2022年天津市南开区中考数学一模试卷参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（3分）tan30°的值等于（ ） A．B．C．D．考点：特殊角的三角函数值．分析：根据tan30°=即可得出答案．解答：解：tan30°=×=．故选C．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键． 2．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A．B．C．D．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．解答：解：A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意．故选A．点评：本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．（3分）（2022•南开区一模）纳米是一个长度单位，1纳米=0.000000001米，如果把水分子看成是球形，它的直径约为0.4纳米，用科学记数法表示为4×10n米，那么n的值是（ ） A．9B．10C．﹣9D．﹣10考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n21\n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：∵1纳米=0.000000001米∴0.4纳米=4×10﹣10米；则n=﹣10．故选：D．点评：本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4．（3分）（2022•牡丹江）如图，⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB，垂足为P．若OP：OB=3：5，则CD的长为（ ） A．6cmB．4cmC．8cmD．10cm考点：垂径定理；勾股定理．分析：根据⊙O的直径可得出半径OB的长，也就求出OP的长；连接OC，在Rt△OCP中，运用勾股定理可求出CP的长，进而可依据垂径定理求得CD的长．解答：解：连接OC；∵AB=10cm，∴OB=5cm；∵OP：OB=3：5，∴OP=3cm；Rt△OCP中，OC=OB=5cm，OP=3cm；由勾股定理，得：CP==4cm；所以CD=2PC=8cm，故选C．点评：此题主要考查的是勾股定理及垂径定理的应用． 5．（3分）（2022•南开区一模）北京市环保检测中心网站公布的2022年3月31日的PM2.5研究性检测部分数据如下表：时间0：004：008：0012：0016：0020：00PM2.5（mg/m3）0.0270.0350.0320.0140.0160.032则该日这6个时刻的PM2.5的众数和中位数分别是（ ）21\n A．0.032，0.0295B．0.026，0.0295C．0.026，0.032D．0.032，0.027考点：众数；中位数．分析：根据中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）和众数的定义求解即可．解答：解：∵该日6个时刻的PM2.5中0.032出现了两次，次数最多，∴众数是0.032，把这六个数从小到大排列为：0.014，0.016，0.027，0.032，0.032，0.035，所以中位数是（0.027+0.032）÷2=0.0295，故选A．点评：本题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错，众数是一组数据中出现次数最多的数． 6．（3分）（2022•安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（ ） A．2a2B．3a2C．4a2D．5a2考点：正多边形和圆；等腰直角三角形；正方形的性质．分析：根据正八边形的性质得出∠CAB=∠CBA=45°，进而得出AC=BC=a，再利用正八边形周围四个三角形的特殊性得出阴影部分面积即可．解答：解：∵某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，∴AB=a，且∠CAB=∠CBA=45°，∴sin45°===，∴AC=BC=a，∴S△ABC=×a×a=，∴正八边形周围是四个全等三角形，面积和为：×4=a2．21\n正八边形中间是边长为a的正方形，∴阴影部分的面积为：a2+a2=2a2，故选：A．点评：此题主要考查了正八边形的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出S△ABC的值是解题关键． 7．（3分）（2022•海南）由几个大小相同的小正方体组成的立体图形的俯视图如图所示，则这个立体图形应是下图中的（ ） A．B．C．D．考点：由三视图判断几何体．分析：由俯视图判断出组合的正方体的几何体的列数即可．解答：解：根据给出的俯视图，这个立体图形的左边有2列正方体，右边1列正方体．故选C．点评：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 8．（3分）（2022•南开区一模）在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F是BC的中点，连接DE、EF、FD，则以下结论中一定正确的个数有（ ）①EF=FD；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等边三角形． A．0个B．1个C．2个D．3个21\n考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线．分析：①EF、FD是直角三角形斜边上的中线，都等于BC的一半；②可证△ABD∽△ACE；③证明∠EFD=60°．解答：解：①∵BD、CE为高，∴△BEC、△BDC是直角三角形．∵F是BC的中点，∴EF=DF=BC．