四川省南充市阆中市水观片区2022届中考数学模拟试题含解析

四川省南充市阆中市水观片区2022届中考数学模拟试题一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A．B．C．D．2．下列运算正确的是()A．a2•a3=a6B．（x5）2=x7C．（﹣3c）2=9c2D．（a﹣2b）2=a2﹣2ab+4b23．用均匀的速度向一个容器注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OAB为一折线），这个容器的形状是图中()A．B．C．D．4．如图，点B是⊙O的半径OA的中点，且弦CD⊥OA于B，则tan∠CPD的值为()A．B．C．D．5．为了解九年级学生的视力情况，某校随机抽取50名学生进行视力检查，结果如下：视力4.6以下4.64.74.84.95.05.0以上人数（人）615510347这组数据的中位数是()A．4.6B．4.7C．4.8D．4.96．小明去逛商场，发现有他非常喜欢的邮票，小明就把兜里仅有的8元钱全部买了60分和80分的两种邮票．请问：小明购买邮票有几种方案()26\nA．1种B．2种C．3种D．4种7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为()①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个8．下列说法正确的是()A．一组数据2，5，3，1，4，3的中位数是3B．五边形的外角和是540度C．“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是真命题D．三角形的外心是这个三角形三条角平分线的交点9．如图，点B是反比例函数上一点，矩形OABC的周长是20，正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为68，则反比例函数的解析式是()A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①四边形CEDF有可能成为正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四边形CEDF的面积是定值；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确的结论是()A．①④B．②③C．①②④D．①②③④二、填空题（每小题3分，共18分）11．函数y=的自变量x的取值范围是__________．26\n12．已知：扇形OAB的半径为12厘米，∠AOB=150°，若由此扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是__________厘米．13．若不等式组有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是__________．14．关于x的分式方程无解，则m的值是__________．15．在数学活动中，小明为了求+…+的值（结果用n表示），设计如图所示的几何图形，请你利用这个几何图形求+…+的值为__________．16．如图，已知D、E和F、G分别在△ABC的AB、AC上，DF∥EG∥BC，AD：DE：EB=1：2：3，则S梯形DEGF：S梯形EBCG=__________．三、解答题（共72分）17．计算．18．先化简，再求值：，其中a=﹣1．19．已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+2=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由．（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值．26\n20．假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A、B、C、D四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票．如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是__________张，补全统计图．（2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么余老师抽到去B地的概率是多少？（3）若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图2所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．21．某工厂从外地连续两次购得A，B两种原料，购买情况如右表：现计划租用甲，乙两种货车共8辆将两次购得的原料一次性运回工厂．（1）A，B两种原料每吨的进价各是多少元？（2）已知一辆甲种货车可装4吨A种原料和1吨B种原料；一辆乙种货车可装A，B两种原料各2吨．如何安排甲，乙两种货车？写出所有可行方案．（3）若甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元．设安排甲种货车x辆，总运费为W元，求W（元）与x（辆）之间的函数关系式；在（2）的前提下，x为何值时，总运费W最小，最小值是多少元？22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．（1）求证：点E是边BC的中点；（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直径AC的长度；（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．26\n23．已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．24．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=x，AD=y（1）求y与x的函数关系式；（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB•PC的值；（3）若∠APD=90°，求y的最小值．