函数重点难点突破解题技巧传播八课前集训1若函数的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是_______【答案】0或1．【解析】试题分析：需要分类讨论：①若m=0，则函数为一次函数；②若m≠0，则函数为二次函数．由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，且m不为0，即可求出m的值．试题解析：①若m=0，则函数y=2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1，是二次函数．根据题意得：△=4-4m=0，解得：m=1．故答案为：0或1．考点:1.抛物线与x轴的交点；2.一次函数的性质．2如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论为．（注：只填写正确结论的序号）【答案】②④．【解析】试题分析：根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线对称轴为直线x=-=-1得到b=2a，则b＞0，根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，所以abc＜0；由x=，y=0，得到a+b+c=0，即a+2b+4c=0；由a=b，a+b+c＞0，得到b+2b+c＞0，即3b+2c＞0；由x=-1时，函数最大小，则a-b+c＜m2a-mb+c（m≠1），即a-b≤m（am-b）．试题解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x=-=-1，∴b=2a，则2a-b=0，所以③错误；∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，１２\n∴abc＜0，所以①错误；∵x=时，y=0，∴a+b+c=0，即a+2b+4c=0，所以②正确；∵a=b，a+b+c＞0，∴b+2b+c＞0，即3b+2c＞0，所以④正确；∵x=-1时，函数最大小，∴a-b+c＜m2a-mb+c（m≠1），∴a-b≤m（am-b），所以⑤错误．故答案为②④．考点:二次函数图象与系数的关系3已知，求的值.【答案】【解析】解：因为a-1+ab-22=0，所以a=1，ab=2，从而b=2.所以4当x= 时，的值为零．【答案】x=-1.【解析】试题分析：根据分式的值为零，分子等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．试题解析：根据题意得，|x|-1=0且x2+2x-3≠0，由|x|-1=0得：x=1或x=-1由x2+2x-3≠0知x≠-3或x≠1１２\n故x=-1.考点:分式的值为零的条件．5已知抛物线过两点(m，0)、(n，0)，且，抛物线于双曲线（x＞0）的交点为（1，d）．（1）求抛物线与双曲线的解析式；（2）已知点都在双曲线（x＞0）上，它们的横坐标分别为,O为坐标原点，记,点Q在双曲线（x＜0）上，过Q作QM⊥y轴于M，记。求的值．【答案】(1)抛物线为，曲线的解析式；（2）2025077.【解析】试题分析：（1）将（m,0）（n,0）代入抛物线，组成方程组求解即可.（2）由点都在双曲线上，可以总结出点的坐标，用a表示，得出规律，求三角形的面积，然后相加即可.试题解析：（1）解之得c=-2∴由（2）∵点都在双曲线（x＞0）上，它们的横坐标分别为,∴点的纵坐标为。如图，过、分别作x轴、y轴的平行线１２\n则=Q在双曲线上，易求=1.所以=（1+）+（2+）+…+（2022+=1+2+…+2022+1×2022=2025077.考点：一元二次函数与反比例函数综合运用.6若n＞0，关于x的方程x2﹣（m﹣2n）x+mn=0有两个相等的正实数根，求的值．【答案】4.【解析】试题分析：由方程有两相等的正实数根知△=0，列出关于m，n的方程，用求根公式将n代替m代入求出它的值．试题解析：根据题意知△=0，即（m-2n）2-mn=0，整理得m2-5mn+4n2=0，即（m-n）（m-4n）=0，解得m=n或m=4n，当m=n时，∵n＞0，根据根与系数的关系得：原方程的两个解x1+x2=m-2n=-n＜0，不合题意原方程两个相等的正实数根，故m=n舍去；当m=4n时，∵n＞0，根据根与系数的关系得：原方程的两个解x1+x2=m-2n=2n＞0，符合题意，∴=4．答：的值是4．考点:根的判别式.7如图，抛物线y=ax2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是2，则关于x的不等式+ax2+1<0的解集是．【答案】-2＜x＜0．【解析】试题分析：根据双曲线的对称性求出点A关于原点的对称点的横坐标，再写出双曲线在y=-ax2１２\n-1下方部分的x的取值范围即可．试题解析:如图，点A关于原点的对称点的横坐标为-2，所以，不等式+ax2+1＜0，即不等式＜-ax2-1的解集是-2＜x＜0．故答案为：-2＜x＜0．考点:二次函数与不等式（组）．8如图1，已知点D在A上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为BC的中点（1）求证：△BMD为等腰直角三角形．（2）将△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图2中的“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．（3）将△ADE绕点A任意旋转一定的角度，如图3中的“△BMD为等腰直角三角形”是否均成立？说明理由．【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得出∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°，推出BM=DM，BM=CM，DM=CM，推出∠BCM=∠MBC，∠ACM=∠MDC，求出∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=90°即可．（2）延长ED交AC于F，求出DM=FC，DM∥FC，∠DEM=NCM，根据ASA推出△EDM≌△CNM，推出DM=BM即可．（3）过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，推出△MDE≌△MFC，求出DM=FM，DE=FC，作AN⊥EC于点N，证△BCF≌△BAD，推出BF=BD，∠DBA=∠CBF，求出∠DBF=90°，即可得出答案．试题解析：（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°，∵点M为BC的中点，∴BM=EC，DM=EC，∴BM=DM，BM=CM，DM=CM，∴∠BCM=∠MBC，∠DCM=∠MDC，∴∠BME=∠BCM+∠MBC=2∠BCE，同理∠DME=2∠ACM，１２\n∴∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=2×45°=90°∴△BMD是等腰直角三角形．（2）如图2，△BDM是等腰直角三角形，理由是：延长ED交AC于F，∵△ADE和△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠EAD=45°，∵AD⊥ED，∴ED=DF，∵M为EC中点，∴EM=MC，∴DM=FC，DM∥FC，∴∠BDN=∠BND=∠BAC=45°，∵ED⊥AB，BC⊥AB，∴ED∥BC，∴∠DEM=NCM，在△EDM和△CNM中∴△EDM≌△CNM（ASA），∴DM=MN，∴BM⊥DN，∴△BMD是等腰直角三角形．