专题六 压轴题探究,考标完全解读)宜宾市近五年的中考压轴题，均是函数型综合题．函数型综合题是先给定直角坐标系和几何图形，求已知函数的表达式，即在求解前已知函数的类型，然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质．初中已知函数有一次函数(包括正比例函数)，它们所对应的图象是直线．反比例函数，它所对应的图象是双曲线．二次函数，它所对应的图象是抛物线．求已知函数的表达式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法、图形法、代数法和解析法．此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现．具有选拔功能的中考压轴题是为考查同学们综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、思路难觅、解法灵活．解数学压轴题．一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能．三要掌握常用的解题策略．现介绍几种常用的解题策略，供九年级同学参考.1．以坐标系为桥梁，运用数形结合思想．2．以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想.3．利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想.4．综合多个知识点，运用等价转换思想，任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想．5．分题得分，中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题，难易程度是第1小题较易，第2小题中等，第3小题偏难．在解答时一定要把第1小题的分数拿下，第2小题的分数要力争拿到，第3小题的分数要争取得到．这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性.,典型题型讲练) 二次函数与三角形的综合【例1】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)三点．(1)求该抛物线的表达式；(2)在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P(t，0)为线段AB上一动点(不与A，B重合)，过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．【解析】(1)把A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)代入抛物线y＝ax2＋bx＋c，求解即可；(2)作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC于N，连结AM1，则△AM1C是等腰三角形，然后求出OM1得出M1的坐标，当CA＝CM2时，则△AM2C是等腰三角形，求出OM2得出M2的坐标，当CA＝AM3时，则△AM3C是等腰三角形，求出OM3得出M3的坐标，当CA＝CM4时，则△AM4C是等腰三角形，求出OM4得出M4的坐标；(3)当点P在y轴或y轴右侧时，14\n设直线与BC交于点D，先求出S△BOC，再根据△BPD∽△BOC，得出＝，＝，求出S＝S△BPD；当点P在y轴左侧时，设直线与AC交于点E，根据＝，得出＝，求出S＝S△ABC－S△APE＝9－，再整理即可．【答案】解：(1)把A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)代入抛物线y＝ax2＋bx＋c，得解得则抛物线的表达式是y＝－x2＋x＋3；(2)如答图①，作线段CA的垂直平分线，交y轴于M1，交AC于N，连结AM1，则△AM1C是等腰三角形，∵AC＝＝，∴CN＝.∵△CNM1∽△COA，∴＝，∴＝，∴CM1＝，∴OM1＝OC－CM1＝3－＝，∴M1的坐标是(0，)，当CA＝CM2＝时，则△AM2C是等腰三角形，则OM2＝3＋，M2的坐标是(0，3＋)，14\n当CA＝AM3＝时，则△AM3C是等腰三角形，则OM3＝3，M3的坐标是(0，－3)，当CA＝CM4＝时，则△AM4C是等腰三角形，则OM4＝－3，M4的坐标是(0，3－)；(3)如答图②，当点P在y轴上或y轴右侧时，设直线与BC交于点D，∵OB＝4，OC＝3，∴S△BOC＝6.∵BP＝BO－OP＝4－t，∴＝.∵△BPD∽△BOC，∴＝，∴＝，∴S＝S△BPD＝t2－3t＋6(0≤t＜4)；如答图③，当点P在y轴左侧时，设直线与AC交于点E，∵OP＝－t，AP＝t＋2，∴＝，∵＝，∴S△APE＝，∴S＝S△ABC－S△APE＝9－＝－t2－3t＋6(－2＜t＜0)．【点评】此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、线段的垂直平分线等，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，注意分类讨论，数形结合的数学思想方法．【针对练习】14\n1．(2022南通中考)已知直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax2(a＞0)相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D.(1)若∠AOB＝60°，AB∥x轴，AB＝2，求a的值；(2)若∠AOB＝90°，点A的横坐标为－4，AC＝4BC，求点B的坐标；(3)延长AD，BO相交于点E，求证：DE＝CO.