第六节 二次函数的实际应用河北五年中考命题规律年份题号考查点考查内容分值总分202226二次函数的实际应用以销售节能产品为背景，代入相关数据，求满足关系的二次函数表达式，并求利润之差最大值12122022、2022年未考查20229二次函数的实际应用以正方形板材面积与成本关系为背景，利用二次函数关系求板材边长33202225二次函数的实际应用以运输为背景，给出几组数据，(1)求二次函数表达式；(2)(3)问通过二次函数表达式求某一点的值；(4)求使二次函数值保持不变的条件1212命题规律二次函数的实际应用为河北近五年中考每年的必考考点，题型一般为选择、解答题，分值为2～12分，在选择中考查比较简单，解答中综合性较强．纵观河北五年考查内容可以看出，常考类型有：(1)单纯二次函数的实际应用，其中在选择题中考查了1次，在解答题中考查了2次；(2)二次函数与一次函数结合，其中在解答题中考查了1次.2022年与反比例函数结合考查1次.河北五年中考真题及模拟 二次函数的实际应用1．(2022河北中考)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm，当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为( A )A．6cm B．12cm C．24cm D．36cm2．(2022河北中考)某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q＝W＋100，而W的大小与运输次数n及平均速度x(km/h)有关(不考虑其他因素)，W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．次数n21速度x4060指数Q420100(1)用含x和n的式子表示Q；(2)当x＝70，Q＝450时，求n的值；(3)若n＝3，要使Q最大，确定x的值；(4)设n＝2，x＝40，能否在n增加m%(m>0)同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．[参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标是]解：(1)Q＝－x2＋6nx＋100；(2)将x＝70，Q＝450代入Q＝－x2＋6nx＋100中，得450＝－×702＋6×70n＋100，解得n＝2；(3)当n＝3时，Q＝－x2＋18x＋100＝－(x－90)2＋910.5\n∵－<0，∴函数图像开口向下，有最大值，则当x＝90时，Q有最大值，即要使Q最大，x＝90；(4)由题意，得420＝－[40(1－m%)]2＋6×2(1＋m%)×40(1－m%)＋100，即2(m%)2－m%＝0，解得m1＝50，m2＝0(舍去)，∴m＝50.,中考考点清单 二次函数的实际应用二次函数的实际应用为每年的必考点，题型多为选择、解答题，有以下两种常考类型：(1)单纯二次函数的实际应用；(2)与一次函数结合的实际应用．出题形式有三种：(1)以某种产品的销售为背景；(2)以公司的工作业绩为背景；(3)以某公司装修所需材料为背景．设问方式主要有：(1)列函数关系式并求值；(2)求最优解；(3)求最大利润及利润最大时自变量的值；(4)求最小值；(5)选择最优方案．解二次函数应用题步骤及关键点：步骤关键点(1)分析问题明确题中的常量与变量及它们之间的关系，确定自变量及函数(2)建立模型，确定函数表达式根据题意确定合适的表达式或建立恰当的坐标系(3)求函数表达式变量间的数量关系表示及自变量的取值范围续表(4)应用性质，解决问题熟记顶点坐标公式或配方法，注意a的正负及自变量的取值范围【方法技巧】(1)利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应理清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要周全，此类问题一般是运用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品所获利润×销售数量”，建立利润与价格之间的函数关系式；(2)最值：若函数的对称轴在自变量的取值范围内，顶点坐标即为其最值，若顶点坐标不是其最值，那么最值可能为自变量两端点的函数值；若函数的对称轴不在自变量的取值范围内，可根据函数的增减性求解，再结合两端点的函数值对比，从而求解出最值．,中考重难点突破5\n 二次函数的实际应用【例1】(2022唐山中考模拟)如图所示，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2.(1)求S与x之间的函数关系式；(2)如果要围成面积为45m2的花圃，那么AB的长是多少？(3)能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．【解析】(1)先设AB的长为xm，再用含x的代数式表示花圃的长BC，从而建立面积S(m2)与AB的长xm之间的函数关系式．然后依据方程与二次函数的知识来求解；(2)将S＝45代入二次函数关系式得一元二次方程，再求得解；(3)将二次函数的一般式转化为顶点式，将x的最小值代入求面积的最大值，再求出此时围墙的长与宽．【答案】解：(1)设宽AB为xm，则BC为(24－3x)m.这时面积S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x；(2)由条件得，－3x2＋24x＝45.整理，得x2－8x＋15＝0.解得x1＝5，x2＝3.∵0＜24－3x≤10，∴≤x＜8.∴x＝3不合题意，舍去．故花圃的宽为5m；(3)能围成面积比45m2更大的花圃．S＝－3x2＋24x＝－3(x2－8x)＝－3(x－4)2＋48.