第二节 一元二次方程及应用1．(2022改编)下列方程中是一元二次方程的是( D )A．x2－2xy＋3y2＝0B．x2＋－3＝0C．(y－3)(x－2)＝x2D．x(x－2)＝12．(新疆中考)一元二次方程x2－6x－5＝0配方后可变形为( A )A．(x－3)2＝14B．(x－3)2＝4C．(x＋3)2＝14D．(x＋3)2＝43．(2022资阳中考)若关于x的方程x2＋2(k－1)x＋k2＝0有实数根，则k的取值范围是( B )A．k＜B．k≤C．k＞D．k≥4．(2022台州中考)下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( D )A．x2＋1＝0B．x2＋2x＋1＝0C．x2＋2x＋3＝0D．x2＋2x－3＝05．若关于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0有实数根，则k的取值范围是( D )A．k≥1B．k>1C．k<1D．k≤16．(雅安中考)已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一个实数根及m的值分别为( D )A．4，－2B．－4，－2C．4，2D．－4，27．关于x的方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，÷的值为( B )A．1B．－1C．2D．－28．(2022邢台中考模拟)某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( A )A．x(x－1)＝2070B．x(x＋1)＝2070C．2x(x＋1)＝2070D.＝20709．(衡阳中考)随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2022年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2022年底该市汽车拥有量为10万辆，设2022年底至2022年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得( A )4\nA．10(1＋x)2＝16.9B．10(1＋2x)＝16.9C．10(1－x)2＝16.9D．(1－2x)＝16.910．(台州中考)有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( A )A.x(x－1)＝45B.x(x＋1)＝45C．x(x－1)＝45D．x(x＋1)＝4511．(2022烟台中考)广州市政府决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿化面积增加44%，这两年平均每年绿化面积的增长率为__20%__.12．解方程：3x(x－2)＝2(2－x)．解：x1＝－，x2＝2.13．(2022河北中考说明)关于x的方程(a－1)x2＋x＋1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是( B )A．a≥－1B．a≥－1且a≠1C．a≥1D．a>114．(烟台中考)等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为( B )A．9B．10C．9或10D．8或1015．(聊城中考)如果关于x的一元二次方程kx2－3x－1＝0有两个不相等的实根，那么k的取值范围是__k>－且k≠0__．16．已知关于x的方程x2＋mx＋m－2＝0.(1)若此方程的一个根为1，求m的值；(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．解：(1)根据题意，将x＝1代入方程x2＋mx＋m－2＝0，得1＋m＋m－2＝0，解得m＝；(2)∵Δ＝m2－4×1×(m－2)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4>0，∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．4\n17．(2022孝感中考)某商店从厂家以21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖(350－10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价为多少元？解：由题意，得(a－21)(350－10a)＝400，解得a1＝25，a2＝31.∵31＞21×(1＋20%)，∴a＝31舍去，∴a＝25.∴400÷(25－21)＝100.因此需卖出100件商品，每件的售价为25元．18．(2022内江中考)某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道，当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2?解：设矩形温室长2xm，宽xm，则(x－2)(2x－4)＝288，x1＝14，x2＝－10(舍去)．答：矩形温室的长为28m，宽为14m.19．如图，要利用一面墙(墙长为25m)建羊圈，用100m的围栏围成总面积为400m2的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米．解：设AB的长度为xm，则BC的长度为(100－4x)m.根据题意得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5.则100－4x＝20或100－4x＝80.∵80>25，∴x2＝5舍去．即AB＝20m，BC＝20m.答：羊圈的边长AB，BC分别是20m，20m.20．(永州中考)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，4\n并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x%，依题意，得400×(1－x%)2＝324，解得x＝10或x＝190(舍去)．答：该种商品每次降价的百分率为10%；(2)设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品(100－m)件，第一次降价后的单件利润为：400×(1－10%)－300＝60(元/件)；第二次降价后的单件利润为：324－300＝24(元/件)．依题意得：60m＋24×(100－m)＝36m＋2400≥3210，解得m≥22.5.∴m≥23.答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件．4
