广西贵港市2022年中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为（A）、（B）、（C）、（D）的四个选项，其中只有一个是正确的。请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑。1．（3分）﹣3的绝对值是（ ） A．﹣B．C．﹣3D．3 2．（3分）纳米是非常小的长度单位，1纳米=10﹣9米．某种病菌的长度约为50纳米，用科学记数法表示该病菌的长度，结果正确的是（ ） A．5×10﹣10米B．5×10﹣9米C．5×10﹣8米D．5×10﹣7米 3．（3分）下列四种调查：①调查某班学生的身高情况；②调查某城市的空气质量；③调查某风景区全年的游客流量；④调查某批汽车的抗撞击能力．其中适合用全面调查方式的是（ ） A．①B．②C．③D．④ 4．（3分）下列四个式子中，x的取值范围为x≥2的是（ ） A．B．C．D． 5．（3分）下列计算结果正确的是（ ） A．3a﹣（﹣a）=2aB．a3×（﹣a）2=a5C．a5÷a=a5D．（﹣a2）3=a6 6．（3分）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“共”字一面的相对面上的字是（ ） A．美B．丽C．家D．园 7．（3分）下列四个命题中，属于真命题的是（ ） A．若，则a=mB．若a＞b，则am＞bm13\n C．两个等腰三角形必定相似D．位似图形一定是相似图形 8．（3分）关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（ ） A．m＞﹣1B．m＞﹣1且m≠0C．m≥﹣1D．m≥﹣1且m≠0 9．（3分）如图，直线a∥b，直线c与a、b都相交，从所标识的∠1、∠2、∠3、∠4、∠5这五个角中任意选取两个角，则所选取的两个角互为补角的概率是（ ） A．B．C．D． 10．（3分）如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的高与母线所夹的角为θ，且sinθ=，则该圆锥的侧面积是（ ） A．24B．24πC．16πD．12π 11．（3分）如图，点A（a，1）、B（﹣1，b）都在双曲线y=﹣上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是（ ） A．y=xB．y=x+1C．y=x+2D．y=x+3 13\n12．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ） A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）若超出标准质量0.05克记作+0.05克，则低于标准质量0.03克记作 ﹣0.03 克． 14．（3分）分解因式：3x2﹣18x+27= 3（x﹣3）2 ． 15．（3分）若一组数据1，7，8，a，4的平均数是5、中位数是m、极差是n，则m+n= 12 ． 16．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB=2，OH=1，则∠APB的度数是 60° ． 17．（3分）如图，△ABC和△FPQ均是等边三角形，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，点P在AB边上，连接EF、QE．若AB=6，PB=1，则QE= 2 ． 18．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax2上，⊙P恒过点F（0，n），且与直线y=﹣n始终保持相切，则n= （用含a的代数式表示）．13\n 三、解答题（本大题共8小题，满分66分。解答应写出额文字说明、证明过程或演算步骤。）19．（10分）（1）计算：﹣2cos60°；（2）先化简：（），再选择一个恰当的x值代入求值． 20．（5分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，3）．（1）请按下列要求画图：①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标． 21．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的边AC在x轴上，边BC⊥x轴，双曲线y=与边BC交于点D（4，m），与边AB交于点E（2，n）．（1）求n关于m的函数关系式；（2）若BD=2，tan∠BAC=，求k的值和点B的坐标．13\n 22．（8分）在以“关爱学生、安全第一”为主题的安全教育宣传月活动中，某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A﹣结伴步行、B﹣自行乘车、C﹣家人接送、D﹣其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次抽查的学生人数是多少人？（2）请补全条形统计图；（3）请补全扇形统计图，并在图中标出“自行乘车”对应扇形的圆心角的度数；（4）如果该校学生有2080人，请你估计该校“家人接送”上学的学生约有多少人？ 23．（7分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形． 24．（8分）在校园文化建设中，某学校原计划按每班5幅订购了“名人字画”共90幅．由于新学期班数增加，决定从阅览室中取若干幅“名人字画”一起分发，如果每班分4幅，则剩下17幅；如果每班分5幅，则最后一班不足3幅，但不少于1幅．（1）该校原有的班数是多少个？（2）新学期所增加的班数是多少个？13\n 25．（10分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心、DC为半径作，点E在AB上，且与A、B两点均不重合，点M在AD上，且ME=MD，过点E作EF⊥ME，交BC于点F，连接DE、MF．（1）求证：EF是所在⊙D的切线；（2）当MA=时，求MF的长；（3）试探究：△MFE能否是等腰直角三角形？若是，请直接写出MF的长度；若不是，请说明理由． 26．（11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由．