解：(1)如答图①，∵抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，且AB∥x轴，∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点，∴OA＝OB.∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形．∵AB＝2，AB⊥OC，∴AC＝BC＝1，∠BOC＝30°，∴OC＝，∴A(－1，)，把A(－1，)代入抛物线y＝ax2(a＞0)中得：a＝；(2)如答图②，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，∵CF∥BG，∴＝.∵AC＝4BC，∴＝4，∴AF＝4FG，∵A的横坐标为－4，∴B的横坐标为1，∴A(－4，16a)，B(1，a)，14\n∵∠AOB＝90°，∴∠AOD＋∠BOE＝90°.∵∠AOD＋∠DAO＝90°，∴∠BOE＝∠DAO.∵∠ADO＝∠OEB＝90°，∴△ADO∽△OEB，∴＝，∴＝，∴16a2＝4，∴a＝±，∵a＞0，∴a＝；∴B；(3)如答图③，设AC＝nBC，由(2)同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B(m，am2)，则A(－mn，am2n2)，∴AD＝am2n2.过B作BF⊥x轴于F，∴DE∥BF，∴△BOF∽△EOD，∴＝＝，∴＝＝，∴＝，DE＝am2n，∴＝.14\n∵OC∥AE，∴△BCO∽△BAE，∴＝＝，∴＝，∴CO＝＝am2n，∴DE＝CO.【解题心得】 二次函数与四边形的综合【例2】在平面直角坐标系中，O为原点，直线y＝－2x－1与y轴交于点A，与直线y＝－x交于点B，点B关于原点的对称点为点C.(1)求过A，B，C三点的抛物线的表达式；(2)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②若点P的横坐标为t(－1＜t＜1)，当t为何值时，四边形PBQC面积最大？并说明理由．【解析】(1)联立两直线表达式可求得B点坐标，由关于原点对称可求得C点坐标，由直线y＝－2x－1可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线表达式；(2)①当四边形PBQC为菱形时，可知PQ⊥BC，则可求得直线PQ的表达式，联立抛物线表达式可求得P点坐标；②过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E，由∠PED＝∠AOC，可知当PE最大时，PD也最大，用t可表示出PE的长，可求得取最大值时的t的值．【答案】解：(1)联立两直线表达式可得解得∴B点坐标为(－1，1)，又C点为B点关于原点的对称点，∴C点坐标为(1，－1)．∵直线y＝－2x－1与y轴交于点A，∴A点坐标为(0，－1)．设抛物线表达式为y＝ax2＋bx＋c，14\n把A，B，C三点坐标代入可得解得∴抛物线表达式为y＝x2－x－1；(2)①当四边形PBQC为菱形时，则PQ⊥BC，∵直线BC表达式为y＝－x，∴直线PQ表达式为y＝x，联立抛物线表达式可得解得或∴P点坐标为(1－，1－)或(1＋，1＋)；②当t＝0时，四边形PBQC的面积最大．理由如下：如答图，过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E，则S四边形PBQC＝2S△PBC＝2×BC·PD＝BC·PD，∵线段BC长固定不变，∴当PD最大时，四边形PBQC面积最大．又∵∠PED＝∠AOC(固定不变)，∴当PE最大时，PD也最大．∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，∴P点坐标为(t，t2－t－1)，E点坐标为(t，－t)，∴PE＝－t－(t2－t－1)＝－t2＋1，∴当t＝0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大．【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、点的对称、菱形的判定和性质、三角形的面积和二次函数的最值等知识点．在(1)中求得A，B，C三点的坐标是解题的关键，在(2)①中得出直线PQ的表达式是解题的关键，在②中确定出四边形PBQC面积最大的条件是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性较强，其中第(2)②小题是难点．【针对练习】2．(2022葫芦岛中考)如图，抛物线y＝ax2－2x＋c(a≠0)与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A(－2，0)，点C(0，－8)，点D是抛物线的顶点．14\n(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；(2)如图①，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B′落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；(3)如图②，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．解：(1)将点A、点C的坐标代入抛物线的表达式，得解得∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－8.∵y＝(x－1)2－9，∴D(1，－9)；(2)将y＝0代入抛物线的表达式得：x2－2x－8＝0，解得x＝4或x＝－2，∴B(4，0)．∵y＝(x－1)2－9，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴E(1，0)．∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B′落在抛物线的对称轴上，∴EP为∠BEF的平分线．