故此选项正确；②∵∠ADB=∠AEC=90°，∠A公共，∴△ABD∽△ACE，得AD：AB=AE：AC．故此选项正确；③∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．∵F是BC的中点，∴EF=BF，DF=CF．∴∠ABF=∠BEF，∠ACB=∠CDF．∴∠BFE+∠CFD=120°，∠EFD=60°．又∵EF=FD，∴△DEF是等边三角形．故此选项正确．故正确的有3个．故选：D．点评：此题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定、锐角三角函数的定义，熟练利用相关性质得出是解题关键． 9．（3分）（2022•仙桃）甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S（km）随时间t（分）变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲．其中正确的有（ ） A．4个B．3个C．2个D．1个考点：函数的图象．专题：压轴题．分析：观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意义进行解答．解答：解：①乙在28分时到达，甲在40分时到达，所以乙比甲提前了12分钟到达；故①正确；②根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度=10÷=15千米/时；故②正确；④设乙出发x分钟后追上甲，则有：×x=×（18+x），解得x=6，故④正确；③由④知：乙第一次遇到甲时，所走的距离为：6×=6km，故③错误；所以正确的结论有三个：①②④，故选B．点评：读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．21\n 10．（3分）（2022•南开区一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．专题：压轴题．分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x=＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x=2时，y=4a+2b+c＜0，当x=1时，a+b+c=2．∵＞2，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选D．点评：考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分11．（3分）（2022•黔东南州）计算：（x2）3= x6 ．21\n考点：幂的乘方与积的乘方．分析：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，进行计算．解答：解：原式=x2×3=x6．故答案为x6．点评：此题考查了幂的乘方的性质． 12．（3分）（2022•盐城）分解因式：a2﹣4b2= （a+2b）（a﹣2b） ．考点：因式分解-运用公式法．分析：直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．解答：解：a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）．点评：本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键． 13．（3分）（2022•菏泽）从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0中的k值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是 ．考点：概率公式；根的判别式．专题：压轴题．分析：所得的方程中有两个不相等的实数根，根的判别式△=b2﹣4ac的值大于0，将各个值代入，求出值后，再计算出概率即可．解答：解：△=b2﹣4ac=1﹣4k，将﹣2，﹣1，0，1，2分别代入得9，5，1，﹣3，﹣7，大于0的情况有三种，故概率为．点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14．（3分）（2022•南开区一模）将一次函数y=x﹣2的图象平移，使其经过点（2，3），则所得直线的函数解析式是
y=x+1 ．考点：一次函数图象与几何变换．专题：待定系数法．分析：根据平移不改变k的值可设y=x+b，然后将点（2，3）代入即可得出直线的函数解析式．解答：解：设y=x+b，∴3=2+b，解得：b=1．∴函数解析式为：y=x+1．故答案为：y=x+1．点评：本题要注意利用一次函数的特点，求出未知数的值从而求得其解析式，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变．21\n 15．（3分）（2022•南开区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD=130°，则∠BOD= 100 °．考点：圆周角定理．分析：结合已知条件可以推出∠A=50°，根据圆周角定理即可推出∠BOD=100°．解答：解：∵四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD=130°，∴∠A=50°，∴∠BOD=100°．故答案为100°．点评：本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，关键在于求出∠A的度数． 16．（3分）（2022•宿迁）如图，把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径是 4 cm．考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：首先求得圆的周长，利用三等分求得扇形的弧长，利用扇形的弧长等于圆锥底面的周长求得底面的半径即可．