入公式计算12的观测值，得∴所以不能在犯错误率不超过0.05的前提下认为喜欢收看娱乐节目与年龄有关。（2）喜欢娱乐节目的观众中，20至40岁的有15人，大于40岁的有10人，则抽取的10名幸运观众中，20至40岁的有6人，大于40岁的有4人，记选取的2人来自不同年龄段为事件，则。（3）由频率分布直方图知抽到喜欢娱乐节目的观众的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中随机抽取一人喜欢娱乐节目的概率为，由题意可知，∴的所有可能取值为0，1，2，3，且；；；，由此得的分布列为：0123，．18．解：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且DAD为直角，故ABFD是矩形，从而CDBF.又PA底面ABCD,CDAD，故由三垂线定理知CDPD.在△PDC中，E、F分别PC、CD的中点，故EF∥PD,从而CDEF,由此得CD面BEF. （Ⅱ）连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在△PAC中易知EC∥PA.又因PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.设AB=a,则在△PAC中，有BG=PA=ka.以下计算GH，考察底面的平面图（如答(19)图２）.连结GD.12因S△CBD=BD·GH=GB·OF.故GH=.在△ABD中，因为AB＝a,AD=2A,得BD=a 而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得GH==＝因此tanEHG==由k＞0知是锐角，故要使＞，必须＞tan=解之得，k的取值范围为k＞解法二：（Ⅰ）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0).从而=(2a,0,0),=(0,2a,0), ·=0,故.设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故E.从而=.·=0,故.由此得CD面BEF.（Ⅱ）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.12从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.由PA＝k·AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).设H(x,y,0)，则=(x-a,y-a,0),=(-a,2a,0),由·=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a①又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故＝，即2x+y=2a②由①②解得x=a,y=a,从而＝，｜｜＝a.tanEHG===.由k＞0知，EHC是锐角，由EHC＞得tanEHG＞tan即＞故k的取值范围为k＞.121220．1221．解：（1）由对称性知：是等腰直角，斜边点到准线的距离圆的方程为（2）由对称性设，则点关于点对称得：得：，直线切点直线坐标原点到距离的比值为12