25．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；（3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）26\n26\n2022年四川省南充市阆中市水观片区中考数学模拟试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：对于A不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，对于B是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意，对于C是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，对于D既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意，故选：D．【点评】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合，难度适中．2．下列运算正确的是()A．a2•a3=a6B．（x5）2=x7C．（﹣3c）2=9c2D．（a﹣2b）2=a2﹣2ab+4b2【考点】完全平方公式；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式求出每个部分的值，再判断即可．【解答】解：A、a2•a3=a5，故本选项错误；B、（x5）2=x10，故本选项错误；C、（﹣3c）2=9c2，故本选项正确；D、（a﹣2b）2=a2﹣4ab+4b2，故本选项错误；故选C．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式的应用，主要考查学生的计算能力．3．用均匀的速度向一个容器注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OAB为一折线），这个容器的形状是图中()26\nA．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】应用题．【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断．【解答】解：相比较而言，前一个阶段，用时较多，高度增加较慢，那么下面的物体应较粗．故选C．【点评】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的函数图象．4．如图，点B是⊙O的半径OA的中点，且弦CD⊥OA于B，则tan∠CPD的值为()A．B．C．D．【考点】圆周角定理；垂径定理；锐角三角函数的定义．【分析】由CD⊥OA于B，根据垂径定理得到弧AC=弧AD，则∠COA=∠DOA，而点B是⊙O的半径OA的中点，在Rt△OBC，OB=OC，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OCB=30°，∠COA=60°，则∠COD=2×60°=120°，再根据圆周角定理有∠CPD=∠COD=60°，然后根据特殊角的三角函数值求解即可．【解答】解：连OC、OD，如图，∵CD⊥OA，∴∠OBC=90°，弧AC=弧AD，∴∠COA=∠DOA，而点B是⊙O的半径OA的中点，在Rt△OBC，OB=OC，∴∠OCB=30°，∠COA=60°，∴∠COD=2×60°=120°，∴∠CPD=∠COD=60°，∴tan∠CPD=tan60°=．故选A．26\n【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了垂径定理以及特殊角的三角函数值．5．为了解九年级学生的视力情况，某校随机抽取50名学生进行视力检查，结果如下：视力4.6以下4.64.74.84.95.05.0以上人数（人）615510347这组数据的中位数是()A．4.6B．4.7C．4.8D．4.9【考点】中位数．【分析】根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数即可．【解答】解：∵共有50名学生，∴中位数是第25和26个数的平均数，∴这组数据的中位数是（4.7+4.7）÷2=4.7；故选B．【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．6．小明去逛商场，发现有他非常喜欢的邮票，小明就把兜里仅有的8元钱全部买了60分和80分的两种邮票．请问：小明购买邮票有几种方案()A．1种B．2种C．3种D．4种【考点】二元一次方程的应用．【分析】根据8元钱全部买了60分和80分的两种邮票，得出等式，利用二元一次方程有整数解，进而分析得出答案．【解答】解：设小明买60分和80分的邮票各x枚和y枚；根据题意得出：0.6x+0.8y=8，解得：，，．共3种方案，故选：C．【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，根据已知得出方程的整数解是解题关键．7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为()①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①∵y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x126\n＜2，∴对称轴在y轴的右侧，即：﹣＞0，∵a＞0∴b＜0，故①正确；②显然函数图象与y轴交于负半轴，∴c＜0正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，即a+c=b，∵b＜0，∴a+c＜0正确；④∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），且a＞0，∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0，故④正确，故选D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．