阶段检测卷二 空间与图形时间120分钟 满分150分一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)每小题都给出代号为A,B,C,D的四个选项,其中只有一个是正确的,请把正确选项的代号写在题后的括号内.每一小题,选对得4分,不选、选错或选出的代号超过一个的(不论是否写在括号内)一律得0分.1.长度为9,12,15,36,39的五根木棍,从中取三根依次搭成三角形,最多可搭成直角三角形的个数是(B)A.1B.2C.3D.4【解析】根据三角形的三边关系以及勾股定理的逆定理知能够搭成直角三角形的有9,12,15和15,36,39,即最多可搭成2个直角三角形.2.如图,两个圆柱体叠放在水平的实验台上,这两个叠放的圆柱体组成的几何体的俯视图是(A)【解析】根据俯视图的定义可得这个几何体的俯视图是A.3.如图,AD是△ABC的外角∠CAE的平分线,∠B=30°,∠DAE=55°,则∠ACD的度数是(C)A.80°B.85°C.100°D.110°【解析】∵∠B=30°,∠DAE=55°,∴∠D=∠DAE-∠B=55°-30°=25°,∴∠ACD=180°-∠D-∠CAD=180°-25°-55°=100°.12\n4.如图,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,PD与☉O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C,若☉O的半径为4,BC=6,则PA的长为(A)A.4B.23C.3D.2.5【解析】连接DO,∵PD与☉O相切于点D,∴∠PDO=90°,∵∠C=90°,∴DO∥BC,∴△PDO∽△PCB,∴POPB=DOBC=46=23,设PA=x,则x+4x+8=23,解得x=4,∴PA=4.5.如图,AB=AC=2AE,∠B=60°,ED=EC.若AE=2,则BD的长为(A)A.2B.3C.3D.3+1【解析】延长BC至点F,使得CF=BD,连接EF.∵ED=EC,∴∠EDC=∠ECD,∴∠EDB=∠ECF,∴△EBD≌△EFC,∴∠F=∠B=60°,△EBF是等边三角形,EB=BF.由已知条件可得△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∴CF=AE=2,∴BD=2.6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,以C为圆心,CB的长为半径作圆弧,交AB于点D,连接CD,则∠ACD等于(B)A.30°B.45°C.60°D.75°【解析】∵AB=AC,∠A=30°,∴∠ACB=∠ABC=12×(180°-∠A)=12×(180°-30°)=75°,∵以C为圆心,BC的长为半径作圆弧,交AB于点D,∴BC=CD,∴∠BCD=180°-2∠ABC=180°-2×75°=30°,∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=75°-30°=45°.12\n7.如图,长为8cm的橡皮筋放置在x轴上,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升3cm至D点,则橡皮筋被拉长了(A)A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm【解析】在Rt△ACD中,AC=12AB=4cm,CD=3cm,根据勾股定理得AD=AC2+CD2=5cm,∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm),∴橡皮筋被拉长了2cm.8.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,如果DE∥BC,且∠DCE=∠B,那么下列说法中,错误的是(C)A.△ADE∽△ABCB.△ADE∽△ACDC.△ADE∽△DCBD.△DEC∽△CDB【解析】∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∠BCD=∠CDE,∠ADE=∠B,∠AED=∠ACB,∵∠DCE=∠B,∴∠ADE=∠DCE,又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACD;∵∠BCD=∠CDE,∠DCE=∠B,∴△DEC∽△CDB;∵∠B=∠ADE,但是∠BCD<∠AED,且∠BCD≠∠A,∴△ADE与△DCB不相似.9.如图,分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,得到的封闭图形是莱洛三角形,若AB=2,则莱洛三角形的面积(即阴影部分的面积)为(D)A.π+3B.π-3C.2π-3D.2π-23【解析】过点A作AD⊥BC于点D,∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC=2,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,∵AD⊥BC,∴AD=32AB=3,∴△ABC的面积为12×BC×AD=12×2×3=3,S扇形BAC=60π×22360=23π,∴莱洛三角形的面积S=3×23π-2×3=2π-23.10.如图,在锐角△ABC中,BC=6,S△ABC=12,两动点M,N分别在AB,AC边上滑动,且MN∥BC,MP⊥BC,NQ⊥BC,得矩形MPQN,设MN的长为x,矩形MPQN的面积为y,则y关于x的函数图象大致是(B)12\n【解析】作AD⊥BC于点D,交MN于点E,如图所示.由题易得AD=4,∵MN∥BC,∴MP=ED,△AMN∽△ABC,∴AEAD=MNBC,∴AE4=x6,解得AE=2x3,∴ED=AD-AE=4-2x3,∴MP=4-2x3,∴矩形的面积y=x4-2x3=-23x2+4x=-23(x-3)2+6,结合选项知B正确.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.如图,P是△ABC的内心,连接PA,PB,PC,△PAB,△PBC,△PAC的面积分别为S1,S2,S3,则S1 < S2+S3.