13\n一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为（A）、（B）、（C）、（D）的四个选项，其中只有一个是正确的。请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑。1．D2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．B 9．A 10．D 11．C 12．B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13． ﹣0.03 ． 14． 3（x﹣3）2 ． 15． 12 ． 16． 60° ． 17． 2 ． 18． ． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分。解答应写出额文字说明、证明过程或演算步骤。）19．解：（1）﹣（）﹣1+（2﹣）0﹣2cos60°=3﹣2+1﹣2×=3﹣2+1﹣1=1；（2）（﹣1）÷=÷=•=1﹣x，要使分式有意义，则（x+1）（x﹣1）≠0，x≠0，解得x≠±1，x≠0，所以，x=2时，原式=1﹣2=﹣1．13\n 20．解：（1）①△A1B1C1如图所示；②△A2B2C2如图所示；（2）连接B1B2，C1C2，得到对称中心M的坐标为（2，1）． 21．解：（1）∵点D（4，m），点E（2，n）在双曲线y=，∴4m=2n，解得n=2m；（2）过点E作EF⊥BC于点F，∵由（1）可知n=2m，∴DF=m，∵BD=2，∴BF=2﹣m，∵点D（4，m），点E（2，n），∴EF=4﹣2=2，∵EF∥x轴，∴tan∠BAC=tan∠BEF===，解得m=1，∴D（4，1），∴k=4×1=4，B（4，3）． 22．解：（1）根据题意得：30÷25%=120（人），则本次抽查的学生人数是120人；（2）“结伴步行”的人数为120﹣（42+30+18）=30（人），13\n补全统计图，如图所示：（3）“结伴步行”所占的百分比为×100%=25%；“自行乘车”所占的百分比为×100%=35%，“自行乘车”在扇形统计图中占的度数为360°×35%=126°，补全扇形统计图，如图所示；（4）估计该校“家人接送”上学的学生约有2080×25%=520（人）． 23．证明：（1）∵AG∥DC，AD∥BC，∴四边形AGCD是平行四边形，∴AG=DC，∵E、F分别为AG、DC的中点，∴GE=AG，DF=DC，即GE=DF，GE∥DF，∴四边形DEGF是平行四边形；（2）连接DG，∵四边形AGCD是平行四边形，∴AD=CG，∵G为BC中点，∴BG=CG=AD，∵AD∥BG，∴四边形ABGD是平行四边形，∴AB∥DG，∵∠B=90°，∴∠DGC=∠B=90°，∵F为CD中点，∴GF=DF=CF，即GF=DF，∵四边形DEGF是平行四边形，∴四边形DEGF是菱形．13\n 24．解：（1）原有的班数为：=18个；（2）设增加后的班数为x，则“名人字画”有4x+17，由题意得，，解得：19＜x≤21，∵x为正整数，∴x可取20，21，故新学期所增加的班数为2个或3个． 25．（1）证明：过点D作DG⊥EF于G，∵ME=MD，∴∠MDE=∠MED，∵EF⊥ME，∴∠DME+∠GED=90°，∵∠DAB=90°，∴∠MDE+∠AED=90°，∴∠AED=∠GED，∵在△ADE和△GDE中，，∴△ADE≌△GDE（AAS），∴AD=GD，∵的半径为DC，即AD的长度，∴EF是所在⊙D的切线；（2）MA=时，ME=MD=2﹣=，在Rt△AME中，AE===1，13\n∴BE=AB﹣AE=2﹣1=1，∵EF⊥ME，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，∵∠B=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，又∵∠DAB=∠B=90°，∴△AME∽△BEF，∴=，即=，解得EF=，在Rt△MEF中，MF===；（3）假设△MFE能是等腰直角三角形，则ME=EF，∵在△AME和△BEF中，，∴△AME≌△BEF（AAS），∴MA=BE，设AM=BE=x，则MD=AD﹣MA=2﹣x，AE=AB﹣BE=2﹣x，∵ME=MD，∴ME=2﹣x，∴ME=AE，∵ME、AE分别是Rt△AME的斜边与直角边，∴ME≠AE，∴假设不成立，故△MFE不能是等腰直角三角形．13\n 26．解：（1）由题意得：OC=4，OD=2，∴DM=OC+OD=6，∴顶点M坐标为（2，6）．设抛物线解析式为：y=a（x﹣2）2+6，∵点C（0，4）在抛物线上，∴4=4a+6，解得a=．∴抛物线的解析式为：y=（x﹣2）2+6=x2+2x+4．（2）如答图1，过点P作PE⊥x轴于点E．∵P（x，y），且点P在第一象限，∴PE=y，OE=x，∴DE=OE﹣OD=x﹣2．S=S梯形PEOC﹣S△COD﹣S△PDE=（4+y）•x﹣×2×4﹣（x﹣2）•y=y+2x﹣4．将y=x2+2x+4代入上式得：S=x2+2x+4+2x﹣4=x2+4x．在抛物线解析式y=x2+2x+4中，令y=0，即x2+2x+4=0，解得x=2±．设抛物线与x轴交于点A、B，则B（2+，0），∴0＜x＜2+．∴S关于x的函数关系式为：S=x2+4x（0＜x＜2+）．（3）存在．若以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等，可能有以下情形：（I）OD=OP．由图象可知，OP最小值为4，即OP≠OD，故此种情形不存在．（II）OD=OE．若点E在y轴正半轴上，如答图2所示：13\n此时△OPD≌△OPE，∴∠OPD=∠OPE，即点P在第一象限的角平分线上，∴直线PE的解析式为：y=x；若点E在y轴负半轴上，易知此种情形下，两个三角形不可能全等，故不存在．（III）OD=PE．∵OD=2，∴第一象限内对称轴右侧的点到y轴的距离均大于2，则点P只能位于对称轴左侧或与顶点M重合．若点P位于第一象限内抛物线对称轴的左侧，易知△OPE为钝角三角形，而△OPD为锐角三角形，则不可能全等；若点P与点M重合，如答图3所示，此时△OPD≌OPE，四边形PDOE为矩形，∴直线PE的解析式为：y=6．综上所述，存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等，直线PE的解析式为y=x或y=6．13