8．下列说法正确的是()A．一组数据2，5，3，1，4，3的中位数是3B．五边形的外角和是540度C．“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是真命题D．三角形的外心是这个三角形三条角平分线的交点【考点】命题与定理；多边形内角与外角；三角形的外接圆与外心；中位数．【专题】压轴题．【分析】根据中位数、多边形的外角、三角形的外接圆与外心分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】解：A、把这组数据2，5，3，1，4，3从小到大排列为：1，2，3，3，4，5，最中间两个数的平均数是（3+3）÷2=3，则中位数是3，故本选项正确；B、任何凸多边形的外角和都是360度，则五边形的外角和是360度，故本选项错误；C、“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是“对角线互相垂直的四边形是菱形”是假命题，故本选项错误；D、三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故本选项错误；故选A．【点评】此题考查了中位数、多边形的外角、三角形的外接圆与外心，掌握中位数、多边形的外角、三角形的外接圆与外心是解题的关键，要熟知课本中的有关知识，才能进行解答．9．如图，点B是反比例函数上一点，矩形OABC的周长是20，正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为68，则反比例函数的解析式是()26\nA．B．C．D．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】计算题．【分析】设B点坐标为（x，y），根据正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为68，矩形OABC的周长是20得到x2+y2=68，x+y=10，再利用完全平方公式可得到xy=16，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义可确定其解析式．【解答】解：设B点坐标为（x，y），根据题意得x2+y2=68，x+y=10，∴（x+y）2=100，∴x2+2xy+y2=100，即68+2xy=100，∴xy=16，∴反比例函数的解析式为y=．故选D．【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．10．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①四边形CEDF有可能成为正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四边形CEDF的面积是定值；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确的结论是()A．①④B．②③C．①②④D．①②③④【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】①当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形；②作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；③由②△ADE≌△CDF，就有S△ADE=S△CDF，再通过等量代换就可以求出结论；④△DEF是等腰直角三角形，26\nDE=EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离．【解答】解：①当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，故此选项正确；②①连接CD；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；∵在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF（SAS）；∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确；③∵△ADE≌△CDF，∴S△ADE=S△CDF．∵S四边形CEDF=S△CED+S△CFD，∴S四边形CEDF=S△CED+S△AED，∴S四边形CEDF=S△ADC．∵S△ADC=S△ABC=4．∴四边形CEDF的面积是定值4，故本选项正确；④④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当EF∥AB时，∵AE=CF，∴E，F分别是AC，BC的中点，故EF是△ABC的中位线，∴EF取最小值==2，∵CE=CF=2，∴此时点C到线段EF的最大距离为EF=．故此选项正确．故选D．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积是解题关键．二、填空题（每小题3分，共18分）11．函数y=的自变量x的取值范围是x≤且x≠0．26\n【考点】函数自变量的取值范围．【专题】计算题．【分析】根据分母不为零和被开方数不小于零得到x≠0且1﹣2x≥0，然后求出两不等式的公共解即可．【解答】解：根据题意得x≠0且1﹣2x≥0，所以x≤且x≠0．故答案为【点评】本题考查了函数自变量的取值范围：自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义，当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．12．已知：扇形OAB的半径为12厘米，∠AOB=150°，若由此扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是5厘米．【考点】弧长的计算．【分析】半径为12的扇形的弧长是=10π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是10π，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=10π，解得：r=5cm．