解答：解：∵把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，∴扇形的弧长为：×2πr=8π，∵扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴2πr=8π，解得：r=4cm，故答案为：4点评：正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 17．（3分）（2022•南开区一模）如图，在矩形ABCD中，AB=9，，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，则∠CQP= 30° ．21\n考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．专题：几何图形问题；压轴题．分析：在Rt△ABD中，根据AB、AD的长，即可求出∠ABD的度数，也就得到∠CDB的度数；而∠CQP和∠CDB是平行线的同位角，因此这两角相等，由此得出∠CQP的度数．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°；Rt△ABD中，AD=3，AB=9，则tan∠ABD==，即∠ABD=30°；∴∠CDB=∠ABD=30°；∵PQ∥BD，∴∠CQP=∠CDB=30°．故答案为：30°．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 18．（3分）（2022•南开区一模）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO和△CBO均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，若△BOC的面积为1，试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积．小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构成一个三角形，在计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E，使得OE=CO，连接BE，可证△OBE≌△OAD，从而等到的△BCE即时以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）．（I）请你回答：图2中△BCE的面积等于 2 ．（II）请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：如图3，已知ABC，分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI，连接EG、FH、ID．若△ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于 3 ．考点：几何变换综合题．分析：（I）由等腰直角三角形的性质、旋转的性质知，△OEB与△BOC是等底同高的两个三角形；（II）如图2，根据正方形的性质推知△ABE和△ACG都是等腰直角三角形，则根据旋转的性质推知S△AEG=S△AEM=S△AMG=S△ABC=1，所以易求△EGM的面积．21\n解答：解：（I）∵△ABO和△CDO均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OD=OC，OA=OB．又∵将△AOD绕点O顺时针旋转90°得△OBE，∴∠DOE=90°，OD=OE，∴点C、O、E三点共线，∵OC=OE，∴△OEB与△BOC是等底同高的两个三角形，∴S△OEB=S△BOC=1，∴S△BCE=S△OEB+S△BOC=2．故答案为：2；（II）如图2，∵四边形AEDB和四边形ACFG都是正方形，∴△ABE和△ACG都是等腰直角三角形，∴S△AEG=S△AEM=S△AMG=S△ABC=1，∴S△EGM=S△AEG+S△AEM+S△AMG=3，即以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于3．故答案是：3．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积、等腰三角形的性质以及正方形的性质．注意平移、旋转的性质的应用． 三、解答题：本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程．21\n19．（6分）（2022•南开区一模）解不等式组．考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：分别解两个不等式得到x＜1和x≥﹣，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集．解答：解：，解①得x＜1，解②得x≥﹣，所以不等式组的解集为﹣≤x＜1．点评：本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集． 20．（8分）（2022•南开区一模）我市公安部门加大对“酒后驾车”的处罚力度后，某记者在某区随机选取了几个停车场对开车的司机进行了相关的调查，本次调查结果有四种情况：A、醉酒后开车；B、喝酒后不开车或请专业司机代驾；C、少量饮酒，但体内酒精含量未达到酒驾标准；D、从不喝酒．将这次调查情况整理并绘制了如下尚不完整的统计图1和图2，请根据相关信息，解决下列问题．（I）该记者本次一共调查了 200 名司机；（II）图1中情况D所在扇形的圆心角为 162 °；（III）补全图2；（IV）若该区有3万名司机，则其中不违反“酒驾”禁令的人数约为 29700 人．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）从扇形图可看出A种情况占1%，从条形图知道有2人，可求出总人数；（2）求出D所占的百分比然后乘以360°就可得到圆心角度数；21\n（3）分别求出情况B、C的人数即可补全图二；（4）3万人数乘以不违反“酒驾”禁令的人数所占的百分比即可求出答案．