∵≤x＜8，∴当x＝时，S最大＝48－3＝46(m2)．故能围成面积比45m2更大的花圃．围法：24－3×＝10(m)，花圃的长为10m，宽为4m，这时有最大面积46m2.1．某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用长为16m的旧墙，其余各面用木材围成栅栏，栅栏的总长为24m，设每间羊圈与墙垂直的一边长为x(m)，三间羊圈的总面积为S(m2)，则S与x的函数关系式为__S＝－4x2＋24x__，x的取值范围是__2≤x＜6__，当x＝__3__时，面积S最大，最大面积为__36__m2__．【例2】(2022鄂州中考)某商场经营某种品牌的玩具，购进单价是30元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件．(1)设该种品牌玩具的销售单价为x元(x＞40)，请你用含x的代数式分别来表示销售量y(件)和销售该品牌玩具获得利润W(元)，并把结果填写在下面的表格中：销售单价(元)x销售量y(件)________销售玩具获得利润W(元)________ (2)若商场要获得10000元的销售利润，该玩具的销售单价x应定为多少元？(3)若玩具厂规定该品牌玩具销售单位不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，则商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【解析】(1)由“销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具”得y＝600－(x－40)×10＝1000－10x，W＝(1000－10x)(x－30)＝－10x2＋1300x－30000；(2)令－10x2＋1300x－30000＝10000，求出x的值即可；(3)首先求出x的取值范围，然后把W＝－10x2＋1300x－30000转化成顶点式，结合x的取值范围求出最大利润．5\n【答案】解：(1)销售单价(元)x销售量y(件)1000－10x销售玩具获得利润W(元)－10x2＋1300x－30000 (2)由题意，得－10x2＋1300x－30000＝10000.解得x1＝50，x2＝80.答：该玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元的销售利润；(3)根据题意，得解得44≤x≤46.W＝－10x2＋1300x－30000＝－10(x－65)2＋12250，∵a＝－10＜0，∴w随x增大而增大，∴当x＝46时，w最大值＝8640(元)．2．(2022邢台中考模拟)某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高20元，则相应的减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是( C )A．140元B．150元C．160元D．180元【例3】(2022湖州中考)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的运动路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图所示．(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC＝3.4m，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4m，则这次表演是否成功？请说明理由．【解析】(1)将函数表达式配方成顶点式，即可求得演员弹跳地面的最大高度；(2)将点(4，3.4)代入函数表达式，验证该点是否在抛物线上．在，说明表演能够成功；不在，说明表演不能成功．【答案】解：(1)y＝－x2＋3x＋1＝－＋.∵a＝－＜0，∴函数有最大值，即演员弹跳离地面的最大高度是m；(2)由于OC＝4m，故将x＝4代入函数表达式，得y＝－×42＋3×4＋1＝3.4，因此点(4，3.4)在该抛物线上，说明这次表演能够成功．3．(仙桃中考)如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面下降1m时，水面的宽度为__2__m.5\n【例4】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2?(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm?(3)在问题(1)中，当运动时间为多少秒时，△PBQ的面积最大？【解析】(1)设运动时间为xs表示出PB和BQ，再用三角形面积计算公式即可；(2)依然是用含x的代数式先表示出PB和BQ，再用勾股定理立方程即可；(3)求最值，对代数式配方即可．【答案】解：(1)设xs后，△PBQ的面积等于4cm2，根据题意，得×2x(5－x)＝4，解得x1＝1，x2＝4，∵当x＝4时，2x＝8＞7，不合题意，舍去，∴x＝1；(2)设xs后，PQ的长度等于5cm，根据题意，得(5－x)2＋(2x)2＝25，解得x1＝0(舍去)，x2＝2，∴x＝2；(3)设xs后，△PBQ的面积等于ycm2，根据题意，得y＝x(5－x)＝－x2＋5x，∵a＝－1＜0，∴当x＝－＝时，y有最大值．4．(2022唐山中考模拟)如图，已知等腰Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝2cm，在三角形内作矩形CDEF，使D在AC上，E在AB上，F在BC上，则矩形CDEF的最大面积为__1__cm2__；此时矩形CDEF为__正方形__．5
