2022年山东省烟台市中考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，满分48分．每小题都给出标号为ABCD四个备选答案，其中有且只有一个是正确的）1．（4分）（2022•烟台模拟）的平方根是（ ） A．2B．±2C．8D．±8考点：立方根；平方根．专题：计算题．分析：先利用立方根的定义求出的值，再利用平方根的定义计算即可得到结果．解答：解：∵=4，4的平方根为±2，∴的平方根为±2．故选B．点评：此题考查了立方根，平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 2．（4分）（2022•烟台模拟）代数式与x﹣2的差是负数，那么x的取值范围是（ ） A．x＞1B．x＞﹣C．x＞﹣D．x＜1考点：代数式求值．分析：对题意进行分析，可将其转换为﹣（x﹣2）＜0，求x的取值范围，对不等式进行求解即可．解答：解：由题意可知，x取值范围满足﹣（x﹣2）＜0，对不等式求解，可得x＞1．故选：A．点评：本题考查代数式求值与解不等式的综合运用，看清题意，计算时注意正负号． 3．（4分）（2022•邵阳）下列图形不是轴对称图形的是（ ） A．B．C．D．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念，把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形．解答：解：根据轴对称的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形．A．是轴对称图形；故此选项正确；B．是轴对称图形；故此选项正确；C．是中心对称图形；故此选项错误；21\nD．是轴对称图形；故此选项正确；故选：C．点评：此题主要考查了轴对称图形的定义，注意轴对称和轴对称图形的区别：轴对称指的是两个图形；轴对称图形指的是一个图形． 4．（4分）（2022•咸宁）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为（ ） A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图．专题：压轴题．分析：看哪个几何体的三视图中有长方形，圆，及三角形即可．解答：解：A、三视图分别为长方形，三角形，圆，符合题意；B、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，不符合题意；C、三视图分别为正方形，正方形，正方形，不符合题意；D、三视图分别为三角形，三角形，矩形及对角线，不符合题意；故选A．点评：考查三视图的相关知识；判断出所给几何体的三视图是解决本题的关键． 5．（4分）（2022•广安）下列说法正确的是（ ） A．商家卖鞋，最关心的是鞋码的中位数 B．365人中必有两人阳历生日相同 C．要了解全市人民的低碳生活状况，适宜采用抽样调查的方法 D．随机抽取甲、乙两名同学的5次数学成绩，计算得平均分都是90分，方差分别是=5，=12，说明乙的成绩较为稳定考点：方差；全面调查与抽样调查；统计量的选择；可能性的大小．分析：分别利用方差、全面调查与抽样调查、统计量的选择及可能性的大小的知识进行逐项判断即可．解答：解：A、商家卖鞋，最关心的鞋码是众数，故本选项错误；B、365人中可能人人的生日不同，故本选项错误；C、要了解全市人民的低碳生活状况，适宜采用抽样调查的方法，故本选项正确；D、方差越大，越不稳定，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了方差、全面调查与抽样调查、统计量的选择及可能性的大小的知识，考查的知识点比较多，但比较简单． 21\n7．（4分）（2022•烟台模拟）在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且，则△ABC是（ ） A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．分析：先根据非负数的性质求出tanB与sinA的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的值即可．解答：解：∵，∴，，∴tanB=，∠B=60°，2sinA﹣=0，sinA=，∠A=60°．在△ABC中，∠C=180°﹣60°﹣60°=60°，∴△ABC是等边三角形．故选B．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，并充分利用非负数的性质． 8．（4分）（2022•泰安）二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（ ） A．﹣3B．3C．﹣6D．9考点：抛物线与x轴的交点．专题：探究型．分析：先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．解答：解：（法1）∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，∴a＞0.=﹣3，即b2=12a，∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，∴m的最大值为3．（法2）一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，可以理解为y=ax2+bx和y=﹣m有交点，可见，﹣m≥﹣3，21\n∴m≤3，∴m的最大值为3．故选B．点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键． 9．（4分）（2022•贵港）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=5，BC=9，以A为中心将腰AB顺时针旋转90°至AE，连接DE，则△ADE的面积等于（ ） A．