江苏省南京市建邺区2022年中考数学一模试题一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列计算结果是负数的是（ ）A．3﹣2B．3×（﹣2）C．3﹣2D． 2．计算a3•（）2的结果是（ ）A．aB．a5C．a6D．a8 3．面积为10m2的正方形地毯，它的边长介于（ ）A．2m与3m之间B．3m与4m之间C．4m与5m之间D．5m与6m之间 4．如图是一几何体的三视图，这个几何体可能是（ ）A．四棱柱B．圆锥C．四棱锥D．圆柱 5．如图，将一张矩形纸片和一张直角三角形纸片叠放在一起，∠1+∠2的值是（ ）A．180°B．240°C．270°D．300° 6．“一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．﹣﹣苏科版《数学》九年级（下册）P21”参考上述教材中的话，判断方程x2﹣2x=﹣2实数根的情况是（ ）A．有三个实数根B．有两个实数根C．有一个实数根D．无实数根 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．在函数y=中，自变量x的取值范围是 ． 24\n8．若a﹣b=3，ab=2，则a2b﹣ab2= ． 9．若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2=0有一个根是1，则另一个根是 ． 10．由我国倡议筹建的亚洲基础设施投资银行（简称亚投行），法定资本100000000000美元．若1美元兑换6.254元人民币，则亚投行法定资本换算成人民币为 元人民币（用科学记数法表示）． 11．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y1=（k为常数，k≠0）的图象与正比例函数y2=ax（a为常数，a≠0）的图象相交于A、B两点．若点A的坐标为（2，3），则点B的坐标为 ． 12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O的半径为3cm，∠A=110°，则劣弧的长为 cm． 13．如图，正五边形FGHIJ的顶点在正五边形ABCDE的边上，若∠1=20°，则∠2= °． 14．一组数据4、5、6、7、8的方差为S12，另一组数据3、5、6、7、9的方差为S22，那么S12 S22（填“＞”、“=”或“＜”）． 15．如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，⊙O是△ABC的内切圆，同时也是△DEF的外接圆．若AB=1cm，则DE= cm．24\n 16．如图，在矩形ABCD中，AB=8．将矩形的一角折叠，使点B落在边AD上的B′点处，若AB′=4，则折痕EF的长度为 ． 三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：． 18．解不等式组． 19．已知：如图，在▱ABCD中，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，EF⊥AC，AO=CO．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）在本题的已知条件中，有一个条件如果去掉，并不影响（1）的证明，你认为这个多余的条件是 （直接写出这个条件）． 20．如图①，南京中山陵的台阶拾级而上被分成坡度不等的两部分．图②是台阶的侧面图，若斜坡BC长为120m，在C处看B处的仰角为25°；斜坡AB长70m，在A处看B处的俯角为50°，试求出陵墓的垂直高度AE的长．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）24\n 21．A、B、C三把外观一样的电子钥匙对应打开a、b、c三把电子锁．（1）任意取出一把钥匙，恰好可以打开a锁的概率是 ；（2）求随机取出A、B、C三把钥匙，一次性对应打开a、b、c三把电子锁的概率． 22．如图，是某卖场国产大米牌手机的宣传广告．（1）你认为大米手机5月份的销售量必定是三个品牌手机中最高的吗？通过计算说明你的理由．（2）若各品牌手机2022年4月的销售量如下：手机品牌芒果手机四星手机大米手机销售量（台）20080120求该卖场5月份三个品牌手机销售量的平均增长率． 23．某日，小敏、小君两人约好去奥体中心打球．小敏13：00从家出发，匀速骑自行车前往奥体中心，小君13：05从离奥体中心6000m的家中匀速骑自行车出发．已知小君骑车的速度是小敏骑车速度的1.5倍．设小敏出发xmin后，到达离奥体中心ym的地方，图中线段AB表示y与x之间的函数关系．（1）小敏家离奥体中心的距离为 m；她骑自行车的速度为 m/min；（2）求线段AB所在直线的函数表达式；（3）小敏与小君谁先到奥体中心，要等另一人多久？24\n 24．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件．当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？ 