【解答】解：半径为12的扇形的弧长是=10π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是10π，设圆锥的底面半径是r，则得到2π这个圆锥底面圆的半径是5厘米．【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．13．若不等式组有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（4，5）．【分析】求出不等式组的解，判断推出a的范围即可．【解答】即：不等式组，可得3＜x＜a+2．不等式组有且只有三个整数解，即4，5，6，可得6＜a+2＜7，解得a∈（4，5）．故答案为：（4，5）．【点评】本题考查不等式组的解法，基本知识的考查．14．关于x的分式方程无解，则m的值是1．【考点】分式方程的解．26\n【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x﹣1=0，求出x=1，代入整式方程即可求出m的值．【解答】解：分式方程去分母得：x﹣2（x﹣1）=m，由分式方程无解得到x﹣1=0，即x=1，代入整式方程得：m=1．故答案为：1．【点评】此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．15．在数学活动中，小明为了求+…+的值（结果用n表示），设计如图所示的几何图形，请你利用这个几何图形求+…+的值为1﹣．【考点】规律型：图形的变化类；规律型：数字的变化类．【分析】根据图形和正方形的面积公式分别求出、+，从中找出规律，得到答案．【解答】解：=1﹣，+=1﹣，…+…+=1﹣，故答案为：1﹣．【点评】本题考查的是图形的变化和数字的变化，根据图形和正方形的面积公式找出数字的变化规律是解题的关键．16．如图，已知D、E和F、G分别在△ABC的AB、AC上，DF∥EG∥BC，AD：DE：EB=1：2：3，则S梯形DEGF：S梯形EBCG=8：27．【分析】根据平行线等分线段定理得出△ADF∽△AEG∽△ABC，AD：AE：AB=1：3：6，可得S△ADF：S梯形DEGF：S梯形EBCG=1：（9﹣1）：（36﹣9）=1：8：27，即可得出结论．【解答】解：∵DF∥EG∥BC，AD：DE：EB=1：2：3，∴△ADF∽△AEG∽△ABC，AD：AE：AB=1：3：626\n∴S△ADF：S梯形DEGF：S梯形EBCG=1：（9﹣1）：（36﹣9）=1：8：27．故答案为：8：27．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．三、解答题（共72分）17．计算．【考点】实数的运算；零指数幂．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项先计算绝对值里边式子，再利用绝对值的代数意义化简，并利用二次根式的乘法法则计算，即可得到结果．【解答】解：原式=1﹣（2﹣）×（﹣）=1+﹣1=．【点评】此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数幂，立方根的定义，二次根式的化简，以及绝对值的代数意义，熟练掌握定义及法则是解本题的关键．18．先化简，再求值：，其中a=﹣1．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=÷（a2+1）=•=，当a=﹣1时，原式==．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+2=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由．（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值．【分析】（1）根据已知方程有两个实数根，那么△≥0，可得k的范围，由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得x1+x2=1，x1x2=，然后把x1+x2、x1x226\n代入（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣中，进而可求k的值；（2）由x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+2=0的两个实数根，利用根与系数的关系表示出x1+x2与x1x2，将+﹣2通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用完全平方公式变形后，把表示出x1+x2与x1x2代入，整理后根据此式子的值为整数，即可求出实数k的整数值．【解答】解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+2=0的两个实数根，∴△=16k2﹣4×4k（k+2）=﹣32k≥0，且4k≠0，解得k＜0；∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+2=0的两个实数根，∴x1+x2=1，x1x2=，∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22=2（x1+x2）2﹣9x1x2=2×12﹣9•=，若=﹣成立，解上述方程得，k=，∵k＜0，则k=不成立，∴不存在这样k的值．（2）∵x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+2=0的两个实数根，∴x1+x2=1，x1x2=，且16k2﹣16k（k+2）≥0，即k＜0，∴+﹣2=﹣2=﹣2=﹣4=，由此式子的值为整数，得到k=﹣10，﹣6，﹣4，﹣3，﹣1，0，2，6．则整数k的最大值为﹣1．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负不等号的变化关系、以及完全平方公式的使用．20．假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A、B、C、D四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票．