（3）△BDM是等腰直角三角形，理由是：如图：过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，可证得△MDE≌△MFC，∴DM=FM，DE=FC，∴AD=ED=FC，作AN⊥EC于点N，由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，可证得∠DEN=∠DAN，∠NAB=∠BCM，∵CF∥ED，∴∠DEN=∠FCM，∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD，１２\n∴△BCF≌△BAD，∴BF=BD，∠DBA=∠CBF，∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，∴△DBF是等腰直角三角形，∵点M是DF的中点，则△BMD是等腰直角三角形，考点:1.全等三角形的判定与性质；2.直角三角形斜边上的中线；3.等腰直角三角形.9如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左则，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，―3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点。AByxOC⑴求这个二次函数的表达式；⑵连结PO、PC，在同一平面内把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；⑶当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【答案】(1);(2)(3)P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为.【解析】试题分析：（1）把B、C两点的坐标代入二次函数y=x2+bx+c即可求出bc的值，故可得出二次函数的解析式；（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，设P（x，x2-2x-3），易得，直线BC的解析式为y=x-3则Q点的坐标为（x，x-3），再根据S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出结论．试题解析：⑴将B、C两点坐标代入得解得：.所以二次函数的表示式为：⑵存在点P，使四边形POP′C为菱形，设P点坐标为，PP′交CO于E，若四边形POP′C是菱形，则有PC＝PO，连结PP′，则PE⊥OC于E，∴OE＝EC＝，∴１２\n∴，解得，（不合题意,舍去）∴P点的坐标为⑶过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P，易得，直线BC的解析式为,则Q点的坐标为FAByxOCPQ当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为.考点:二次函数综合题．10如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.１２\n小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，求证：四边形AEGF是正方形；(2)设AD=x，建立关于x的方程模型，求出x的值.【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】试题分析：（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根据对称的性质得到AE=AF，从而说明四边形AEGF是正方形；（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x-2）2+（x-3）2=52，求出AD=x=6．试题解析：（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，∴∠EAF=90°．又∵AD⊥BC∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．∴四边形AEGF是矩形，又∵AE=AD，AF=AD∴AE=AF．∴矩形AEGF是正方形．（2）解：设AD=x，则AE=EG=GF=x．∵BD=2，DC=3∴BE=2，CF=3∴BG=x-2，CG=x-3在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2，∴（x-2）2+（x-3）2=52．化简得，x2-5x-6=0解得x1=6，x2=-1（舍去）所以AD=x=6．考点:1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理；3.正方形的判定.11．已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=BC=2，AB=4．点M从A开始，以每秒1个单位的速度向点B运动；点N从点C出发，沿C→D→A方向，以每秒1个单位的速度向点A运动，若M、N同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也停止运动．运动时间为t秒，过点N作NQ⊥CD交AC于点Q．（1）设△AMQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．（2）在梯形ABCD的对称轴上是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，求点P到AB的距离；若不存在，说明理由．（3）在点M、N运动过程中，是否存在t值，使△AMQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．【答案】（1）（0＜t≤2），（2≤t＜4）；（2）；（3）t=，12-6１２\n，2.【解析】试题分析：（1）求出t的临界点t=2，分别求出当0＜t≤2时和2≤t＜4时，S与t的函数关系式即可，（2）作梯形对称轴交CD于K，交AB于L，分3种情况进行讨论，①取AD的中点G，②以D为直角顶点，③以A为直角顶点，（3）当0＜t≤2时，若△AMQ为等腰三角形，则MA=MQ或者AQ=AM，分别求出t的值，然后判断t是否符合题意．试题解析：（1）当0＜t≤2时，如图：过点Q作QF⊥AB于F，过点C作CE⊥AB于E，∵AB∥CD，∴QF⊥CD，∵NQ⊥CD，∴N，Q，F共线，∴△CQN∽△AFQ，∴，∵CN=t，AF=AE-CN=3-t，∵NF=，∴QF=，∴，∴，当2≤t＜4时，如图：△FQC∽△PQA，∵DN=t-2，∴FD=DN•cos∠FDN=DN•cos60°=（t-2），∴FC=CD+FD=2+（t-2）=，∴FQ=FC•tan∠FCQ=FC•tan30°=（）•=（t+2），１２\n∴PQ=PF-FQ=，∴；（2）作梯形对称轴交CD于K，交AB于L，情况一：取AD的中点G，GD=1，过G作GH⊥对称轴于H，GH=1.5，∵1.5＞1，∴以P为直角顶点的Rt△PAD不存在，情况二：以D为直角顶点：KP1=，∴P1L=，情况三：以A为直角顶点，LP2=，综上：P到AB的距离为时，△PAD为Rt△，（3）0＜t≤2时，若MA=MQ，则：=，∴t=，若AQ=AM，则t=，解得t=12-6，若QA=QM，则∠QMA=30°而0＜t≤2时，∠QMA＞90°，∴QA=QM不存在；2≤t＜4（图中）若QA=QM，AP：AD=：2，∴t=2，１２\n若AQ=AM，2-（t+2）=t，∴t=2-2，∵2-2＜2，∴此情况不存在若MA=MQ，则∠AQM=30°，而∠AQM＞60°不存在．综上：t=，12-6，2时，△AMQ是等腰三角形．考点:1.等腰梯形的性质；2.等腰三角形的判定；3.直角三角形的性质.１２
