2022年四川省成都市青羊区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2022•无锡）sin45°的值等于（ ） A．B．C．D．1考点：特殊角的三角函数值．分析：根据特殊角度的三角函数值解答即可．解答：解：sin45°=．故选B．点评：此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可． 2．（3分）（2022•常德）若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（ ） A．m≤﹣1B．m≤1C．m≤4D．考点：根的判别式．专题：计算题；压轴题．分析：由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．解答：解：∵一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，∴b2﹣4ac=22﹣4m≥0，解得：m≤1，则m的取值范围是m≤1．故选B点评：此题考查了一元二次方程解的判断方法，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解与b2﹣4ac有关，当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解． 3．（3分）（2022•铜仁地区）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数的图象过点A，则k的值是（ ） A．2B．﹣2C．4D．﹣4考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：数形结合．21\n分析：根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k，同时|k|也是该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积即可解答．解答：解：因为图象在第二象限，所以k＜0，根据反比例函数系数k的几何意义可知|k|=2×2=4，所以k=﹣4．故选D．点评：本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|． 4．（3分）（2022•鞍山）已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（ ） A．45°B．35°C．25°D．20°考点：圆周角定理．专题：探究型．分析：直接根据圆周角定理进行解答即可．解答：解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠ACB=∠AOB=45°．故选A．点评：本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 5．（3分）（2022•张家界）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（ ） A．1B．﹣1C．0D．无法确定考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义．分析：把x=1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．解答：解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B．点评：本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键． 6．（3分）（2022•丽水）分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ） A．B．C．D．21\n考点：概率公式．分析：让是负数的卡片数除以总卡片数即为所求的概率，即可选出．解答：解：∵五张卡片分别标有0，﹣1，﹣2，1，3五个数，数字为负数的卡片有2张，∴从中随机抽取一张卡片数字为负数的概率为．故选B．点评：本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 7．（3分）（2022•青羊区一模）抛物线y=x2+2x﹣3的顶点在第（ ）象限． A．一B．二C．三D．四考点：二次函数的性质．分析：先根据抛物线的顶点式求出抛物线y=x2+2x﹣3的顶点坐标，再根据各象限内点的坐标特点进行解答．解答：解：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴顶点坐标为：（﹣1，﹣4），∵﹣1＜0，﹣4＜0，∴顶点在第三象限．故选C．点评：本题考查的是二次函数的性质及各象限内点的坐标特点，根据题意得出抛物线的顶点坐标是解答此题的关键． 8．（3分）（2022•湛江）湛江市2022年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2022年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A．5500（1+x）2=4000B．5500（1﹣x）2=4000C．4000（1﹣x）2=5500D．4000（1+x）2=5500考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题；压轴题．分析：根据下一年的房价等于上一年的房价乘以（1+x），可以列出2022年的房价，2022年将达到每平方米5500元，故可得到一个一元二次方程．解答：解：设年平均增长率为x，那么2022年的房价为：4000（1+x），2022年的房价为：4000（1+x）2=5500．故选：D．点评：本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程：解决实际问题时，要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 9．（3分）（2022•山西）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）21\n A．B．C．D．考点：菱形的性质；勾股定理．专题：压轴题．分析：根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．解答：解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO，∴BC==5cm，∴S菱形ABCD==×6×8=24cm2，∵S菱形ABCD=BC×AE，∴BC×AE=24，∴AE=cm，故选D．点评：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分． 