如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题：26\n（1）若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是30张，补全统计图．（2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么余老师抽到去B地的概率是多少？（3）若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图2所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．【考点】游戏公平性；扇形统计图；条形统计图；概率公式；列表法与树状图法．【分析】（1）根据去A、B、D的车票总数除以所占的百分比求出总数，再减去去A、B、D的车票总数即可；（2）用去B地的车票数除以总的车票数即可；（3）根据题意用列表法分别求出当指针指向的两个数字之和是偶数时的概率，即可求出这个规定对双方是否公平．【解答】解：（1）根据题意得：总的车票数是：÷（1﹣30%）=100，则去C地的车票数量是100﹣70=30；故答案为：30．（2）余老师抽到去B地的概率是=；（3）根据题意列表如下：因为两个数字之和是偶数时的概率是=，所以票给李老师的概率是，所以这个规定对双方公平．26\n【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．21．某工厂从外地连续两次购得A，B两种原料，购买情况如右表：现计划租用甲，乙两种货车共8辆将两次购得的原料一次性运回工厂．（1）A，B两种原料每吨的进价各是多少元？（2）已知一辆甲种货车可装4吨A种原料和1吨B种原料；一辆乙种货车可装A，B两种原料各2吨．如何安排甲，乙两种货车？写出所有可行方案．（3）若甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元．设安排甲种货车x辆，总运费为W元，求W（元）与x（辆）之间的函数关系式；在（2）的前提下，x为何值时，总运费W最小，最小值是多少元？【考点】二元一次方程组的应用；一次函数的应用．【专题】压轴题；方案型．【分析】（1）等量关系为：12×A原料+8×B原料=33600；8×A原料+4×B原料=20800．（2）关系式为：4×甲货车辆数+2×乙货车辆数≥20，1×甲货车辆数+2×乙货车辆数≥12．（3）总运费=400×甲货车辆数+350×乙货车辆数．结合（2）求得总运费最小值．【解答】解：（1）设A原料每吨的进价是x元；B原料每吨的进价是y元．则12x+8y=33600；8x+4y=20800解得x=2000，y=1200答：A原料每吨的进价是2000元；B原料每吨的进价是1200元．（2）设甲种货车有a辆．则4a+2（8﹣a）≥20，a+2（8﹣a）≥12，解得2≤a≤4∴可用甲2辆，乙6辆，或甲3辆，乙5辆；或甲4辆，乙4辆．（3）设总运费为W．W=400x+350×（8﹣x）=400x+2800﹣350x=50x+2800∴当x=2时，总运费最小，为2900元．【点评】26\n找到合适的等量关系和关系式是解决问题的关键．等量关系为：12×A原料+8×B原料=33600；8×A原料+4×B原料=20800.4×甲货车辆数+2×乙货车辆数≥20，1×甲货车辆数+2×乙货车辆数≥12．总运费=400×甲货车辆数+350×乙货车辆数．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．（1）求证：点E是边BC的中点；（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直径AC的长度；（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．【考点】切线的性质；勾股定理；正方形的性质．【专题】综合题．【分析】（1）利用EC为⊙O的切线，ED也为⊙O的切线可求EC=ED，再求得EB=EC，EB=ED可知点E是边BC的中点；（2）解答此题需要运用圆切线和割线的性质和勾股定理求解；（3）判定△ABC是等腰直角三角形时要用到正方形的性质来求得相等的边．【解答】（1）证明：连接DO；∵∠ACB=90°，AC为直径，∴EC为⊙O的切线；又∵ED也为⊙O的切线，∴EC=ED，又∵∠EDO=90°，∴∠BDE+∠ADO=90°，∴∠BDE+∠A=90°又∵∠B+∠A=90°，∴∠BDE=∠B，∴EB=ED，∴EB=EC，即点E是边BC的中点；（2）解：∵BC，BA分别是⊙O的切线和割线，∴BC2=BD•BA，∴（2EC）2=BD•BA，即BA•2=36，∴BA=3，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC===3；（3）解：△ABC是等腰直角三角形．理由：∵四边形ODEC为正方形，∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC，26\n又∵点E是边BC的中点，∴BC=2OD=AC，∴△ABC是等腰直角三角形．【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．23．已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】根据已知可以利用SAS证明△ABE≌△CBF，从而得出对应角相等，对应边相等，从而得出∠ABE=∠CBF=30°，△BEF为等边三角形，利用等边三角形的性质及边与边之间的关系，即可推出AE+CF=EF．同理图2可证明是成立的，图3不成立．【解答】解：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE=∠CBF=30°，∴AE=BE，CF=BF；26\n∵∠MBN=60°，BE=BF，∴△BEF为等边三角形；∴AE+CF=BE+BF=BE=EF；图2成立，图3不成立．证明图2．