黑龙江省牡丹江市2022年中考数学试卷（市区卷）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．平行四边形B．圆C．正五边形D．等腰三角形 2．（3分）在函数y=中，自变量x的取值范围是（ ） A．x≠0B．x＞2C．x≥2D．x≠2 3．（3分）下列计算正确的是（ ） A．6x2+3x=9x3B．6x2•3x=18x2C．（﹣6x2）3=﹣36x6D．6x2÷3x=2x 4．（3分）由一些大小相同的小正方形搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方形的个数最少是（ ） A．4B．5C．6D．7 5．（3分）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是（ ） A．B．C．D． 6．（3分）抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是（ ）13\n A．x＜2B．x＞﹣3C．﹣3＜x＜1D．x＜﹣3或x＞1 7．（3分）在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为（ ） A．10B．4C．10或4D．10或2 8．（3分）若2a=3b=4c，且abc≠0，则的值是（ ） A．2B．﹣2C．3D．﹣3 9．（3分）若等腰三角形的周长是100cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y（cm）与底边长x（cm）之间的函数关系式的图象是（ ） A．B．C．D． 10．（3分）如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形．其中正确结论的个数是（ ） A．4B．3C．2D．1 二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）11．（3分）2022年我国的国内生产总值达到519000亿元，请将519000用科学记数法表示，记为 5.19×105 ．13\n 12．（3分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件 AC=BD （只添一个即可），使▱ABCD是矩形． 13．（3分）一件商品的进价为a元，将进价提高100%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为 0.4a 元． 14．（3分）若五个正整数的中位数是3，唯一的众数是7，则这五个数的平均数是 4 ． 15．（3分）在圆中，30°的圆周角所对的弦的长度为2，则这个圆的半径是 2 ． 16．（3分）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是 3n+4 ． 17．（3分）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，过点A（1，2）的直线y=kx+b与x轴交于点B，且S△AOB=4，则k的值是 ﹣2或6 ． 18．（3分）在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=，则BD的长为 6 ． 19．（3分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c= ﹣2 ． 20．（3分）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（0，6），D（4，0），将菱形ABCD先向左平移5个单位长度，再向下平移8个单位长度，然后在坐标平面内绕点O旋转90°，则边AB中点的对应点的坐标为 （﹣5，7）或（5，﹣7） ．13\n 三、解答题（共8小题，满分60分）21．（5分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x=﹣4． 22．（6分）如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x=﹣3，请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式．（2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求△BCD的面积．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣． 23．（6分）矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4，BC=4，向矩形ABCD外作△CDE，使△CDE为等腰三角形，且点E不在边BC所在的直线上，请你画出图形，直接写出OE的长，并画出体现解法的辅助线． 24．（7分）某校为了了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了本校部分学生进行问卷调查（必选且只选一类节目），将调查结果进行整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图，其中喜爱体育节目的学生人数比喜爱戏曲节目的学生人数的3倍还多1人．13\n请根据所给信息解答下列问题：（1）求本次抽取的学生人数．（2）补全条形图，在扇形统计图中的横线上填上正确的数值，并直接写出“体育”对应的扇形圆心角的度数．（3）该校有3000名学生，求该校喜爱娱乐节目的学生大约有多少人？ 25．（8分）快、慢两车分别从相距360千米路程的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，快车到达乙地后，停留1小时，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1小时到达甲地，快、慢两车距各自出发地的路程y（千米）与出发后所用的时间x（小时）的关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：（1）快、慢两车的速度各是多少？（2）出发多少小时，快、慢两车距各自出发地的路程相等？（3）直接写出在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为150千米的次数． 26．（8分）在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．（3）若AC=6，DE=4，则DF= 2或10 ．13\n 27．（10分）博雅书店准备购进甲、乙两种图书共100本，购书款不高于2224元，预计这100本图书全部售完的利润不低于1100元，两种图书的进价、售价如下表所示：甲种图书乙种图书进价（元/本）1628售价（元/本）2640请解答下列问题：（1）有哪几种进书方案？（2）在这批图书全部售出的条件下，（1）中的哪种方案利润最大？