10．（3分）（2022•眉山）下列命题中的假命题是（ ） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．一组邻边相等的矩形是正方形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形考点：命题与定理．专题：综合题．分析：要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．解答：解：A、根据菱形的判定定理，正确；B、根据正方形和矩形的定义，正确；C、符合平行四边形的定义，正确；D、错误，可为不规则四边形．故选D．点评：本题考查菱形、矩形和平行四边形的判定与命题的真假区别． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）（2022•青羊区一模）方程x2=3x的根是 0或3 ．21\n考点：解一元二次方程-因式分解法．分析：本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．解答：解：x2=3xx2﹣3x=0即x（x﹣3）=0∴x=0或3故本题的答案是0或3．点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法． 12．（4分）（2022•青羊区一模）二次函数y=﹣（x﹣1）（x+3）的对称轴是直线 x=﹣1 ．考点：二次函数的性质．分析：利用配方法或抛物线的对称轴的公式即可求解．解答：解：y=﹣（x﹣1）（x+3），=﹣（x2+2x﹣3），=﹣（x2+2x+1﹣4），=﹣（x+1）2+4，对称轴为x=﹣1，故答案为：x=﹣1．点评：此题主要考查了求抛物线的对称轴，既可以利用配方法，也可以利用对称轴的公式解决问题． 13．（4分）（2022•怀化）如图，点P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，⊙O的半径OA=2cm，∠P=30°，则PO= 4 cm．考点：切线的性质；含30度角的直角三角形．专题：压轴题．分析：根据切线的性质判定△APO为直角三角形，然后在直角三角形中，利用30度角所对的直角边OA等于斜边PO的一半即可求得PO的值．解答：解：∵如图，PA是⊙O的切线，∴PA⊥OA，∴∠PAO=90°；又∵∠P=30°（已知），∴PO=2OA（30°角所对的直角边是斜边的一半）；∵OA=2cm（已知），∴PO=4cm；故答案是：4．21\n点评：本题考查了切线的性质、含30度角的直角三角形．运用切线的性质可推知∠PAO=90°，即△PAO是直角三角形． 14．（4分）（2022•青羊区一模）已知一斜坡的坡度为1：，则斜坡的坡角为 30 度．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：坡度=坡角的正切值，以此求出坡角的度数．解答：解：设坡角为α，由题意知：tanα==，∴∠α=30°．即斜坡的坡角为30°．点评：此题考查的是坡度和坡角的关系，坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡． 三、解答题（本大题2个小题，共18分）15．（12分）（2022•青羊区一模）计算：（1）（2）解方程：x（x﹣2）+x﹣2=0．考点：解一元二次方程-因式分解法；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：（1）根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值分别进行计算，再把所得的结果相加哎即可；（2）根据因式分解法解一元二次方程的步骤，分别进行计算，即可求出答案．解答：解：（1）=3﹣2++9=12﹣；（2）x（x﹣2）+x﹣2=0，x2﹣2x+x﹣2=0，x2﹣x﹣2=0，（x﹣2）（x+1）=0，x1=2，x2=﹣1．点评：此题考查了因式分解法解一元二次方程和实数的运算，掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值以及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 16．（6分）（2022•天水）如图，某船向正东航行，在A处望见某岛C在北偏东60°，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°，己知在该海岛周围6海里内有暗礁，问若船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．21\n考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：计算题．分析：判断有无危险只要求出点C到AB的距离，与6海里比较大小就可以．解答：解：过点C作CD⊥AB于点D，∵∠CAD=90°﹣60°=30°，∠CBD=90°﹣30°=60°，∴∠ACB=∠CBD﹣∠CAD=30°=∠CDA，∴BC=AB=6，在Rt△CBD中，sin∠CBD=，∴CD=CB•sin60°=6×=3＜6答：若船继续向东航行，有触礁危险．点评：解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 四、解答题（本题8分）17．（8分）（2022•舟山）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．（1）求证：BD=EC；（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．考点：菱形的性质；平行四边形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，然后证明得到BE=CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．21\n解答：（1）证明：∵菱形ABCD，∴AB=CD，AB∥CD，又∵BE=AB，∴BE=CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD=EC；（2）解：∵平行四边形BECD，∴BD∥CE，∴∠ABO=∠E=50°，又∵菱形ABCD，∴AC丄BD，∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°．点评：本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直是解本题的关键． 五、解答题（本大题2个小题，共18分）18．