延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，在△BAE和△BCK中，则△BAE≌△BCK，∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，∴∠FBC+∠ABE=60°，∴∠FBC+∠KBC=60°，∴∠KBF=∠FBE=60°，在△KBF和△EBF中，∴△KBF≌△EBF，∴KF=EF，∴KC+CF=EF，即AE+CF=EF．图3不成立，AE、CF、EF的关系是AE﹣CF=EF．【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS，SAS，AAS等，这些方法要求学生能够掌握并灵活运用．26\n24．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=x，AD=y（1）求y与x的函数关系式；（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB•PC的值；（3）若∠APD=90°，求y的最小值．【考点】相似形综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）如图1，过A作AE垂直于BC，在直角三角形ABE中，由∠B=45°，AB=x，利用锐角三角函数定义表示出AE，三角形PAD的面积以AD为底，AE为高，利用三角形面积公式表示出，根据已知的面积即可列出y与x的函数关系式；（2）根据∠APC=∠APD+∠CPD，以及∠APC为三角形ABP的外角，利用外角性质得到关系式，等量代换得到∠BAP=∠CPD，再由四边形ABCD为等腰梯形，得到一对底角相等及AB=CD，可得出三角形ABP与三角形PDC相似，由相似得比例，将CD换为AB，由y的值求出x的值，即为AB的值，即可求出PB•PC的值；（3）取AD的中点F，过P作PH垂直于AD，由直角三角形PF大于等于PH，当PF=PH时，PF最小，此时F与H重合，由三角形APD为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到PF等于AD的一半，表示出PF即为PH，三角形APD面积以AD为底，PH为高，利用三角形面积公式表示出三角形APD面积，由已知的面积求出y的值，即为最小值．【解答】解：（1）如图1，过A作AE⊥BC于点E，在Rt△ABE中，∠B=45°，AB=x，∴AE=AB•sinB=x，∵S△APD=AD•AE=，∴•y•x=，则y=；（2）∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP，∠APD=∠B=45°，∴∠BAP=∠CPD，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD，∴=，26\n∴PB•PC=AB•DC=AB2，当y=1时，x=，即AB=，则PB•PC=（）2=2；（3）如图2，取AD的中点F，连接PF，过P作PH⊥AD，可得PF≥PH，当PF=PH时，PF有最小值，又∵∠APD=90°，∴PF=AD=y，∴PH=y，∵S△APD=•AD•PH=，∴•y•y≥，即y2≥2，∵y＞0，∴当取“=“时，y取最小值，则y的最小值为．【点评】此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：等腰梯形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．25．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；（3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）26\n【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）平行四边形的对边相等，因此EF=OD=2，据此列方程求出点P的坐标；（3）本问利用中心对称的性质求解．平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点A与▱ODEF对称中心的直线平分▱ODEF的面积．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）、B（3，0）在抛物线y=ax2+bx+3上，∴，解得a=﹣1，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．（2）在抛物线解析式y=﹣x2+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）．设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）坐标代入得：，解得k=﹣1，b=3，∴y=﹣x+3．设E点坐标为（x，﹣x2+2x+3），则P（x，0），F（x，﹣x+3），∴EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．∵四边形ODEF是平行四边形，∴EF=OD=2，∴﹣x2+3x=2，即x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2，∴P点坐标为（1，0）或（2，0）．（3）平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点A与▱ODEF对称中心的直线平分▱ODEF的面积．26\n①当P（1，0）时，点F坐标为（1，2），又D（0，2），设对角线DF的中点为G，则G（，2）．设直线AG的解析式为y=kx+b，将A（﹣1，0），G（，2）坐标代入得：，解得k=b=，∴所求直线的解析式为：y=x+；②当P（2，0）时，点F坐标为（2，1），又D（0，2），设对角线DF的中点为G，则G（1，）．设直线AG的解析式为y=kx+b，将A（﹣1，0），G（1，）坐标代入得：，解得k=b=，∴所求直线的解析式为：y=x+．综上所述，所求直线的解析式为：y=x+或y=x+．【点评】本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、平行四边形的性质、中心对称的性质等知识点．第（3）问中，特别注意要充分利用平行四边形中心对称的性质，只要求出其对称中心的坐标，即可利用待定系数法求出所求直线的解析式．26\n26