最大利润是多少？（3）博雅书店计划用（2）中的最大利润购买单价分别为72元、96元的排球、篮球捐给贫困山区的学校，那么在钱恰好用尽的情况下，最多可以购买排球和篮球共多少个？请你直接写出答案． 28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴相交于A，B两点，OA，OB的长分别是方程x2﹣14x+48=0的两根，且OA＜OB．（1）求点A，B的坐标．（2）过点A作直线AC交y轴于点C，∠1是直线AC与x轴相交所成的锐角，sin∠1=，点D在线段CA的延长线上，且AD=AB，若反比例函数y=的图象经过点D，求k的值．（3）在（2）的条件下，点M在射线AD上，平面内是否存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．13\n 13\n黑龙江省牡丹江市2022年中考数学试卷（市区卷）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．B 2．D 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D 8．B 9．C 10．B 二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）11．5.19×105 12．AC=BD 13．0.4a 14．4 15．2 16．3n+4 17．﹣2或6 18．6 19．﹣2 20．（﹣5，7）或（5，﹣7） 三、解答题（共8小题，满分60分）21．解：原式=•=，当x=﹣4时，原式==﹣1． 22．解：（1）把点A（﹣4，﹣3）代入y=x2+bx+c得：13\n16﹣4b+c=﹣3，c﹣4b=﹣19，∵对称轴是x=﹣3，∴﹣=﹣3，∴b=6，∴c=5，∴抛物线的解析式是y=x2+6x+5；（2）∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x=﹣3对称，∵点C在对称轴左侧，且CD=8，∴点C的横坐标为﹣7，∴点C的纵坐标为（﹣7）2+6×（﹣7）+5=12，∵点B的坐标为（0，5），∴△BCD中CD边上的高为12﹣5=7，∴△BCD的面积=×8×7=28． 23．解：∵AC=4，BC=4，∴AB=8，∵△CDE为等腰三角形，∴当CD=CE时，EC=CD=8，∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4，∴AO=CO=2，∴EO=AO﹣AE=AO﹣（AC﹣CD）=8﹣2，当ED=CE时，E，O重合，△CED是等腰三角形，此时EO=0．13\n 24．解：（1）由条形图可知，喜爱戏曲节目的学生有3人，∵喜爱体育节目的学生人数比喜爱戏曲节目的学生人数的3倍还多1人，∴喜爱体育节目的学生有：3×3+1=10人，∴本次抽取的学生有：4+10+15+18+3=50人；（2）喜爱C类电视节目的百分比为：×100%=30%，“体育”对应的扇形圆心角的度数为：360°×=72°．补全统计图如下：（3）∵喜爱娱乐节目的百分比为：×100%=30%，∴该校3000名学生中喜爱娱乐节目的学生有：3000×30%=900人． 25．解；（1）如图所示：快车一共行驶了7小时，中间停留了1小时，慢车一共行驶了6小时，∵由图可得出两地相距360km，∴快车速度为：360×2÷6=120（km/h），慢车速度为：360÷6=60（km/h）；（2）∵快车速度为：120km/h，∴360÷120=3（h），∴A点坐标为；（3，360）∴B点坐标为（4，360），13\n可得E点坐标为：（6，360），D点坐标为：（7，0），∴设BD解析式为：y=kx+b，，解得：，∴BD解析式为：y=﹣120x+840，设OE解析式为：y=ax，∴360=6a，解得：a=60，∴OE解析式为：y=60x，当快、慢两车距各自出发地的路程相等时：60x=﹣120x+840，解得：x=，答：出发小时，快、慢两车距各自出发地的路程相等；（3）根据两车第一次相遇前可以相距150km，第一次相遇后两车再次相距150km，当快车到达乙地后返回时两车可以相距150km，综上所述：在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为150千米的次数是3次． 26．解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，∴四边形AFDE是平行四边形．∴AF=DE，∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠FDB=∠C∴DF=BF∴DE+DF=AB=AC；（2）图②中：AC+DF=DE．图③中：AC+DE=DF．（3）当如图①的情况，DF=AC﹣DE=6﹣4=2；当如图③的情况，DF=AC+DE=6+4=10．故答案是：2或10． 27．解：（1）设购进甲种图书x本，则购进乙书（100﹣x）本，根据题意得出：，解得：48≤x≤50．13\n故有3种购书方案：甲种书：48种，乙种书：52本；甲种书：49种，乙种书：51本；甲种书：50种，乙种书：50本；（2）根据乙种书利润较高，故乙种书购进越多利润最大，故购进甲种书：48种，乙种书：52本利润最大为：48×（26﹣16）+52×（40﹣28）=1104（元）；（3）根据题意得出：72a+96b=1104，尽可能多买排球才能购买数量最多，故当买一个篮球时，可以购买：（1104﹣96）÷72=14（个）．答：最多可以购买排球和篮球共15个． 28．解：（1）解方程x2﹣14x+48=0，得：x1=6，x2=8．∵OA，OB的长分别是方程x2﹣14x+48=0的两根，且OA＜OB，∴OA=6，OB=8，∴A（6，0），B（0，8）．（2）如答图1所示，过点D作DE⊥x轴于点E．在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，由勾股定理得：AB=10．∴sin∠OBA===．∵sin∠1=，∴∠OBA=∠1．∵∠OBA+∠OAB=90°，∠1+∠ADE=90°，∴∠OAB=∠ADE．在△AOB与△DEA中，，∴△AOB≌△DEA（ASA）．∴AE=OB=8，DE=OA=6．∴OE=OA+AE=6+8=14，13\n∴D（14，6）．∵反比例函数y=的图象经过点D，∴k=14×6=84．（3）存在．如答图2所示，若以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形，①当AB：AM1=2：1时，过点M1作M1E⊥x轴于点E，易证Rt△AEM1∽Rt△BOA，∴，即，∴AE=4，M1E=3．过点N1作N1F⊥y轴于点F，易证Rt△N1FB≌Rt△AEM1，∴N1F=AE=4，BF=M1E=3，∴OF=OB+BF=8+3=11，∴N1（4，11）；②当AB：AM2=1：2时，同理可求得：N2（16，20）．综上所述，存在满足条件的点N，点N的坐标为（4，11）或（16，20）．13