25．在正方形ABCD中，AD=2，l是过AD中点P的一条直线．O是l上一点，以O为圆心的圆经过点A、D，直线l与⊙O交于点E、F（E、F不与A、D重合，E在F的上面）．（1）如图，若点F在BC上，求证：BC与⊙O相切．并求出此时⊙O的半径．（2）若⊙O半径为，请直接写出∠AED的度数． 26．已知函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1．（1）m为何值时，y有最小值0；（2）求证：不论m取何值，函数图象的顶点都在同一直线上． 27．问题提出如图①，已知直线l与线段AB平行，试只用直尺作出AB的中点．初步探索如图②，在直线l的上方取一个点E，连接EA、EB，分别与l交于点M、N，连接MB、NA，交于点D，再连接ED并延长交AB于点C，则C就是线段AB的中点．推理验证利用图形相似的知识，我们可以推理验证AC=CB．（1）若线段a、b、c、d长度均不为0，则由下列比例式中，一定可以得出b=d的是 A．=B．=C．=D．=（2）由MN∥AB，可以推出△EFN∽△ECB，△EMN∽△EAB，△MND∽△BAD，24\n△FND∽△CAD．所以，有====，所以，AC=CB．拓展研究如图③，△ABC中，D是BC的中点，点P在AB上．（3）在图③中只用直尺作直线l∥BC．（4）求证：l∥BC． 24\n2022年江苏省南京市建邺区中考数学一模试卷参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列计算结果是负数的是（ ）A．3﹣2B．3×（﹣2）C．3﹣2D．考点：实数的运算．分析：A：3﹣2=1，计算结果是正数，据此判断即可．B：3×（﹣2）=﹣6，计算结果是负数，据此判断即可．C：，计算结果是正数，据此判断即可．D：是一个正数，据此判断即可．解答：解：∵3﹣2=1，计算结果是正数，∴选项A不正确；∵3×（﹣2）=﹣6，计算结果是负数，∴选项B正确；∵，计算结果是正数，∴选项C不正确；∵是一个正数，∴选项D不正确．故选：B．点评：（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p=（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． 2．计算a3•（）2的结果是（ ）A．aB．a5C．a6D．a8考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：原式先计算乘方运算，再计算乘法运算即可得到结果．解答：解：原式=a3•=a，故选A点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24\n3．面积为10m2的正方形地毯，它的边长介于（ ）A．2m与3m之间B．3m与4m之间C．4m与5m之间D．5m与6m之间考点：估算无理数的大小．分析：易得正方形的边长，看在哪两个正整数之间即可．解答：解：正方形的边长为，∵＜＜，∴3＜4，∴其边长在3m与4m之间．故选：B．点评：考查估算无理数的大小；常用夹逼法求得无理数的范围． 4．如图是一几何体的三视图，这个几何体可能是（ ）A．四棱柱B．圆锥C．四棱锥D．圆柱考点：由三视图判断几何体．分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解答：解：根据主视图和左视图为矩形可得这个几何体是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．故选D．点评：此题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 5．如图，将一张矩形纸片和一张直角三角形纸片叠放在一起，∠1+∠2的值是（ ）A．180°B．240°C．270°D．300°考点：平行线的性质．分析：过B点作BE∥AF，进而可得：AF∥BE∥CD，然后利用平行线的性质即可求出∠1+∠2的值．解答：解：过B点作BE∥AF，24\n∵AF∥CD，∴AF∥BE∥CD，∴∠1+∠ABE=180°，∠2+∠CBE=180°，∴∠1+∠ABE+∠CBE+∠2=360°，∵∠ABE+∠CBE=90°，∴∠1+∠2=270°．故选C．点评：此题考查了平行线的性质，解题的关键是：过B点作BE∥AF，然后利用平行线的性质：两直线平行同旁内角互补解决问题． 6．“一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．﹣﹣苏科版《数学》九年级（下册）P21”参考上述教材中的话，判断方程x2﹣2x=﹣2实数根的情况是（ ）A．有三个实数根B．有两个实数根C．有一个实数根D．无实数根考点：抛物线与x轴的交点．分析：将方程变形为：（x﹣1）2=﹣1，设y1=﹣1，y2=（x﹣1）2，在坐标系中画出两个函数的图象，看其交点个数即可．解答：解：将方程变形﹣1=（x﹣1）2，设y1=﹣1，y2=（x﹣1）2，在坐标系中画出两个函数的图象如图所示：可看出两个函数有一个交点（1，0）．故方程x2﹣2x=﹣2有一个实数根．故选C．