（8分）（2022•青羊区一模）有三张正面分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y的值，两次结果记为（x，y）．（1）用树状图或列表法表示（x，y）所有可能出现的结果；（2）若（x，y）表示平面直角坐标系的点，求点（x，y）在图象上的概率．考点：列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：（1）根据题意列出图表，即可表示（x，y）所有可能出现的结果；（2）根据反比例函数的性质求出在图象上的点，即可得出答案．解答：解：（1）用列表法表示（x，y）所有可能出现的结果如下：﹣2﹣11﹣2（﹣2，﹣2）（﹣1，﹣2）（1，﹣2）﹣1（﹣2，﹣1）（﹣1，﹣1）（1，﹣1）1（﹣2，1）（﹣1，1）（1，1）（2）∵点（x，y）在图象上的只有（﹣2，1），（1，﹣2），∴点（x，y）在图象上的概率．点评：此题考查了树状图法与列表法求概率．此题难度不大，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格，注意树状图法与列表法可以不重不漏地表示出所有等可能的结果，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19．（10分）（2022•青羊区一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（6，﹣1），DE=3．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）求△CDE的面积．21\n考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：（1）将C坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出反比例解析式，再由DE为3得到D纵坐标为3，将y=3代入反比例解析式中求出x的值，即为D的横坐标，设直线解析式为y=kx+b，将D与C的坐标代入求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）过C作CH垂直于x轴，由C、D的纵坐标确定出DE与CH的长，分别为三角形ADE与三角形ACE中AE边上的高，由三角形CDE的面积=三角形AED的面积+三角形AEC的面积，求出即可．解答：解：（1）∵点C（6，﹣1）在反比例y=图象上，∴将x=6，y=﹣1代入反比例解析式得：﹣1=，即m=﹣6，∴反比例解析式为y=﹣，∵点D在反比例函数图象上，且DE=3，即D纵坐标为3，将y=3代入反比例解析式得：3=﹣，即x=﹣2，∴点D坐标为（﹣2，3），设直线解析式为y=kx+b，将C与D坐标代入得：，解得：，∴一次函数解析式为y=﹣x+2；（2）过C作CH⊥x轴于点H，∵C（6，﹣1），∴CH=1，对于一次函数y=﹣x+2，令y=0，求得x=4，故A（4，0），由D坐标（﹣2，3），得到E（﹣2，0），∴AE=OA+OE=6，∴S△CDF=S△CAE+S△DAE=×6×1+×6×3=12．21\n点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 六、解答题（共10分）20．（10分）（2022•恩施州）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．考点：切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线；（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数；（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出EG=BE=5，又Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，进而求出⊙O的半径．解答：（1）证明：连接OB∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC又∵CD⊥OA∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°∴∠OBA+∠ABC=90°∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切线．（2）解：连接OF，AF，BF，∵DA=DO，CD⊥OA，∴AF=OF，∵OA=OF，21\n∴△OAF是等边三角形，∴∠AOF=60°∴∠ABF=∠AOF=30°（3）解：过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，∴EG=BE=5又∵Rt△ADE∽Rt△CGE∴sin∠ECG=sin∠A=，∴CE==13∴CG==12，又∵CD=15，CE=13，∴DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE得=∴AD=•CG=∴⊙O的半径为=2AD=．21\n点评：本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质、圆周角定理以及勾股定理和相似三角形的判定和性质，题目的综合性不小，难度也不小． 一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）21．（4分）（2022•绥化）设a，b是方程x2+x﹣2022=0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为 2022 ．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：根据方程的根的定义，把a代入方程求出a2+a的值，再利用根与系数的关系求出a+b的值，然后两者相加即可得解．解答：解：∵a，b是方程x2+x﹣2022=0的两个不相等的实数根，∴a2+a﹣2022=0，∴a2+a=2022，又∵a+b=﹣=﹣1，∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2022﹣1=2022．故答案为：2022．点评：本题考查了根与系数的关系与一元二次方程的解的定义，考虑把a2+2a+b分成（a2+a）与（a+b）的和是解题的关键． 22．（4分）（2022•青羊区一模）如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，AC=AB，则OC的长为 ．考点：垂径定理；勾股定理．分析：过O作OD⊥AB于D，根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，根据勾股定理求出OC即可．