(填“>”“=”或“<”) 【解析】过P点作PD⊥AB于点D,作PE⊥AC于点E,作PF⊥BC于点F,∵P是△ABC的内心,∴PD=PE=PF,∵S1=12AB·PD,S2=12BC·PF,S3=12AC·PE,又AB<BC+AC,∴S1<S2+S3.12.如图,在半径为4cm的☉O中,劣弧AB的长为2πcm,则∠C= 45° . 【解析】连接OA,OB,设∠AOB的度数为n,则nπ×4180=2π,解得n=90°,∴∠C=12∠AOB=45°.13.观察下列式子:当n=2时,a=2×2=4,b=22-1=3,c=22+1=5;当n=3时,a=2×3=6,b=32-1=8,c=32+1=10;当n=4时,a=2×4=8,b=42-1=15,c=42+1=17;…根据上述发现的规律,用含n(n≥2的整数)的代数式表示上述特点的勾股数a= 2n ,b= n2-1 ,c= n2+1 . 【解析】观察题目所列式子,易得出勾股数a=2n,b=n2-1,c=n2+1.12\n14.如图,在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.有以下四个结论:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;④BE2=2(AD2+AB2).其中结论正确的是 ①②③ .(只填序号) 【解析】设AC与BD交于点F,∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中,AD=AE,∠BAD=∠CAE,AB=AC,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE,故①正确;∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE.∵∠CAB=90°,∴∠ABD+∠AFB=90°,∴∠ACE+∠AFB=90°.∵∠DFC=∠AFB,∴∠ACE+∠DFC=90°,∴∠FDC=90°,∴BD⊥CE,故②正确;∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=45°,∴∠ABD+∠DBC=45°,∴∠ACE+∠DBC=45°,故③正确;∵BD⊥CE,∴BE2=BD2+DE2=BC2-CD2+DE2=2AB2-CD2+2AD2,∴BE2≠2(AD2+AB2),故④错误.三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.如图,在▱ABCD中,BC=2AB=4,点E,F分别是BC,AD的中点.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)当四边形AECF为菱形时,求该菱形的面积.解:(1)在▱ABCD中,AB=CD,∠B=∠D,BC=AD.∵E,F分别是BC,AD的中点,∴BE=DF.2分在△ABE与△CDF中,AB=CD,∠B=∠D,BE=DF,∴△ABE≌△CDF(SAS).5分(2)当四边形AECF为菱形时,△ABE为边长为2的等边三角形,过点A作AH⊥BC于点H,则AH=3.∴菱形AECF的面积为23.8分16.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点).如果点A的坐标为(2,-1),按要求画出格点△A1B1C1和格点△A1B2C2.(1)先画出平面直角坐标系,并作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的图形△A1B1C1;(2)请画一个格点△A1B2C2,使得△A1B1C1∽△A1B2C2,且相似比为1∶2.解:(1)如图.4分12\n(2)本题是开放题,答案不唯一,只要作出的△A1B2C2满足题意即可.8分四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度.已知烈山坡面与水平面的夹角为30°,山高857.5尺,组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点,在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°,求雕像AB的高度.解:过点E作EF⊥AC于点F,EG⊥CD于点G.1分在Rt△DEG中,∵DE=1620,∠D=30°,∴EG=DE·sin∠D=1620×12=810.3分又∵BC=857.5,CF=EG,∴BF=BC-CF=47.5,在Rt△BEF中,∵tan∠BEF=BFEF,∴EF=3BF,5分在Rt△AEF中,∠AEF=60°,设AB=x,∵tan∠AEF=AFEF,∴AF=EF·tan∠AEF,即x+47.5=(3)2×47.5,解得x=95.答:雕像AB的高度为95尺.8分12\n18.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E.(1)求证:AE=AC;(2)若AE=5,DE=3,连接OE,求tan∠OEC的值.解:(1)∵四边形ABCD为矩形,∴AC=BD,AB∥DE,∵AE∥BD,∴四边形ABDE为平行四边形,2分∴AE=BD,∴AE=AC.3分(2)过点O作OF⊥CD于点F.∵四边形ABCD为矩形,∴∠ADE=90°.∵AE=5,DE=3,∴在Rt△ADE中,由勾股定理可得AD=4.4分由(1)知,AE=AC,且AD⊥CE,∴DC=DE=3,同理可得CF=DF=12CD=32,∴EF=3+32=92.6分∵OA=OC,∴OF为△ACD的中位线,∴OF=12AD=2.7分∴在Rt△OEF中,tan∠OEC=OFEF=49.8分五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,已知AB∥CD,现将一直角三角形PMN放入图中,其中∠P=90°,PM交AB于点E,PN交CD于点F.(1)当△PMN所放位置如图1所示时,则∠PFD与∠AEM的数量关系为 ; (2)当△PMN所放位置如图2所示时,求证:∠PFD-∠AEM=90°;(3)在(2)的条件下,若MN与CD交于点O,且∠DON=30°,∠PEB=15°,求∠N的度数.12\n解:(1)∠PFD+∠AEM=90°.3分(2)设PN交AB于点H,∵AB∥CD,∴∠PFD=∠EHF,又∠EHF=∠P+∠PEH,5分∵∠P=90°,∠PEH=∠AEM,∴∠EHF=∠P+∠AEM,∴∠PFD-∠AEM=90°.7分(3)∵∠P=90°,∴∠PHE=90°-∠PEB=90°-15°=75°,∵AB∥CD,∴∠PFC=∠PHE=75°,∵∠PFC=∠N+∠DON,∴∠N=75°-30°=45°.10分20.