24\n点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时采用了“数形结合”的数学思想，减少了解题过程中的繁琐的计算． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．在函数y=中，自变量x的取值范围是 x≠1 ．考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．专题：计算题．分析：根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式1﹣x≠0，解得答案．解答：解：根据题意得1﹣x≠0，解得x≠1．故答案为x≠1．点评：本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0． 8．若a﹣b=3，ab=2，则a2b﹣ab2= 6 ．考点：因式分解-提公因式法．分析：直接将原式提取公因式分解因式，进而代入求出即可．解答：解：∵a﹣b=3，ab=2，∴a2b﹣ab2=ab（a﹣b）=2×3=6．故答案为：6．点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 9．若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2=0有一个根是1，则另一个根是 ﹣2 ．考点：根与系数的关系．分析：由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算．解答：解：设方程的另一根为x1，由根据根与系数的关系可得：x1•1=﹣2，∴x1=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=． 10．由我国倡议筹建的亚洲基础设施投资银行（简称亚投行），法定资本100000000000美元．若1美元兑换6.254元人民币，则亚投行法定资本换算成人民币为 6.254×1011 元人民币（用科学记数法表示）．24\n考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：100000000000美元=6.254×100000000000元人民币，将6.254×100000000000用科学记数法表示为6.254×1011．故答案为：6.254×1011．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 11．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y1=（k为常数，k≠0）的图象与正比例函数y2=ax（a为常数，a≠0）的图象相交于A、B两点．若点A的坐标为（2，3），则点B的坐标为 （﹣2，﹣3） ．考点：反比例函数图象的对称性．分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．解答：解：根据题意，知点A与B关于原点对称，∵点A的坐标是（2，3），∴B点的坐标为（﹣2，﹣3）．故答案是：（﹣2，﹣3）．点评：本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．关于原点对称的两点的横、纵坐标分别互为相反数． 12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O的半径为3cm，∠A=110°，则劣弧的长为 cm．考点：弧长的计算；圆周角定理；圆内接四边形的性质．分析：连接OB、OD，首先根据圆周角定理求出∠BOD的度数，然后根据弧长公式求解．解答：解：连接OB、OD，∵∠A=110°，∴∠C=70°，∴∠BOD=140°，24\n则劣弧==．故答案为：．点评：本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是根据圆周角定理求出∠BOD的度数，注意掌握弧长公式． 13．如图，正五边形FGHIJ的顶点在正五边形ABCDE的边上，若∠1=20°，则∠2= 52 °．考点：多边形内角与外角．分析：先计算出正五边形的内角为：540°÷5=108°，再利用平角为180°，三角形的内角和，即可解答．解答：解：正五边形的内角为：540°÷5=108°，∴∠AFG=180°﹣∠1﹣∠GFJ=180°﹣20°﹣108°=52°，∴∠AGF=180°﹣∠A﹣∠AFG=180°﹣108°﹣52°=20°，∴∠2=180°﹣∠AGF﹣∠FGH=180°﹣20°﹣108°=52°，故答案为：52．点评：本题考查多边形的内角与外角，解决本题的关键是计算出正五边形的内角的度数． 14．一组数据4、5、6、7、8的方差为S12，另一组数据3、5、6、7、9的方差为S22，那么S12 ＜ S22（填“＞”、“=”或“＜”）．考点：方差．分析：观察两组数据，哪一组数据的波动小，哪一组数据的方差就小，据此求解．解答：解：观察两组数据发现，第一组数据相对第二组数据更加稳定，所以第二组数据的方差就大．故答案为：＜．点评：本题考查了方差的意义，解题的关键是观察数据，找到波动较小的就方差小，也可以分别求得方差后再比较，难度不大． 