解答：解：（1）该记者本次一共调查的司机数是：2÷1%=200名；（2）图一中情况D所在扇形的圆心角为360°×=162°；（3）如图：（4）若该区有3万名司机，则其中不违反“酒驾”禁令的人数约为：30000×99%=29700人．故答案为：200；162；29700．点评：本题考查对扇形图和条形图的认知能力，知道扇形图表现的是部分占整体的百分比，条形图告诉我们每组里面的具体数据，从而可求答案． 21．（8分）（2022•兰州）已知正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象有一个交点的横坐标是2．（1）求两个函数图象的交点坐标；（2）若点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的两点，且x1＜x2，试比较y1，y2的大小．考点：反比例函数综合题．专题：综合题．分析：（1）交点的坐标就是方程组的解，把X=2代入解次方程组即得交点坐标；（2）根据反比例函数的增减性和图象位置，通过分类讨论，就能比较y1，y2的大小．解答：解：（1）将x=2代入正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=中，得：2k=，解得：k=1．∴正比例函数的表达式为y=x，反比例函数的表达式为y=．∴x=，即x2=4，得x=±2．21\n∴两函数图象交点的坐标为（2，2），（﹣2，﹣2）；（2）∵反比例函数y=的图象分别在第一，三象限内，在每一象限内y的值随x值的增大而减小，∴当x1＜x2＜0时，y1＞y2．当0＜x1＜x2，时，y1＞y2．当x1＜0＜x2时，因为，，所以y1＜y2．点评：本题考查了反比例函数的综合应用，能够熟练根据解析式求得点的坐标是解决此题的关键． 22．（8分）（2022•南开区一模）如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B=∠D=30°．（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，求⊙O的半径和线段AD的长．考点：切线的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．专题：证明题．分析：（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠O的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OAD，根据切线的判定推出即可；（2）得出等边三角形AOC，求出OA，根据锐角三角函数的定义得出tanO=，代入求出即可．解答：（1）解：直线AD与⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OA，∵弧AC所对的圆心角是∠AOC，所对的圆周角是∠ABC，∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵∠D=30°，∴∠OAD=180°﹣30°﹣60°=90°，∴OA⊥AD，∵OA是⊙O半径，∴AD是⊙O切线，21\n即直线AD与⊙O的位置关系是相切；（2）解：∵由（1）知：∠AOC=60°，OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA=OC=AC=6，在Rt△OAD中，tan60°==，∴AD=6，答：⊙O半径是6，AD长是6．点评：本题考查的知识点是切线的性质和判定，锐角三角函数的定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，圆周角定理等，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力． 23．（8分）（2022•十堰）某数学兴趣小组在学习了《锐角三角函数》以后，开展测量物体高度的实践活动，他们在河边的一点A测得河对岸小山顶上一座铁塔的塔顶C的仰角为66°、塔底B的仰角为60°，已知铁塔的高度BC为20m（如图），你能根据以上数据求出小山的高BD吗？若不能，请说明理由；若能，请求出小山的高BD．（精确到0.1m）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：数形结合．分析：在Rt△ABD中，知道∠BAD=60°，在Rt△ACD中知道∠CAD=66°，AD是Rt△ABD和Rt△ACD的公共边，求BD的长，而DC=BD+BC=BD+20，设BD为x，用AD的长度作为相等关系，列方程即可求出BD．解答：解：能求出小山的高．设小山的高BD为xm，在Rt△ABD中，=tan∠BAD=tan60°，AD=，同理，在Rt△ACD中得AD=，∴，解得：，答：小山的高BD约为67.4m．点评：21\n主要考查了从实际问题中抽象出几何图形的能力，把实际问题转化为数学问题来解决，本题主要运用了解直角三角形中的三角函数，所以要掌握一个角所对应正弦，余弦，正切值的表示方法，并会用三角函数值求边长． 24．（8分）（2022•南开区一模）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500．（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．专题：应用题；压轴题．分析：①根据理解题意列出二次函数关系式，再根据求二次函数最值的方法求解便可解出答案．②把2000反代入上述二次函数关系式，根据函数性质，确定单价．解答：解：（1）由题意可得：w=（x﹣20）•y=（x﹣20）•（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250，答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意可知：﹣10x2+700x﹣10000=2000解这个方程得：x1=30，x2=40．