第十讲 反比例函数及其应用第1课时 反比例函数,考标完全解读)考点考试内容考试要求反比例函数的性质定义了解反比例函数的图象与性质掌握反比例函数系数k的几何意义掌握反比例函数表达式的确定待定系数法掌握与实际生活相结合求函数关系式理解,感受宜宾中考)1.(2022宜宾中考)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AD∥x轴，A，AB＝1，AD＝2.(1)直接写出B，C，D三点的坐标；(2)将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A，C恰好同时落在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，得矩形A′B′C′D′.求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的表达式．解：(1)B，C，D；(2)∵将矩形ABCD向右平移m个单位，∴A′，C′，∵点A′，C′在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，16\n∴(－3＋m)＝(－1＋m)，解得m＝4，∴A′，∴k＝，∴矩形ABCD的平移距离m＝4，反比例函数的表达式为y＝.2．(2022宜宾中考)如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，A(0，3)，B(－4，0)．(1)求经过点C的反比例函数的表达式；(2)设P是(1)中所求函数图象上一点，以P，O，A为顶点的三角形的面积与△COD的面积相等，求出点P的坐标．解：(1)由题意知，OA＝3，OB＝4.在Rt△AOB中，AB＝＝5.∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝5，且BC∥AD，∴C(－4，－5)．设经过点C的反比例函数的表达式为y＝，∴＝－5，k＝20.∴所求的反比例函数的表达式为y＝；(2)设P(x，y)．∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝5，OA＝3，∴OD＝2，∴S△COD＝×2×4＝4，即·OA·＝4，∴＝，∴x＝±.当x＝时，y＝；当x＝－时，y＝－.16\n∴P点坐标为或.,核心知识梳理) 反比例函数的性质1．定义：函数__y＝(k是常数，k≠0)__叫做反比例函数，k叫做__比例系数__．反比例函数自变量的取值范围是__一切非零__实数．2．反比例函数的图象与性质k的符号k＞0k__＜0__大致图象所在象限第__一、三____象限第__二、四__象限性质在__每一象限内__，y随x的增大而__减小__在每一象限内，y随x的增大而__增大__3.反比例函数系数k的几何意义如图，设P(x，y)是反比例函数y＝图象上任一点，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则S矩形PNOM＝PM·PN＝|y|·|x|＝__|xy|__＝__|k|__．【针对练习】(沈阳中考)如图，点P是反比例函数y＝(k＞0)图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B.若四边形OAPB的面积为3，则k的值为( A ) 16\nA．3 B．－3 C. D．－ 反比例函数表达式的确定4．方法：待定系数法5．具体步骤(1)设出反比例函数表达式__y＝(k≠0)__；(2)找出满足反比例函数表达式的点P(a，b)；(3)将__点P(a，b)__代入表达式得__k＝ab__；(4)确定反比例函数表达式__y＝__．【针对练习】反比例函数y＝(k≠0)的图象上有一点P(－1，2)，则该反比例函数的表达式为__y＝__． 反比例函数的应用6．与实际生活相结合求函数关系式(1)根据题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；(2)设出函数表达式；(3)依题意求解函数表达式及有关问题．,重点难点解析) 反比例函数的图象与性质【例1】姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小，根据他们的叙述，姜老师给出的这个函数表达式可能是( ) A．y＝3x B．y＝ C．y＝－ D．y＝x2【解析】y＝3x的图象在第一、三象限内，y随x的增大而增大．y＝的图象在第一、三象限内，在每一个象限内，y随x的增大而减小．y＝－的图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．y＝x2的图象在第一、二象限内，由以上分析即可知选B.16\n【答案】B【针对训练】1．已知函数y＝的图象如图，以下结论：①m＜0；②在每个分支上，y随x的增大而增大；③若点A(－1，a)，B(2，b)在图象上，则a＜b；④若点P(x，y)在图象上，则点P1(－x，－y)也在图象上．