15．如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，⊙O是△ABC的内切圆，同时也是△DEF的外接圆．若AB=1cm，则DE= cm．24\n考点：三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心．分析：设AB与⊙O相切于M，连接OB，OM，得到OM⊥AB，由⊙O是等边△ABC的内切圆和等边三角形的性质，求出圆的半径，连接OD，过O作ON⊥OE于N，由⊙O是等边△DEF的外接圆．解直角三角形即可得到结论．解答：解：设AB与⊙O相切于M，连接OB，OM，∴OM⊥AB，∵⊙O是等边△ABC的内切圆∴∠ABO=30°，OA=OB，∴BM=AB=，∴OM=，连接OD，过O作ON⊥OE于N，∵⊙O是等边△DEF的外接圆．∴OD=OM=，∠ODN=30°，∴DN=，∴DE=2DN=．故答案为：．点评：本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，等边三角形的性质，熟练掌握三角形的内切圆和外接圆的性质是解题的关键． 16．如图，在矩形ABCD中，AB=8．将矩形的一角折叠，使点B落在边AD上的B′点处，若AB′=4，则折痕EF的长度为 5 ．24\n考点：翻折变换（折叠问题）．分析：作B′M⊥BC，首先在△AEB′中，设BE=x，运用勾股定理解方程求出BE，然后在△B′MF中，运用勾股定理求出B′F，再在△BEF中运用勾股定理求出EF．解答：解：如图，作B′M⊥BC，根据折叠的性质，BE=B′E，BF=B′F，在Rt△AEB′中，设BE=x，则x2=（8﹣x）2+42解得：x=5，∵四边形ABMB′是矩形，∴BM=AB′=4，B′M=AB=8，设BF=y，则82+（y﹣4）2=y2，解得：y=10，∵BE=5，BF=10，∴EF=5．点评：本题主要考查了折叠的性质和勾股定理的综合运用，作B′M⊥BC，构造直角三角形求出BF是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：原式利用乘法分配律计算即可得到结果．解答：解：原式=2﹣=12﹣=11．点评：此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．解不等式组．24\n考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：根据不等式组分别求出x的取值，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交点，则不等式无解．解答：解：不等式组可化为：，整理得，，即不等式组的解集为：﹣≤x＜2．故答案为：﹣≤x＜2．点评：本题考查了解一元一次不等式组，取值要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 19．已知：如图，在▱ABCD中，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，EF⊥AC，AO=CO．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）在本题的已知条件中，有一个条件如果去掉，并不影响（1）的证明，你认为这个多余的条件是 EF⊥AC （直接写出这个条件）．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）首先根据平行四边形的性质可得AB=CD，∠B=∠D，AD=BC，AD∥BC，然后证明△AOE≌△COF，可得CF=AE，再证明DE=BF，进而可证明△ABF≌△CDE；（2）在证明△AOE≌△COF的过程中，只需要∠AOE=∠FOC，对顶角相等即可，无需垂直，因此EF⊥AC是多余条件．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，AD=BC，AD∥BC．∵AD∥BC．∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）．∴CF=AE，∴AD﹣AE=BC﹣CF，24\n即DE=BF．在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS）．（2）解：EF⊥AC．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等． 20．如图①，南京中山陵的台阶拾级而上被分成坡度不等的两部分．图②是台阶的侧面图，若斜坡BC长为120m，在C处看B处的仰角为25°；斜坡AB长70m，在A处看B处的俯角为50°，试求出陵墓的垂直高度AE的长．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：在Rt△BDC中，根据sinC=，求出BD的长，然后在Rt△AFB中，根据sin∠ABF=，求出AF的长，进而求出AE的长．解答：解：在Rt△BDC中，sinC=，∴BD=BC•sinC=BC•sin25°=120×0.42=50.4m．