10B．11C．12D．13考点：全等三角形的判定与性质；直角梯形；旋转的性质．专题：压轴题．分析：过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥AD，交DA延长线于M，得出四边形ANCD是矩形，推出∠DAN=90°=∠ANB=∠MAN，AD=NC=5，AN=CD，求出BN=4，求出∠EAM=∠NAB，证△EAM≌△BAN，求出EM=BN=4，根据三角形的面积公式求出即可．解答：解：过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥AD，交DA延长线于M，∵AD∥BC，∠C=90°，∴∠C=∠ADC=∠ANC=90°，∴四边形ANCD是矩形，∴∠DAN=90°=∠ANB=∠MAN，AD=NC=5，AN=CD，∴BN=9﹣5=4，∵∠M=∠EAB=∠MAN=∠ANB=90°，∴∠EAM+∠BAM=90°，∠MAB+∠NAB=90°，∴∠EAM=∠NAB，∵在△EAM和△BAN中，，∴△EAM≌△BAN（AAS），∴EM=BN=4，∴△ADE的面积是×AD×EM=×5×4=10．故选A．21\n点评：本题考查了矩形的性质和判定，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理和性质进行推理的能力，题目比较好，难度适中． 10．（4分）（2022•黄石）已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分別为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直线y=kx+2将梯形分成面积相等的两部分，则k的值为（ ） A．B．C．D．考点：一次函数综合题．专题：计算题；压轴题．分析：首先根据题目提供的点的坐标求得梯形的面积，利用直线将梯形分成相等的两部分，求得直线与梯形的边围成的三角形的面积，进而求得其解析式即可．解答：解：∵梯形ABCD的四个顶点的坐标分別为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），∴梯形的面积为：=8，∵直线y=kx+2将梯形分成面积相等的两部分，∴直线y=kx+2与AD、AB围成的三角形的面积为4，设直线与x轴交于点（x，0），∴（x+1）×2=4，∴x=3，∴直线y=kx+2与x轴的交点为（3，0）∴0=3k+2解得k=﹣故选A．点评：本题考查了一次函数的应用，求出当直线平方梯形的面积时与x轴的交点坐标是解决本题的突破口．21\n 11．（4分）（2022•山西）如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（ ） A．（10π﹣）米2B．（π﹣）米2C．（6π﹣）米2D．（6π﹣）米2考点：扇形面积的计算．专题：压轴题；探究型．分析：先根据半径OA长是6米，C是OA的中点可知OC=OA=3，再在Rt△OCD中，利用勾股定理求出CD的长，根据锐角三角函数的定义求出∠DOC的度数，由S阴影=S扇形AOD﹣S△DOC即可得出结论．解答：解：连接OD，∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，∴OC=OA=×6=3米，∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA，在Rt△OCD中，∵OD=6，OC=3，∴CD===3米，∵sin∠DOC===，∴∠DOC=60°，∴S阴影=S扇形AOD﹣S△DOC=﹣×3×3=（6π﹣）平方米．故选C．点评：本题考查的是扇形的面积，根据题意求出∠DOC的度数，再由S阴影=S扇形AOD﹣S△DOC得出结论是解答此题的关键． 21\n12．（4分）（2022•德州）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（ ） A．1组B．2组C．3组D．4组考点：相似三角形的应用；解直角三角形的应用．专题：压轴题．分析：根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性质，根据=即可解答．解答：解：此题比较综合，要多方面考虑，①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；③，因为△ABD∽△EFD可利用=，求出AB；④无法求出A，B间距离．故共有3组可以求出A，B间距离．故选C．点评：本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出． 13．（4分）（2022•烟台模拟）在平面直角坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第3个正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2022个正方形的面积为（ ） A．5B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质．专题：压轴题；规律型．分析：先根据两对对应角相等的三角形相似，证明△AOD和△A1BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形A1B1C1C的边长等于正方形ABCD边长的21\n，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的，然后即可求出第2022个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第2022个正方形的面积．