其中正确的个数有( B )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．如图，点A，B是双曲线y＝上的点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为__8__． 用待定系数法求反比例函数的表达式【例2】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(x＞0)的图象上有一点A(m，4)，过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右平移2个单位得到点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，CD＝.(1)点D的横坐标为________；(用含m的式子表示)(2)求反比例函数的表达式．【解析】(1)由点A(m，4)，过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右平移2个单位得点C，求得点C坐标．又由过点C作y轴平行线交反比例函数图象于点D，CD＝，即可得点D坐标；(2)由点D，A(m，4)可得方程4m＝(m＋2)，即可求得表达式．【答案】解：(1)m＋2；16\n(2)∵CD＝，∴点D的坐标为.∵点A(m，4)，点D在函数y＝的图象上，∴4m＝(m＋2)，∴m＝1.∴k＝4m＝4×1＝4.∴反比例函数的表达式为y＝.【针对训练】3．一个反比例函数图象过点A(－2，－3)，则这个反比例函数的表达式是__y＝__．4．已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限．(1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；(2)如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．解：(1)根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且m－7＞0，则m＞7；(2)∵点B与点A关于x轴对称，且△OAB的面积为6，∴△OAC的面积为3.设A，则2×x·＝6.解得m＝13. 反比例函数的综合应用16\n【例3】如图，点P，Q是反比例函数y＝图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连结PB，QM，△ABP的面积记为S1，△QMN的面积记为S2，则S1________(选填“＞”“＜”或“＝”)S2.【解析】设P(a，b)，Q(m，n)，则S△ABP＝AP·AB＝a(b－n)＝ab－an，S△QMN＝MN·QN＝(m－a)n＝mn－an，∵点P，Q在反比例函数的图象上，∴ab＝mn＝k，∴S1＝S2.【答案】＝【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．【针对训练】5．已知反比例函数的图象经过点P(2，－3)．(1)求该函数的表达式；(2)若将点P沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴方向平移n(n＞0)个单位得到点P′，使点P′恰好在该函数的图象上，求n的值和点P沿y轴平移的方向．解：(1)设反比例函数的表达式为y＝，∵图象经过点P(2，－3)，∴k＝2×(－3)＝－6，∴反比例函数的表达式为y＝－；(2)∵点P沿x轴负方向平移3个单位，∴点P′的横坐标为2－3＝－1，∴当x＝－1时，y＝＝6，∴n＝6－(－3)＝9，∴点P沿着y轴平移的方向为正方向．16\n6．如图，在平行四边形ABCD中，点A，B，C的坐标分别是(1，0)，(3，1)，(3，3)，双曲线y＝(k≠0，x＞0)过点D.(1)求双曲线的表达式；(2)作直线AC交y轴于点E，连结DE，求△CDE的面积．解：(1)∵在平行四边形ABCD中，点A，B，C的坐标分别是(1，0)，(3，1)，(3，3)，∴点D的坐标是(1，2)．∵双曲线y＝(k≠0，x＞0)过点D，∴2＝，得k＝2，即双曲线的表达式是y＝；(2)∵直线AC交y轴于点E，∴S△CDE＝S△EDA＋S△ADC＝×AD×＝×2×3＝3.即△CDE的面积是3.,当堂过关检测)1.(2022荆门中考)已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3BD.反比例函数y＝(k≠0)的图象恰好经过点C和点D.则k的值为( A )A. B. C. D.,(第1题图)) ,(第2题图))16\n2．(2022达州中考)已知函数y＝的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连结OA，OB.