在Rt△AFB中，sin∠ABF=，∴AF=AB•sin∠ABF=AB•sin50°=70×0.77=53.9m．∴AE=AF+FE=AF+BD=50.4+53.9=104.3m．答：陵墓的垂直高度AE的长为104.3m．24\n点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 21．A、B、C三把外观一样的电子钥匙对应打开a、b、c三把电子锁．（1）任意取出一把钥匙，恰好可以打开a锁的概率是 ；（2）求随机取出A、B、C三把钥匙，一次性对应打开a、b、c三把电子锁的概率．考点：列表法与树状图法．分析：（1）直接利用概率公式求解即可；（2）根据题意列表后利用概率公式求概率即可．解答：解：（1）∵3把钥匙中有1把打开a锁，∴任意取出一把钥匙，恰好可以打开a锁的概率是，故答案为：；（2）由题意可列表如下：aAbBcCaAbCcBbAaBcCbAaCcBcAaBbCcAaCbB由上表可知共有六种方法，故刚好A能开a锁，B能开b锁，C能开c锁的概率为：．点评：本题考查了用列表法与树状图法求概率的方法：先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果n，然后找出某事件出现的结果数m，最后计算P=． 22．如图，是某卖场国产大米牌手机的宣传广告．24\n（1）你认为大米手机5月份的销售量必定是三个品牌手机中最高的吗？通过计算说明你的理由．（2）若各品牌手机2022年4月的销售量如下：手机品牌芒果手机四星手机大米手机销售量（台）20080120求该卖场5月份三个品牌手机销售量的平均增长率．考点：条形统计图．分析：（1）大米手机5月份的销售量不一定是三个品牌手机中最高的，举例即可；（2）根据条形图获得各个品牌手机销售量的增长率，再计算卖场5月份三个品牌手机销售量的平均增长率．解答：解：（1）不一定．例如：芒果手机4月份销售200台，则5月份销售量为240台；四星手机4月份销售200台，则5月份销售量为100台；大米手机4月份销售50台，则5月份销售量为100台，从而可知大米手机5月份的销售量不是三个品牌手机中最高的．（2）=30%．答：该卖场5月份三个品牌手机销售量的平均增长率是30%．点评：此题主要考查了条形图的综合应用，利用图形得出正确信息是解题关键． 23．某日，小敏、小君两人约好去奥体中心打球．小敏13：00从家出发，匀速骑自行车前往奥体中心，小君13：05从离奥体中心6000m的家中匀速骑自行车出发．已知小君骑车的速度是小敏骑车速度的1.5倍．设小敏出发xmin后，到达离奥体中心ym的地方，图中线段AB表示y与x之间的函数关系．（1）小敏家离奥体中心的距离为 6000 m；她骑自行车的速度为 200 m/min；（2）求线段AB所在直线的函数表达式；（3）小敏与小君谁先到奥体中心，要等另一人多久？24\n考点：一次函数的应用．分析：（1）根据函数图象可得，小敏家离奥体中心的距离为6000米，她所用时间为30分钟，根据速度=路程÷时间，即可解答；（2）利用待定系数法，即可求函数解析式；（3）小君骑车的速度是200×1.5=300（米/分钟），设小君骑自行车时与奥体中心的距离为y1m，则y1=﹣300（x﹣5）+6000，当y1=0时，x=25.30﹣25=5．即小君先到达奥体中心，小君要等小敏5分钟．解答：解：（1）小敏家离奥体中心的距离为6000米，她骑自行车的速度为：6000÷30=200（米/分钟）．故答案为：6000，200；（2）设AB所在直线的函数表达式为y=kx+b，将点A（0，6000），B（30，0）代入y=kx+b得：，解得．∴AB所在直线的函数表达式为y=﹣200x+6000．（3）∵小君骑车的速度是小敏骑车速度的1.5倍．∴小君骑车的速度是200×1.5=300（米/分钟），设小君骑自行车时与奥体中心的距离为y1m，则y1=﹣300（x﹣5）+6000，当y1=0时，x=25．30﹣25=5．∴小君先到达奥体中心，小君要等小敏5分钟．点评：本题考查了一次函数的应用，利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 24．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件．当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？考点：一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：根据每天的利润=一件的利润×销售量，由此设出未知数，建立方程解决问题．24\n解答：解：解法一：设每件商品的售价上涨x元，（210﹣10x）（50+x﹣40）=2200，解得x1=1，x2=10，当x=1时，50+x=51，当x=10时，50+x=60；解法二：设每件商品的售价为x元，[210﹣10（x﹣50）]（x﹣40）=2200，解得x1=51，x2=60，答：当每件商品的售价定为51或60元时，每个月的利润恰为2200元．