解答：解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，∴∠ABA1=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，又∵在坐标平面内，∠DAO+∠ADO=90°，∴∠ADO=∠BAA1，在△AOD和△A1BA中，，∴△AOD∽△A1BA，∴OD：AO=AB：A1B=2，∴BC=2A1B，∴A1C=BC，以此类推A2C1=A1C，A3C2=A2C1，…，即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍，∴第2022个正方形的边长为（）2022BC，∵A的坐标为（1，0），D点坐标为（0，2），∴BC=AD==，∴第2022个正方形的面积为[（）2022BC]2=5（）4020．故选D．点评：本题主要考查了相似三角形的性质与正方形的性质，根据规律推出第2022个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系是解题的关键，也是难点，本题综合性较强． 二、填空题（本题共6个小题，每小题5分共18分）14．（5分）（2022•烟台模拟）如果单项式﹣3x2ay3与是同类项，则这两个单项式的积为 5x4y6 ．考点：单项式乘单项式；同类项．分析：根据同类项的定义得出a，b的值，进而得出两个单项式，再利用单项式乘以单项式求出即可．解答：解：∵单项式﹣3x2ay3与是同类项，∴，解得：，∴单项式为﹣3x2y3与﹣x2y3，21\n则这两个单项式的积为：﹣3x2y3×（﹣x2y3）=5x4y6．故答案为：5x4y6．点评：此题主要考查了单项式乘以单项式以及同类项得概念，熟练根据定义得出a，b的值是解题关键． 15．（5分）（2022•烟台模拟）如图母亲节那天很多同学给妈妈准备了鲜花和礼物，从图中信息可知则买5束鲜花和5个礼盒的总价为 440 元．考点：二元一次方程组的应用．分析：设1束鲜花的价格为x元，1个礼盒的价格为y元，根据一束鲜花+2个礼盒的价格为143元和2束鲜花+1个礼盒的价格为121元建立方程组，利用整体思想求出其解即可．解答：解：设1束鲜花的价格为x元，1个礼盒的价格为y元，由题意，得，由①+②，得3x+3y=264，∴x+y=88，∴5x+5y=440．∴5束鲜花和5个礼盒的总价为440元，故答案为：440点评：本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，运用数学整体思想解二元一次方程组的运用，解答时建立方程组后运用整体思想求解是难点． 16．（5分）（2022•烟台模拟）如图一小虫从P点出发绕边长为10cm的等边三角形ABC爬行一圈回到点P，在小虫爬行过程中，始终保持与三角形ABC的边的距离是2cm，求小虫爬过的路径的长是 （30+4π）cm ．考点：弧长的计算．专题：计算题．分析：小虫爬过的路径分为6个部分：与等边三角形平行且等于边长的三条线段，在每个三角形顶点以顶点为圆心、2cm为半径，圆心角为120°的三条弧，然后根据弧长公式计算即可．解答：解：小虫爬过的路径的长=10+10+10+=（30+4π）cm．故答案为（30+4π）cm．点评：本题考查了弧长的计算：弧长=（n为弧所对的圆心角的度数，R为圆的半径）．也考查了等边三角形的性质．21\n 17．（5分）（2022•十堰）如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是PA，PR的中点．如果DR=3，AD=4，则EF的长为 2.5 ．考点：三角形中位线定理；矩形的性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据勾股定理求AR；再运用中位线定理求EF．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴△ADR是直角三角形∵DR=3，AD=4∴AR===5∵E、F分别是PA，PR的中点∴EF=AR=×5=2.5．点评：本题属中等难度题目，涉及到矩形的性质，勾股定理的运用及三角形中位线的性质． 18．（5分）（2022•烟台模拟）如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为 ．考点：几何概率．分析：根据几何概率的意义，求出小圆面积与大圆面积的比即为小球落在小圆内部区域（阴影部分）的概率．解答：解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．∵圆的直径正好是大正方形边长，∴根据勾股定理，其小正方形对角线为，即圆的直径为，∴大正方形的边长为，则大正方形的面积为×=2，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为．故答案为：．21\n点评：此题考查了几何概率，解答此题除了熟悉几何概率的定义外，还要熟悉圆内接正方形和圆内切正方形的性质． 19．（5分）（2022•河池）如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG的顶点F的坐标为（4，2），将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴上，得到矩形OMNP，OM与GF相交于点A．若经过点A的反比例函数的图象交EF于点B，则点B的坐标为 （4，） ．考点：反比例函数综合题．专题：压轴题．分析：根据旋转的性质得到∠P=∠POM=∠OGF=90°，再根据等角的余角相等可得∠PNO=∠GOA，然后根据相似三角形的判定方法即可得到△OGA∽△NPO；由E点坐标为（4，0），G点坐标为（0，2）得到OE=4，OG=2，则OP=OG=2，PN=GF=OE=4，由于△OGA∽△NPO，则OG：NP=GA：OP，即2：4=GA：2，可求得GA=1，可得到A点坐标为（1，2），然后利用待定系数法即可得到过点A的反比例函数解析式，再利用B点的横坐标为4和B点在y=得到B点坐标即可．