∴∠BEP＝45°.设直线EP的表达式为y＝－x＋b，将点E的坐标代入得：－1＋b＝0，解得b＝1，∴直线EP的表达式为y＝－x＋1.将y＝－x＋1代入抛物线的表达式得：－x＋1＝x2－2x－8，解得x＝或x＝.∵点P在第四象限，14\n∴x＝.∴y＝.∴P；(3)设CD的表达式为y＝kx－8，将点D的坐标代入得：k－8＝－9，解得k＝－1，∴直线CD的表达式为y＝－x－8.设直线CB的表达式为y＝k2x－8，将点B的坐标代入得：4k2－8＝0，解得k2＝2.∴直线BC的表达式为y＝2x－8.将x＝1代入直线BC的表达式得：y＝－6，∴F(1，－6)．设点M的坐标为(a，－a－8)．当MF＝MB时，(a－4)2＋(a＋8)2＝(a－1)2＋(a＋2)2，整理得：6a＝－75，解得a＝－.∴点M的坐标为.当FM＝FB时，(a－1)2＋(a＋2)2＝(4－1)2＋(－6－0)2，整理得：a2＋a－20＝0，解得a＝4或a＝－5.∴点M的坐标为(4，－12)或(－5，－3)．综上所述，点M的坐标为或(4，－12)或(－5，－3)．【解题心得】 探究最值问题【例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx－4(a≠0)的图象与x轴交于A(－2，0)，B(8，0)两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D.(1)求该二次函数的表达式；(2)如图①，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图②，若点P(m，n)是该二次函数图象上的一个动点(其中m＞0，n＜0)，连结PB，PD，BD，14\n求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．【解析】(1)采用待定系数法求得二次函数的表达式；(2)先求得直线BC的表达式为y＝x－4，则可设E(m，m－4)，然后分三种情况讨论即可求得；(3)利用△PBD的面积S＝S梯形－S△BOD－S△PFD即可求得．【答案】(1)∵二次函数y＝ax2＋bx－4(a≠0)的图象与x轴交于A(－2，0)，C(8，0)两点，∴解得∴该二次函数的表达式为y＝x2－x－4；(2)存在．由二次函数y＝x2－x－4可知对称轴为直线x＝3，∴D(3，0)，∵C(8，0)，∴CD＝5，由二次函数y＝x2－x－4可知B(0，－4)，设直线BC的表达式为y＝kx＋b，∴解得∴直线BC的表达式为y＝x－4，设E，当DC＝CE时，EC2＝(m－8)2＋＝CD2，即(m－8)2＋＝52，解得m1＝8－2，m2＝8＋2(舍去)，∴E(8－2，－)；当DC＝DE时，ED2＝(m－3)2＋＝CD2，14\n即(m－3)2＋＝52，解得m3＝0，m4＝8(舍去)，∴E(0，－4)；当EC＝DE时，(m－8)2＋＝(m－3)2＋，解得m5＝5.5，∴E(，－)．综上所述，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为(8－2，－)或(0，－4)或；(3)过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为m2－m－4，∵S△PBD＝S梯形OBPF－S△BOD－S△PFD＝m－(m－3)－×3×4＝－m2＋m＝－＋，∴当m＝时，△PBD的最大面积为，∴点P的坐标为.【点评】此题考查了综合应用能力，要注意数形结合，认真分析，仔细识图．注意待定系数法求函数的表达式，注意函数交点坐标的求法，注意三角形面积的求法．【针对练习】3．(2022乐山中考)如图①，抛物线C1：y＝x2＋ax与C2：y＝－x2＋bx相交于点O，C，C1与C2分别交x轴于点B，A，且B为线段AO的中点．(1)求的值；(2)若OC⊥AC，求△OAC的面积；(3)抛物线C2的对称轴为l，顶点为M，在(2)的条件下：①点P为抛物线C2对称轴l上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；②如图②，点E在抛物线C2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．14\n解：(1)在y＝x2＋ax中，当y＝0时，x2＋ax＝0，x1＝0，x2＝－a，∴B(－a，0)，在y＝－x2＋bx中，当y＝0时，－x2＋bx＝0，x1＝0，x2＝b，∴A(0，b)，∵B为OA的中点，∴b＝－2a，∴＝－；(2)联立两抛物线表达式可得消去y整理可得2x2＋3ax＝0，解得x1＝0，x2＝－a，当x＝－时，y＝a2，∴C，过C作CD⊥x轴于点D，如答图①，∴D，∵∠OCA＝90°，∴△OCD∽△CAD，∴＝，∴CD2＝AD·OD，即(a2)2＝－a·，∴a1＝0(舍去)，a2＝(舍去)，a3＝－，14\n∴OA＝－2a＝，CD＝a2＝1，∴S△OAC＝OA·CD＝；(3)①抛物线C2：y＝－x2＋x，∴其对称轴l2：x＝，点A关于l2的对称点为O(0，0)，C(，1)，则P为直线OC与l2的交点，设OC的表达式为y＝kx，∴1＝k，得k＝，∴OC的表达式为y＝x，当x＝时，y＝，∴P；②设E，则S△OBE＝×·＝－m2＋m，而B，C(，1)，设直线BC的表达式为y＝kx＋b，由解得∴直线BC的表达式为y＝x－2，过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，如答图②，14\n则－m2＋m＝x－2，即x＝－m2＋m＋，∴EN＝－m2＋m＋－m＝－m2＋m＋，∴S△EBC＝·1·＝－m2＋m＋，∴S四边形OBCE＝S△OBE＋S△EBC＝＋＝－m2＋m＋＝－＋.∵0≤m≤，∴当m＝时，S最大＝，当m＝时，y＝－＋·＝，∴E，S最大＝.【解题心得】14