点评：此题考查一元二次方程的实际运用，找出销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键． 25．在正方形ABCD中，AD=2，l是过AD中点P的一条直线．O是l上一点，以O为圆心的圆经过点A、D，直线l与⊙O交于点E、F（E、F不与A、D重合，E在F的上面）．（1）如图，若点F在BC上，求证：BC与⊙O相切．并求出此时⊙O的半径．（2）若⊙O半径为，请直接写出∠AED的度数．考点：切线的判定；勾股定理；正方形的性质．专题：证明题．分析：（1）连接OA、OD，如图，由点P是AD的中点，根据垂径定理的推理得OP⊥AD，再利用正方形的性质得AD∥BC，所以OP⊥BC，于是可根据切线的判定定理判断BC与⊙O相切；设⊙O的半径为r，则OF=r，PF=AB=AD=2，OP=2﹣r，AP=AD=1，在Rt△AOP中利用勾股定理得到12+（2﹣r）2=r2，解得r=；（2）如图，在Rt△OAP中，利用正弦定义可求出∠AOP=60°，则∠AOD=120°，根据圆周角定理得∠AFD=∠AOD=60°，再根据圆内接四边形的性质得∠AED=180°﹣∠AFD=120°，若当交换点E和F的位置时，∠AED=60°，于是得到∠AED的度数为120°或60°．解答：（1）证明：连接OA、OD，如图，∵点P是AD的中点，∴OP⊥AD，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，24\n∴OP⊥BC，且OF是⊙O半径，∴BC与⊙O相切；设⊙O的半径为r，则OF=r，∵PF=AB=AD=2，∴OP=2﹣r，AP=AD=1，在Rt△AOP中，∵AP2+OP2=AO2，∴12+（2﹣r）2=r2，解得r=，即设⊙O的半径为；（2）解：如图，在Rt△OAP中，∵sin∠AOP===，∴∠AOP=60°，∴∠AOD=120°，∴∠AFD=∠AOD=60°，∴∠AED=180°﹣∠AFD=120°，当交换点E和F的位置时，∠AED=60°，∴∠AED的度数为120°或60°．点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理和正方形的性质． 26．已知函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1．（1）m为何值时，y有最小值0；（2）求证：不论m取何值，函数图象的顶点都在同一直线上．考点：二次函数的最值；二次函数的性质．分析：（1）直接将y=0代入=0求出即可；（2）首先求出函数顶点坐标，设顶点在直线y124\n=kx+b上，代入函数解析式求出k，b的值即可．解答：（1）解：当y=0时，===0，解得：m=﹣；（2）证明：函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1的顶点坐标为：（﹣，）设顶点在直线y1=kx+b上，则﹣k+b=，故﹣mk=﹣m，解得：k=1，b=，不论m取何值，该函数图象的顶点都在直线y1=x﹣上．点评：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值求法，得出k的值是解题关键． 27．问题提出如图①，已知直线l与线段AB平行，试只用直尺作出AB的中点．初步探索如图②，在直线l的上方取一个点E，连接EA、EB，分别与l交于点M、N，连接MB、NA，交于点D，再连接ED并延长交AB于点C，则C就是线段AB的中点．推理验证利用图形相似的知识，我们可以推理验证AC=CB．（1）若线段a、b、c、d长度均不为0，则由下列比例式中，一定可以得出b=d的是 B A．=B．=C．=D．=（2）由MN∥AB，可以推出△EFN∽△ECB，△EMN∽△EAB，△MND∽△BAD，△FND∽△CAD．所以，有====，所以，AC=CB．拓展研究如图③，△ABC中，D是BC的中点，点P在AB上．（3）在图③中只用直尺作直线l∥BC．（4）求证：l∥BC．24\n考点：相似形综合题．分析：（1）根据比例的性质，两內项之积等于两外项之积得出ad=ab，进而得出d=b；（2）根据相似三角形的性质得出对应边成比例，进而解答即可；（3）连接AD和PC，相交一点，然后连接此点和B点，交AC于一点，连接两点即可得出所求直线；（4）过点Q作MN∥BC，交AB、AC分别于点M、N，根据相似三角形的性质进行证明即可．解答：解：（1）根据比例的性质得出：A、ad=cb，错误；B、ad=ab，得出d=b，正确；C、aa=db，错误；D、ab=cd，错误；故选B；（2）∵△EFN∽△ECB，△EMN∽△EAB，△MND∽△BAD，△FND∽△CAD，∴====；（3）如图①，；（4）如图②，过点Q作MN∥BC，交AB、AC分别于点M、N，24\n∵MN∥BC，∴△AMQ∽△ABD，△AQN∽△ADC，∴=，=，∴=，∵点D是BC的中点，∴BD=CD，∴MQ=NQ，∵MN∥BC，∴△PMQ∽△PBC，△EQN∽△EBC，∴=，=，∴=，∴=，又∵∠PQE=∠CQB，∴△PQE∽△CQB，∴∠EPQ=∠BCQ，∴PE∥BC，即l∥BC．点评：此题考查相似综合问题，关键是利用了两內项之积等于两外项之积的性质和相似三角形的性质进行分析解答．24