解答：解：∵矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，∴∠P=∠POM=∠OGF=90°，∴∠PON+∠PNO=90°，∠GOA+∠PON=90°，∴∠PNO=∠GOA，∴△OGA∽△NPO；∵E点坐标为（4，0），G点坐标为（0，2），∴OE=4，OG=2，∴OP=OG=2，PN=GF=OE=4，∵△OGA∽△NPO，∴OG：NP=GA：OP，即2：4=GA：2，∴GA=1，∴A点坐标为（1，2），设过点A的反比例函数解析式为y=，把A（1，2）代入y=得k=1×2=2，21\n∴过点A的反比例函数解析式为y=；把x=4代入y=中得y=，∴B点坐标为（4，）．故答案为：（4，）．点评：本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足函数的解析式；运用待定系数法求函数的解析式；掌握旋转的性质和矩形的性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分．解答题要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）20．（6分）（2022•遵义）化简分式（﹣）÷，并从﹣1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x代入求值．考点：分式的化简求值．专题：开放型．分析：先将括号内的分式通分，再按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算．解答：解：原式=[﹣]×=×=，由于当x=﹣1，x=0或x=1时，分式的分母为0，故取x的值时，不可取x=﹣1，x=0或x=1，不妨取x=2，此时原式==．点评：本题考查了分式的化简求值，解答此题不仅要熟悉分式的除法法则，还要熟悉因式分解等内容． 21．（6分）（2022•邵阳）2022年，某地开始实施农村义务教育学校营养计划﹣﹣“蛋奶工程”．该地农村小学每份营养餐的标准是质量为300克，蛋白质含量为8%，包括一盒牛奶、一包饼干和一个鸡蛋．已知牛奶的蛋白质含量为5%，饼干的蛋白质含量为12.5%，鸡蛋的蛋白质含量为15%，一个鸡蛋的质量为60克．21\n（1）一个鸡蛋中含蛋白质的质量为多少克？（2）每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为多少克？考点：一元一次方程的应用．专题：压轴题．分析：（1）鸡蛋中蛋白质的质量=鸡蛋的重量×鸡蛋的蛋白质含量就可以直接求出答案；（2）设每份营养餐中牛奶的质量为x克，则饼干的质量为（300﹣60﹣x）克，根据题意列出方程求出其解就可以解答：解：（1）由题意得：60×15%=9（克）．答：一个鸡蛋中含蛋白质的质量为9克．（2）设每份营养餐中牛奶的质量为x克，则饼干的质量为（300﹣60﹣x）克，由题意得：5%x+12.5%（300﹣60﹣x）+60×15%=300×8%解得：x=200．故饼干的质量为：300﹣60﹣x=40．答：每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为200克和40克．点评：本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，根据各种食品的蛋白质的和加起来等于总蛋白质就可以建立方程，在解答时确定等量关系是关键． 22．（10分）（2022•遂宁）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．（1）王老师采取的调查方式是 抽样调查 （填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班征集到作品共 12 件，其中B班征集到作品 3 件，请把图2补充完整；（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？（3）如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生．现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求写出用树状图或列表分析过程）考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；列表法与树状图法．专题：压轴题；图表型．分析：（1）根据只抽取了4个班可知是抽样调查，根据C在扇形图中的角度求出所占的份数，再根据C的人数是5，列式进行计算即可求出作品的件数，然后减去A、C、D的件数即为B的件数；（2）求出平均每一个班的作品件数，然后乘以班级数14，计算即可得解；（3）画出树状图或列出图表，再根据概率公式列式进行计算即可得解．解答：解：（1）抽样调查，21\n所调查的4个班征集到作品数为：5÷=12件，B作品的件数为：12﹣2﹣5﹣2=3件，故答案为：抽样调查；12；3；把图2补充完整如下：（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品=12÷4=3（件），所以，估计全年级征集到参展作品：3×14=42（件）；（3）画树状图如下：列表如下：共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种，所以，P（一男一女）==，即恰好抽中一男一女的概率是．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21\n23．（10分）（2022•德阳）已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．已知当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2．（1）求一次函数的解析式；（2）已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：压轴题．