解答：解：过O作OD⊥AB于D，∵OD⊥AB，OD过O，AB=，∴AD=BD=AB=，∵AB=，点C在弦AB上，AC=AB，21\n∴AC=，CD=AD﹣AC=，在Rt△OBD中，由勾股定理得：OD==1，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OC===，故答案为：．点评：本题考查了初级定理和勾股定理的应用，关键是构造直角三角形，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力． 23．（4分）（2022•青羊区一模）已知抛物线y=（k﹣1）x2+（2﹣2k）x+c经过点（﹣3，﹣m）和点（a，﹣m），则a的值为 5 ．考点：二次函数图象上点的坐标特征．分析：先求出抛物线的对称轴为直线x=1，再根据点（﹣3，﹣m）和点（a，﹣m）关于直线x=1对称，即可求出a的值．解答：解：∵y=（k﹣1）x2+（2﹣2k）x+c，∴此抛物线的对称轴为直线x==1，∵点（﹣3，﹣m）和点（a，﹣m）的纵坐标相同，∴点（﹣3，﹣m）和点（a，﹣m）关于直线x=1对称，∴=1，解得a=5．故答案为5．点评：本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，判断出点（﹣3，﹣m）和点（a，﹣m）关于抛物线的对称轴对称是解题的关键． 24．（4分）（2022•兰州）如图，M为双曲线y=上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=﹣x+m于点D、C两点，若直线y=﹣x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B，则AD•BC的值为 2 ．21\n考点：反比例函数综合题．专题：综合题；压轴题．分析：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，由直线的解析式为y=﹣x+m，易得A（0，m），B（m，0），得到△OAB等腰直角三角形，则△ADF和△CEB都是等腰直角三角形，设M的坐标为（a，b），则ab=，并且CE=b，DF=a，则AD=DF=a，BC=CE=b，于是得到AD•BC=a•b=2ab=2．解答：解：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，如图，对于y=﹣x+m，令x=0，则y=m；令y=0，﹣x+m=0，解得x=m，∴A（0，m），B（m，0），∴△OAB等腰直角三角形，∴△ADF和△CEB都是等腰直角三角形，设M的坐标为（a，b），则ab=，CE=b，DF=a，∴AD=DF=a，BC=CE=b，∴AD•BC=a•b=2ab=2．故答案为2．点评：本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；会求一次函数与坐标轴的交点坐标以及灵活运用等腰直角三角形的性质． 25．（4分）（2022•青羊区一模）二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2022在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2022在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2022B2022A2022都为等边三角形，则△A2022B2022A2022的边长= 2022 ．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：先计算出△A0B1A1；△A1B2A2；△A2B3A2的边长，推理出各边长组成的数列各项之间的排列规律，依据规律得到△A2022B2022A2022的边长．21\n解答：解：作B1A⊥y轴于A，B2B⊥y轴于B，B3C⊥y轴于C．设等边△A0B1A1、△A1B2A2、△A2B3A3中，AA1=a，BA2=b，CA2=c．①等边△A0B1A1中，A0A=a，所以B1A=atan60°=a，代入解析式得×（a）2=a，解得a=0（舍去）或a=，于是等边△A0B1A1的边长为×2=1；②等边△A2B1A1中，A1B=b，所以BB2=btan60°=b，B2点坐标为（b，1+b）代入解析式得×（b）2=1+b，解得b=﹣（舍去）或b=1，于是等边△A2B1A1的边长为1×2=2；③等边△A2B3A3中，A2C=c，所以CB3=btan60°=c，B3点坐标为（c，3+c）代入解析式得×（c）2=3+c，解得c=﹣1（舍去）或c=，于是等边△A3B3A2的边长为×2=3．于是△A2022B2022A2022的边长为2022．故答案为：2022．点评：此题主要考查了二次函数和等边三角形的性质的综合应用，将其性质结合在一起，增加了题目的难度，是一道开放题，有利于培养同学们的探索发现意识． 二、解答题（本题8分）26．（8分）（2022•黄石）为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低且Z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．21\n（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益w（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少并求出总收益w的最大值．考点：一次函数的应用．专题：压轴题．分析：（1）总收益=每台收益×总台数；（2）结合图象信息分别利用待定系数法求解；（3）把y与z的表达式代入进行整理，求函数最值．解答：解：（1）该商场销售家电的总收益为800×200=160000（元）；（2）根据题意设y=k1x+800，Z=k2x+200∴400k1+800=1200，200k2+200=160解得k1=1，k2=﹣∴y=x+800，Z=﹣x+200；（3）W=yZ=（x+800）•（﹣x+200），=﹣（x﹣100）2+162000．∵﹣＜0，∴W有最大值．当x=100时，W最大=162000∴政府应将每台补贴款额x定为100元，总收益有最大值其最大值为162000元．点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式和二次函数的最值问题，审好题非常重要！ 三、解答题（本题10分）27．（10分）（2022•青羊区一模）如图，△ABC中AB=AC，BC=6，，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；21\n考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题；分类讨论．