下列结论：①若点M1(x1，y1)，M2(x2，y2)在图象上，且x1<x2<0，则y1<y2；②当点P坐标为(0，－3)时，△AOB是等腰三角形；③无论点P在什么位置，始终有S△AOB＝7.5，AP＝4BP；④当点P移动到使∠AOB＝90°时，点A的坐标为(2，－)．其中正确的结论个数为( C ) A．1 B．2C．3 D．43．(2022天津中考)若点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( B )A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y3<y2<y1D．y2<y1<y34．已知点A(1，m)，B(2，n)在反比例函数y＝－的图象上，则m与n的大小关系为____m<n__．5．(2022福建中考)已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y＝的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为__7.5__．6．(2022枣庄中考)如图，反比例函数y＝的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为__4__．7．(2022兰州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3交y轴于点A，交反比例函数y＝(x＜0)的图象于点D，y＝(x＜0)的图象过矩形OABC的顶点B，矩形OABC的面积为4，连结OD.求：(1)反比例函数y＝的表达式；16\n(2)△AOD的面积．解：(1)∵直线y＝－x＋3交y轴于点A，∴A(0，3)，∴BC＝OA＝3.∵矩形OABC的面积为4，∴AB＝，∴|k|＝4.又k＜0，∴k＝－4，∴反比例函数y＝的表达式为y＝－；(2)∵直线与反比例函数相交于点D，联立解得或∵点D在第二象限，∴D(－1，4)，∴S△AOD＝×3×1＝.16\n第2课时 一次函数与反比例函数的综合,考标完全解读)考点考试内容考试要求图象的交点函数图象的交点坐标掌握正比例函数与反比例函数图象的交点坐标理解,感受宜宾中考)1.(2022宜宾中考)如图，一次函数y＝－x＋2的图象与反比例函数y＝－的图象交于A，B两点，与x轴交于D点．且C，D两点关于y轴对称．求：(1)A，B两点的坐标；(2)△ABC的面积．解：(1)根据题意得解方程组得或∴A点坐标为(－1，3)，B点坐标为(3，－1)；(2)把y＝0代入y＝－x＋2得－x＋2＝0，解得x＝2，∴D点坐标为(2，0)，∵C，D两点关于y轴对称，∴C点坐标为(－2，0)，∴S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝×(2＋2)×3＋×(2＋2)×1＝8.16\n2．(2022宜宾中考)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝(x>0)的图象交于A(2，－1)，B两点，直线y＝2与y轴交于点C.求：(1)一次函数与反比例函数的表达式；(2)△ABC的面积．解：(1)∵y＝过点A(2，－1)，∴m＝－2，∴反比例函数的表达式为y＝－.∵点B在y＝－上，∴y＝－＝－4，∴B.∵y＝kx＋b过点A(2，－1)，B，∴解得∴一次函数的表达式为y＝2x－5；(2)设y＝2x－5与y轴交于点D，则有D(0，－5)．∵y＝2与y轴交于点C(0，2)，∴CD＝7.又∵A(2，－1)，B，∴S△ABC＝S△ADC－S△BCD＝×7×2－×7×＝.3．(2022宜宾中考)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A(－3，m＋8)，B(n，－6)两点．求：(1)一次函数与反比例函数的表达式；(2)△AOB的面积．解：(1)将A(－3，m＋8)代入反比例函数y＝，得＝m＋8，解得m＝－6，m＋8＝－6＋8＝2，16\n∴点A的坐标为(－3，2)，反比例函数的表达式为y＝－，将点B(n，－6)代入y＝－，得－＝－6，解得n＝1，∴点B的坐标为(1，－6)，将点A(－3，2)，B(1，－6)代入y＝kx＋b得，解得∴一次函数的表达式为y＝－2x－4；(2)设AB与x轴相交于点C.令－2x－4＝0，解得x＝－2，∴点C的坐标为(－2，0)，∴OC＝2，∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC，＝×2×2＋×2×6，＝2＋6，＝8.,核心知识梳理) 函数图象的交点坐标1．两函数的交点坐标就是__两函数表达式组成方程组的解__．反之，两个函数的表达式组成方程组的解就是__两函数图象的交点坐标__． 正比例函数与反比例函数图象的交点2．正比例函数与反比例函数图象的交点坐标就是__两个表达式组成方程组的解__，并且两坐标关于__原点____对称．【针对练习】若正比例函数y＝kx与反比例函数y＝相交于A，B两点，点A(－1，2)，则点B的坐标为__(1，－2)__．