分析：（1）首先根据x＞1时，y1＞y2，0＜x＜1时，y1＜y2确定点A的横坐标，然后代入反比例函数解析式求出点A的纵坐标，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法求直线解析式解答；（2）根据点C到y轴的距离判断出点C的横坐标，代入反比例函数解析式求出纵坐标，从而得到点C的坐标，过点C作CD∥x轴交直线AB于D，求出点D的坐标，然后得到CD的长度，再联立一次函数与双曲线解析式求出点B的坐标，然后△ABC的面积=△ACD的面积+△BCD的面积，列式进行计算即可得解．解答：解：（1）∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，∴点A的横坐标为1，代入反比例函数解析式，=y，解得y=6，∴点A的坐标为（1，6），又∵点A在一次函数图象上，∴1+m=6，解得m=5，∴一次函数的解析式为y1=x+5；（2）∵第一象限内点C到y轴的距离为3，∴点C的横坐标为3，∴y==2，∴点C的坐标为（3，2），过点C作CD∥x轴交直线AB于D，则点D的纵坐标为2，∴x+5=2，解得x=﹣3，∴点D的坐标为（﹣3，2），∴CD=3﹣（﹣3）=3+3=6，点A到CD的距离为6﹣2=4，21\n联立，解得（舍去），，∴点B的坐标为（﹣6，﹣1），∴点B到CD的距离为2﹣（﹣1）=2+1=3，S△ABC=S△ACD+S△BCD=×6×4+×6×3=12+9=21．点评：本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，根据已知条件先判断出点A的横坐标是解题的关键． 24．（10分）（2022•乌鲁木齐）某商场销售一种进价为20元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量w（台），销售单价x（元）满足w=﹣2x+80，设销售这种台灯每天的利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时．毎天的利润最大？最大利润多少？（3）在保证销售量尽可能大的前提下．该商场每天还想获得150元的利润，应将销售单价定位为多少元？考点：二次函数的应用．专题：应用题．分析：（1）用每台的利润乘以销售量得到每天的利润．（2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．（3）把y=150代入函数，求出对应的x的值，然后根据w与x的关系，舍去不合题意的值．解答：解：（1）y=（x﹣20）（﹣2x+80），=﹣2x2+120x﹣1600；（2）∵y=﹣2x2+120x﹣1600，=﹣2（x﹣30）2+200，∴当x=30元时，最大利润y=200元；（3）由题意，y=150，即：﹣2（x﹣30）2+200=150，解得：x1=25，x2=35，又销售量W=﹣2x+80随单价x的增大而减小，所以当x=25时，既能保证销售量大，又可以每天获得150元的利润．点评：21\n本题考查的是二次函数的应用，（1）根据题意得到二次函数．（2）利用二次函数的性质求出最大值．（3）由二次函数的值求出x的值． 25．（9分）（2022•湘潭）如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．（1）如图1，求证：△PCD∽△ABC；（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由；（3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．考点：圆周角定理；全等三角形的性质；垂径定理；相似三角形的判定．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）由AB是⊙O的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由PD⊥CD，可得∠D=∠ACB，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠P，根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定：△PCD∽△ABC；（2）由△PCD∽△ABC，可知当PC=AB时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得；（3）由∠ACB=90°，AC=AB，可求得∠ABC的度数，然后利用相似，即可得∠PCD的度数，又由垂径定理，求得=，然后利用圆周角定理求得∠ACP的度数，继而求得答案．解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵PD⊥CD，∴∠D=90°，∴∠D=∠ACB，∵∠A与∠P是对的圆周角，∴∠A=∠P，∴△PCD∽△ABC；（2）解：当PC是⊙O的直径时，△PCD≌△ABC，理由：∵AB，PC是⊙O的直径，∴∠PBC=∠ACB=90°，AB=PC，∵∠A=∠P∴△PCD≌△ABC；（3）解：∵∠ACB=90°，AC=AB，∴∠ABC=30°，21\n∵△PCD∽△ABC，∴∠PCD=∠ABC=30°，∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，∴=，∴∠ACP=∠ABC=30°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°．点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用． 26．（9分）（2022•辽阳）已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF=BC﹣CD．（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．