分析：（1）过点P做PF平行与AQ，由平行我们得出一对同位角和一对内错角的相等，再由AB=AC，根据等边对等角得角B和角ACB的相等，根据等量代换的角B和角PFB的相等，根据等角对等边得BP=PF，又因点P和点Q同时出发，且速度相同即BP=CQ，等量代换得PF=CQ，在加上对等角的相等，证得三角形PFD和三角形QCD的全等，根据全等三角形的对应边边相等得出DF=CD=CF，而又因P是AB的中点，PF∥AQ得出F是BC的中点，进而根据已知的BC的长，求出CF，即可得出CD的长．（2）分两种情况讨论，第一种情况点P在线段AB上，根据等腰三角形的三线合一得BE=EF，再又第一问的全等可知DF=CD，所以ED=，得出线段DE的长为定值；第二种情况，P在BA的延长线上，作PM平行于AC交BC的延长线于M，根据两直线平行，同位角相等推出角PMB等于角ACB，而角ACB等于角ABC，根据等量代换得到角ABC等于角PMB，根据等角对等边得到PM等于PB，根据三线合一，得到BE等于EM，同理可得△PMD全等于△QCD，得到CD等于DM，根据DE等于EM减DM，把EM换为BC加CM的一半，化简后得到值为定值．解答：解：（1）如图，过P点作PF∥AC交BC于F，∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP=CQ，∵PF∥AQ，∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠PFB，∴BP=PF，∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，∴证得△PFD≌△QCD，∴DF=CD=CF，又因P是AB的中点，PF∥AQ，∴F是BC的中点，即FC=BC=3，∴CD=CF=；（2）分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段如图，如果点P在线段AB上，过点P作PF∥AC交BC于F，∵△PBF为等腰三角形，∴PB=PF，BE=EF，∴PF=CQ，∴FD=DC，∴ED=，∴ED为定值，同理，如图，若P在BA的延长线上，21\n作PM∥AC的延长线于M，∴∠PMC=∠ACB，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠PMC，∴PM=PB，根据三线合一得BE=EM，同理可得△PMD≌△QCD，所以CD=DM，，综上所述，线段ED的长度保持不变．点评：此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题． 四、解答题（本题12分）28．（12分）（2022•青羊区一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），与y轴的正半轴交于点C（0，3）．已知该抛物线的顶点横坐标为1，A、B两点间的距离为4．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求△ABC外接圆的圆心M的纵坐标；（3）在抛物线上是否存在一点P，使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BM分成面积比为1：2两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21\n考点：二次函数综合题．分析：（1）因为抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），所以A和B关于抛物线的对称轴对称，于是=1①；又因为A、B两点间的距离为4，且x1＜x2，所以x2﹣x1=4②，将①②组成方程组，解出x1，x2的值，再将点A、B、C的坐标代入y=ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据三角形外心的定义可知MA=MB=MC，由MA=MB及A、B两点的坐标，得出圆心M的横坐标为1，设M（1，y），根据MA=MC列出方程，即可求出M的纵坐标；（3）设PD与BM的交点为E，分成两种情况考虑：①当△BPE的面积是△BDE的2倍时，由于△BDE和△BPD同高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，即DE=PD，可设出P点的坐标，那么E点的纵坐标是P点纵坐标的，BD的长为B、P横坐标差的绝对值，由于∠OBC=45°，那么BD=DE，可以此作为等量关系求出P点的坐标；②当△BDE的面积是△BPE的2倍时，方法同①．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），且抛物线顶点的横坐标为1，∴=1，即x1+x2=2①；又∵A、B两点间的距离为4，且x1＜x2，∴x2﹣x1=4②，①与②组成方程组，解得，∴A（﹣1，0），B（3，0）．把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c，得，解得，21\n∴函数解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵△ABC外接圆的圆心是M，∴MA=MB=MC，M点在线段AB的垂直平分线上，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴M的横坐标为：=1．设M（1，y），由MA=MC，得（1+1）2+y2=12+（y﹣3）2，解得y=1．故△ABC外接圆的圆心M的纵坐标为1；（3）在抛物线上存在一点P，能够使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BM分成面积比为1：2的两部分．理由如下：设PD与BM的交点为E，可求直线BM解析式为y=﹣x+，设P（x，﹣x2+2x+3），分两种情况：①当S△BED：S△BEP=1：2时，PD=3DE，如图．则﹣x2+2x+3=3（﹣x+），整理，得2x2﹣7x+3=0，解得x=或3，∴或（舍去），∴P（，）；②当S△PBE：S△BED=1：2时，2PD=3DE，如图．则2（﹣x2+2x+3）=3（﹣x+），整理，得4x2﹣11x﹣3=0，解得x=﹣或3，∴或（舍去），∴P（﹣，）．故在抛物线上存在点P（，）或P（﹣，），使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BM分成面积比为1：2的两部分．21\n点评：此题是二次函数的综合类题目，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的外心，两点间的距离公式以及图形面积的求法等知识，综合性强，难度稍大，（3）中进行分类讨论是解题的关键． 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