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．故答案为①销售单价定为35元时，每月可获得最大利润；②李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．点评：本题主要考查了二次函数求最值的方法，以及一元二次方程的解法． 25．（10分）（2022•广州）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣x+b交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．考点：一次函数综合题．专题：压轴题；分类讨论．21\n分析：（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．解答：解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），∴B（3，1），若直线经过点A（3，0）时，则b=若直线经过点B（3，1）时，则b=若直线经过点C（0，1）时，则b=1①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图1，此时E（2b，0）∴S=OE•CO=×2b×1=b；②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2此时E（3，），D（2b﹣2，1），∴S=S矩﹣（S△OCD+S△OAE+S△DBE）=3﹣[（2b﹣2）×1+×（5﹣2b）•（﹣b）+×3（b﹣）]=b﹣b2，∴S=；（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，∠MED=∠NED又∵∠MDE=∠NED，∴∠MED=∠MDE，∴MD=ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，由题意知，D（2b﹣2，1），E（2b，0），∴DH=1，HE=2b﹣（2b﹣2）=2，∴HN=HE﹣NE=2﹣a，21\n则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2=（2﹣a）2+12，∴a=，∴S四边形DNEM=NE•DH=．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．点评：本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖，是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度． 26．（10分）（2022•株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得（如图1），求a的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标 ﹣4 ；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．21\n考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）先求出B点坐标，代入抛物线y=ax2（a＜0）得a的值；（2）过点A作AE⊥x轴于点E，可证△AEO∽△OFB，得出AE=2OE，可得方程点A的横坐标．（3）设A（﹣m，）（m＞0），B（n，）（n＞0），易知△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点（0，﹣2）．解答：解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，∵，∠AOB=90°，∴AC=OC=BC=2，∴B（2，﹣2），将B（2，﹣2）代入抛物线y=ax2（a＜0）得，．（2）解法一：过点A作AE⊥x轴于点E，∵点B的横坐标为1，∴B（1，），∴．又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，又∵∠AEO=∠OFB=90°，∴△AEO∽△OFB，∴，∴AE=2OE，设点A（﹣m，）（m＞0），则OE=m，21\n，∴，∴m=4，即点A的横坐标为﹣4．解法二：过点A作AE⊥x轴于点E，∵点B的横坐标为1，∴B（1，），∴，∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，∴，∴AE=2OE，设点A（﹣m，）（m＞0），则OE=m，，∴，∴m=4，即点A的横坐标为﹣4．解法三：过点A作AE⊥x轴于点E，∵点B的横坐标为1，∴B（1，），设A（﹣m，）（m＞0），则，，，∵∠AOB=90°∴AB2=OA2+OB2，∴（1+m）2+（﹣+m2）2=+m2+m4，解得：m=4，即点A的横坐标为﹣4．（3）解法一：设A（﹣m，）（m＞0），B（n，）（n＞0），21\n设直线AB的解析式为：y=kx+b，则，（1）×n+（2）×m得，，∴（8分）又易知△AEO∽△OFB，∴，∴，∴mn=4，∴．由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，﹣2）．（说明：写出定点C的坐标就给2分）解法二：∵点A是抛物线y=﹣x2上的点，∴设A（﹣m，）（m＞0），B（n，）（n＞0），直线AB与y轴的交点为C，根据S△AOB=S梯形ABFE﹣S△AOE﹣S△B0F=S△AOC+S△BOC，可得，化简，得．又易知△AEO∽△OFB，∴，∴，∴mn=4，∴OC=2为固定值．故直线AB恒过其与y轴的交点C（0，﹣2），说明：mn的值也可以通过以下方法求得．由前可知，，，，由OA2+OB2=AB2，得：，化简，得mn=4．本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分．21\n点评：本题着重考查了抛物线的对称性和相似三角形的判定和性质，第（3）问求出mn=4是解题的关键，综合性较强，有一定的难度． 21