,重点难点解析) 多种函数图象分析【例1】在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx－k与反比例函数y＝(k≠0)的图象大致是( )【解析】由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选项比较，从而确定答案．16\n【答案】A【点评】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想．【针对训练】1．抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的图象大致为( B ) 一次函数和反比例函数的交点问题【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax＋b(a，b为常数，且a≠0)与反比例函数y2＝(m为常数，且m≠0)的图象交于点A(－2，1)，B(1，n)．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)连结OA，OB，求△AOB的面积；(3)直接写出当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围．【解析】(1)将A点坐标代入反比例函数表达式中求出m的值，即可确定出反比例函数表达式；将B点坐标代入反比例函数式中求出n的值，确定出B点坐标，将A点与B点坐标代入一次函数表达式中求出a与b的值，即可确定出一次函数表达式；(2)设直线AB与y轴交于点C，求得点C坐标，S△AOB＝S△AOC＋S△COB，计算即可；(3)由图象直接可得自变量x的取值范围．【答案】解：(1)∵将A(－2，1)坐标代入反比例函数表达式y2＝中，得m＝－2，∴反比例函数表达式为y＝－；将B(1，n)代入y＝－，得n＝－2，∴B点坐标为(1，－2)，将A(－2，1)与B(1，－2)坐标代入一次函数y1＝ax＋b中，得解得∴一次函数表达式为y1＝－x－1；(2)设直线AB与y轴交于点C，令x＝0，得y＝－1，∴点C坐标为(0，－1)，∴S△AOB＝S△AOC＋S△COB＝×1×2＋×1×1＝；(3)由图象可得，当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围x＞1.【点评】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数表达式16\n，三角形面积的求法，坐标与图形性质．利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．【针对训练】2．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是( D )A．x＜－2或x＞2B．x＜－2或0＜x＜2C．－2＜x＜0或0＜x＜－2D．－2＜x＜0或x＞2,(第2题图)) ,(第3题图))3．如图，直线y＝x与双曲线y＝在第一象限的交点为A(2，m)，则k＝__2__．,当堂过关检测)1．(2022毕节中考)如图，已知一次函数y＝kx－3(k≠0)的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝(x>0)交于C点，且AB＝AC，则k的值为____．2．(2022葫芦岛中考)如图，直线y＝3x与双曲线y＝(k≠0，且x＞0)交于点A，点A的横坐标是1.(1)求点A的坐标及双曲线的表达式；(2)点B是双曲线上一点，且点B的纵坐标是1，连结OB，AB，求△AOB的面积．解：(1)将x＝1代入y＝3x，得：y＝3，∴点A的坐标为(1，3)．16\n将A(1，3)代入y＝，得k＝3，∴反比例函数的表达式为y＝；(2)在y＝中，作辅助线如答图．当y＝1时，x＝3，∴点B的坐标为(3，1)．S△AOB＝S矩形OCED－S△AOC－S△BOD－S△ABE＝3×3－×1×3－×1×3－×2×2＝4.3．(2022杭州中考)在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)的图象经过点(1，0)和(0，2)．(1)当－2<x≤3时，求y的取值范围；(2)已知点P(m，n)在该函数的图象上，且m－n＝4，求点P的坐标．解：(1)将(1，0)，(0，2)代入y＝kx＋b，得解得∴一次函数的表达式为y＝－2x＋2；把x＝－2代入y＝－2x＋2，得y＝6，把x＝3代入y＝－2x＋2，得y＝－4，∴y的取值范围是－4≤y<6；(2)∵点P(m，n)在一次函数图象上，∴n＝－2m＋2.∵m－n＝4，∴m－(－2m＋2)＝4，解得m＝2，n＝－2，∴点P的坐标(2，－2)．教后反思：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________16