专题：证明题；压轴题．分析：（1）①根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据正方形的性质可得AD=AF，∠DAF=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠ACF+∠ACB=90°，从而得证；②根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，从而求出CF=BC﹣CD；（2）与（1）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=BC+CD；（3）①与（1）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=CD﹣BC；②根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=21\nDF，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA，从而得到△AOC是等腰三角形．解答：（1）证明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠ABD=45°，∴∠ACF+∠ACB=90°，∴BD⊥CF；②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF，∵BD=BC﹣CD，∴CF=BC﹣CD；（2）与（1）同理可得BD=CF，所以，CF=BC+CD；（3）①与（1）同理可得，BD=CF，所以，CF=CD﹣BC；②∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，则∠ABD=180°﹣45°=135°，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠ABD=180°﹣45°=135°，∴∠FCD=∠ACF﹣∠ACB=90°，则△FCD为直角三角形，∵正方形ADEF中，O为DF中点，∴OC=DF，∵在正方形ADEF中，OA=AE，AE=DF，∴OC=OA，∴△AOC是等腰三角形．21\n点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，以及同角的余角相等的性质，此类题目通常都是用同一种思路求解，在（1）中找出证明三角形全等的思路是解题的关键． 27．（12分）（2022•襄阳）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；动点型；数形结合；分类讨论．分析：（1）根据折叠图形的轴对称性，△CED、△CBD全等，首先在Rt△CEO中求出OE的长，进而可得到AE的长；在Rt△AED中，AD=AB﹣BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长．进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）由于∠DEC=90°，首先能确定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值．（3）由于以M，N，C，E为顶点的四边形，边和对角线都没明确指出，所以要分情况进行讨论：①EC做平行四边形的对角线，那么EC、MN必互相平分，由于EC的中点正好在抛物线对称轴上，所以M点一定是抛物线的顶点；②EC做平行四边形的边，那么EC、MN平行且相等，首先设出点N的坐标，然后结合E、C的横、纵坐标差表示出M点坐标，再将点M代入抛物线的解析式中，即可确定M、N的坐标．解答：解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．由题意，△BDC≌△EDC．∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．由勾股定理易得EO=6．∴AE=10﹣6=4，设AD=x，则BD=ED=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3，∴AD=3．∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）21\n∴，解得∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x．（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴=，即=，解得t=．当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∴=，即=，解得t=．∴当t=或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；则：M（4，）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，﹣）；②EC为平行四边形的边，则ECMN，设N（4，m），则M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，此时N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；21\n将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，此时N（4，﹣26）、M（12，﹣32）；综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）．点评：考查了二次函数综合题，题目涉及了图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等重点知识．后两问的情况较多，需要进行分类讨论，以免漏解．21