如图所示,第1个正方形的边是第1个等腰直角三角形的斜边,第1个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边,第2个正方形的边是第2个等腰直角三角形的斜边,…,依此不断连接下去,设第1个正方形的边长为2,求:(1)第2个正方形的边长a2,面积S2;(2)第3个及第4个正方形的面积S3,S4;(3)通过观察研究,写出第2022个正方形的面积S2022.解:(1)根据题意得第2个正方形的边长a2=22a1=2,面积S2=(2)2=2.2分(2)第3个正方形的边长a3=22a2=22×22a1=222a1=1,面积S3=1;4分第4个正方形的边长a4=22a3=22×222a1=223a1=22,面积S4=12.6分(3)第2022个正方形的边长a2022=222022a1,8分∵a1=2,∴a2022=2×222022,∴面积S2022=4×222022×2=122022.10分六、(本题满分12分)12\n21.如图,在平面直角坐标系中,△OAB是边长为2的等边三角形,过点A的直线y=-33x+m与x轴交于点E.(1)求点E的坐标;(2)求过A,O,E三点的抛物线的解析式;(3)若点P是(2)中求出的抛物线AE段上一动点(不与A,E重合),设四边形OAPE的面积为S,求S的最大值.解:(1)过点A作AF⊥x轴于点F,所以OF=1,AF=3,所以点A(1,3),代入直线解析式,得-33×1+m=3,所以m=433.2分所以y=-33x+433.当y=0时,得x=4,所以点E的坐标为(4,0).4分(2)设过A,O,E三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,因为抛物线过原点,所以c=0.5分因为A(1,3),E(4,0),所以a+b=3,16a+4b=0,解得a=-33,b=433.所以抛物线的解析式为y=-33x2+433x.8分(3)如图,过点P作PG⊥x轴于点G,设点P的坐标为(x,y),S四边形OAPE=S△AOF+S梯形AFGP+S△PGE=1×3×12+(3+y)×(x-1)×12+(4-x)×y×12=12(3x+3y)=12(-3x2+53x)=-32x-522+2538.11分当x=52时,S最大=2538.所以S的最大值为2538.12分七、(本题满分12分)22.△ABC是☉O的内接三角形,BC=3.12\n(1)如图1,若AC是☉O的直径,∠BAC=60°,延长BA到点D,使得DA=12BA,过点D作直线l⊥BD,垂足为D,请将图形补充完整,判断直线l和☉O的位置关系并说明理由;(2)如图2,∠B=120°,点D是优弧AC的中点,DE∥BC交BA延长线于点E,BE=2,请将图形补充完整并求AB的值.解:(1)图形如图1所示,直线l与☉O相切.2分理由:作OF⊥l于点F,交BC于点E,∵AC是直径,∴∠B=90°,∵l⊥BD,∴∠B=∠D=∠DFE=90°,∴四边形BDFE是矩形.设AD=a,则AB=2AD=2a,∴EF=BD=3a.4分∵OA=OC,OE∥AB,∴OE=12AB=a,∴OF=2a.∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=30°,AB=2a,∴AC=4a,∴OF=OA,∴直线l与☉O相切.6分(2)图形如图2所示.7分连接AD,BD,CD.∵AD=CD,∠ABC=120°,∴∠EBD=∠CBD=60°,∵DE∥BC,∴∠ABC+∠E=180°,∴∠E=60°,∴△BED是等边三角形,∴∠EDB=60°,ED=DB,∵∠ACD=∠ABD=60°,∠DAC=∠CBD=60°,∴△ACD是等边三角形,9分∴∠ADC=60°,DA=DC,∴∠EDB=∠ADC,∴∠ADE=∠BDC,在△EDA和△BDC中,ED=BD,∠ADE=∠BDC,DA=DC,12\n∴△EDA≌△BDC(SAS),11分∴AE=BC=3,∵BE=2,∴AB=BE-AE=2-3.12分八、(本题满分14分)23.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图1,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线;(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数;(3)如图2,在△ABC中,AC=2,BC=2,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.解:(1)∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,∴△ABC不是等腰三角形,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=40°,∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD为等腰三角形,2分∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,∴△BCD∽△BAC,∴CD为△ABC的完美分割线.4分(2)当AD=CD时,如图1,∠ACD=∠A=48°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.6分当AD=AC时,如图2,∠ACD=∠ADC=180°-48°2=66°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.8分当AC=CD时,如图3,∠ADC=∠A=48°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,又∵∠ADC>∠BCD,矛盾,舍去.综上,∠ACB=96°或114°.10分(3)由已知得AC=AD=2,12\n∵△BCD∽△BAC,∴BCBA=BDBC,设BD=x,∴(2)2=x(x+2),∵x>0,∴x=3-1,12分又∵CDAC=BDBC=3-12,∴CD=3-12×2=6-2.14分12
