虹口区2022年数学学科高考练习题(理科)一、填空题（每小题4分，满分56分）1、函数在上单调递减，则的取值范围是．2、已知复数，则．3、已知，则．4、设展开式中二项式系数之和为，各项系数之和为，则．5、已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且渐近线方程为，则此双曲线方程为．6、如果，则的最小值为．7、数列的通项，前项和为，则．8、设、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积等于．9、从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个，记取出的非空子集中元素个数为，则的数学期望．10、对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是．11、在中，，，，则面积等于．12、将边长为2的正方形沿对角线折起，以，，，为顶点的三棱锥的体积最大值等于．913、设，称为整数的为“希望数”，则在内所有“希望数”的个数为．14、已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合，如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则实数的取值范围是．二、选择题（每小题5分，满分20分）15、直线的倾斜角等于（）16、已知函数与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为，，，……，则等于（）17、若，，，如果有，，则值为（）．0118、正方体的棱上到异面直线，的距离相等的点的个数为（）2．3．4．5．三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，平面，矩形的边长，，为的中点．（1）证明：；（2）如果，求异面直线与所成的角的大小．920、（本题满分14分）在中，角，，所对的边长分别为，，，向量，，且．（1）求角；（2）若，求的面积的最大值．21、（本题满分14分）已知复数，其中，，，是虚数单位，且，．（1）求数列，的通项公式；（2）求和：①；②．22、（本题满分16分）已知抛物线：，直线交此抛物线于不同的两个点、．（1）当直线过点时，证明为定值；（2）当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）如果直线过点，过点再作一条与直线垂直的直线交抛物线于两个不同点、．设线段的中点为，线段的中点为，记线段的中点为．问是否存在一条直线和一个定点，使得点到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．923、（本题满分18分）定义域为的函数，如果对于区间内的任意两个数、都有成立，则称此函数在区间上是“凸函数”．（1）判断函数在上是否是“凸函数”，并证明你的结论；（2）如果函数在上是“凸函数”，求实数的取值范围；（3）对于区间上的“凸函数”，在上任取，，，……，．①证明：当（）时，成立；②请再选一个与①不同的且大于1的整数，证明：也成立．9虹口区2022年数学学科高考练习题答案（理）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、；2、2；3、；4、；5、；6、1；7、7；8、1；9、；10、；11、；12、；13、9；14、或；二、选择题（每小题5分，满分20分）15、；16、A；17、；18、；三、解答题（满分74分）19、(12分)解：（1）连，由，得，同理，，由勾股定理逆定理得，．……………………3分由平面，得.由，，得平面．．…………6分（2）取的中点，的中点，连、、、．，，的大小等于异面直线与所成的角或其补角的大小．………………8分由，，，得，，，．异面直线与所成的角的大小为．…………12分注：用向量解相应给分．20、（14分）解：（1），，，，……………………5分9又，，，………………7分（2），，，即…9分，即，当且仅当时等号成立．…12分，当时，．…………14分21、（14分）解：（1），，．由得，………………3分数列是以1为首项公比为3的等比数列，数列是以1为首项公差为2的等差数列，，．……………………6分（2）①由（1）知，,数列是以为首项，公比为的等比数列．．………………9分②当，时，当，时，又也满足上式………914分22、（16分）解：（1）过点与抛物线有两个交点，设，由得，．……………………4分（2）当直线的斜率存在时，设，其中（若时不合题意）．由得．，从而．………6分从而，得，即，即过定点．………………8分当直线的斜率不存在，设，代入得，，，从而，即，也过．综上所述，当时，直线过定点．…………10分（3）依题意直线的斜率存在且不为零，由（1）得点的纵坐标为，代入得，即．由于与互相垂直，将点中的用代，得．…………12分设，则消得………………14分由抛物线的定义知存在直线，点，点到它们的距离相等．………16分23、（18分）解：（1）设，是上的任意两个数，则9．函数在上是“凸函数”．……4分（2）对于上的任意两个数，，均有成立，即，整理得………………7分若，可以取任意值．若，得，，．综上所述得．………………10分（3）①当时由已知得成立．假设当时，不等式成立即成立．那么，由，得．即时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．……………………15分②比如证明不等式成立．由①知，，，，9有成立．，，，，，从而得．………………18分9
