北京市朝阳区2022年中考数学二模试题

北京市朝阳区2022年中考数学二模试题学校　　　班级姓名考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分.考试时间120分钟.2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答.5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．-2的绝对值是A．-2B．C．D．22．我国质检总局规定，针织内衣等直接接触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下．将0.000075用科学记数法表示为A．B.C．D.3．如图，在△ABC中，DE∥BC,如果AD=3，BD=5，那么的值是A.B.C.D.4．从分别标有1到9数字的9张卡片中任意抽取一张，抽到所标数字是3的倍数的概率为A．B．　C．D．5．如图，圆锥的底面半径OA为2，母线AB为3，则这个圆锥的侧面积为A.3πB.6πC.12πD.18π6．如图，下列水平放置的几何体中，主视图不是长方形的是7.某校篮球课外活动小组21名同学的身高如下表身高（cm）17017617818218413\n人数46542则该篮球课外活动小组21名同学身高的众数和中位数分别是A．176，176B．176，177C．176，178D．184，1788．图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是A．我B．的C．梦D．中二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在函数中，自变量x的取值范围是．10．分解因式：=．11．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，点F在弧AC上，若∠BCD＝32°，则∠AFD的度数为．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x、y轴分别交于点A、B，且A(-2，0)，B(0，1)，在直线AB上截取BB1=AB，过点B1分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A1、C1，得到矩形OA1B1C1；在直线AB上截取B1B2=BB1，过点B2分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A2、C2，得到矩形OA2B2C2；在直线AB上截取B2B3=B1B2，过点B3分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A3、C3，得到矩形OA3B3C3；……则第3个矩形OA3B3C3的面积是；第n个矩形OAnBnCn的面积是（用含n的式子表示，n是正整数）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：．14．计算：．13\n15．如图，为了测量楼AB的高度，小明在点C处测得楼AB的顶端A的仰角为30º，又向前走了20米后到达点D，点B、D、C在同一条直线上，并在点D测得楼AB的顶端A的仰角为60º，求楼AB的高．16．已知：如图，E、F为BC上的点，BF=CE，点A、D分别在BC的两侧，且AE∥DF，AE=DF．求证：AB∥CD．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数－2的图象与x、y轴分别交于点A、B，与反比例函数（x＜0）的图象交于点．（1）求A、B两点的坐标；（2）设点P是一次函数－2图象上的一点，且满足△APO的面积是△ABO的面积的2倍，直接写出点P的坐标．18．某新建小区要铺设一条全长为2200米的污水排放管道，为了尽量减少施工对周边居民所造成的影响，实际施工时，每天铺设的管道比原计划增加10%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4，∠B=105º，E是BC边的中点，∠BAE=30º，将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，连接FC，求四边形ABCF的周长．13\n20．如图，在△ABC中，AC=BC，D是BC上的一点，且满足∠BAD＝∠C，以AD为直径的⊙O与AB、AC分别相交于点E、F.（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）连接EF，若tan∠AEF＝，AD＝4，求BD的长.21．今年“五一”假期，小翔参加了学校团委组织的一项社会调查活动，了解他所在小区家庭的教育支出情况．调查中，小翔从他所在小区的500户家庭中，随机调查了40个家庭，并将调查结果制成了部分统计图表．教育支出频数分布直方图教育支出频数分布表分组频数频率20.05060.150180.45090.225ab20.050合计401.0001100130015001700190021002300048121620(户数)(元)（注：每组数据含最小值，不含最大值）根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）频数分布表中的a=，b=；（2）补全频数分布直方图；（3）请你估计该小区家庭中，教育支出不足1500元的家庭大约有多少户？22．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图1,△ABC中，∠ACB=30º，BC=6，AC=5，在△ABC13\n内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．图2图3图1小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60º，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形ABCD中，∠ABC=60º，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知关于x的一元二次方程x2+(4-m)x+1-m=0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）此方程有一个根是-3，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2+(4-m)x+1-m向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y=x+b与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b的值．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A(-2，0)、B(6，0)，与y轴交于点C，直线CD∥x轴，且与抛物线交于点D，P是抛物线上一动备用图点．13\n（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作PQ⊥CD于点Q，将△CPQ绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0º﹤α﹤90º），当cosα=，且旋转后点P的对应点恰好落在x轴上时，求点P的坐标．25.在□ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；（2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB=α（0º﹤α﹤90º），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.图3图1图213\n数学试卷参考答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号12345678答案DBCDBBCA二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.x≥10.11.32°12.24，2n2+2n三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.解：……………………………………………………4分.………………………………………………………………………5分14.解：………………………………2分…………………………………………………………………3分…………………………………………………………4分.……………………………………………………………………………………5分15.解：由题意可知∠ACB=30°，∠ADB=60°，CD=20，在Rt△ABC中，.………………………………1分在Rt△ABD中，.………………………………………2分∴，…………………………………………………………3分∴.…………………………………………………………………………4分∴.……………………………………………………………………5分16.证明：∵AE∥DF，∴∠AEB＝∠DFC.………………………………………………………………1分∵BF=CE，13\n∴BF+EF＝CE+EF.即BE＝CF.………………………………………………………………………2分在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF.………………………………………………………………3分∴∠B=∠C.………………………………………………………………………4分∴AB∥CD.………………………………………………………………………5分17.解：（1）∵点在反比例函数（x＜0）的图象上，∴.…………………………………………………………………………1分∴.∵一次函数－2的图象经过点，∴.∴.∴一次函数的解析式为.∴A(-1，0)，B(0，-2).………………………………………………………3分（2）P1(-3，4)，P2(1，-4).………………………………………………………5分18.解：设原计划每天铺设米管道．…………………………………………………1分由题意，得……………………………………………3分解得．……………………………………………………………4分经检验是原方程的根．…………………………………………………5分答：原计划每天铺设40米管道．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：作BG⊥AE，垂足为点G，∴∠BGA＝∠BGE＝90º.在平行四边形ABCD中，AD=4，∵E是BC边的中点，∴……………………………………………………1分13\n∵∠BAE=30º，∠ABC=105º，∴∠BEG=45º.由已知得△ABE≌△AFE.∴AB=AF，BE＝FE，∠BEF=90º.在Rt△BGE中，BG＝GE=………………………………………………………………………2分在Rt△ABG中，∴AB=AF=………………………………………………………………………3分在Rt△ECF中，………………………………………………………4分∴四边形ABCF的周长……………………………………………………5分20.（1）证明：在△ABC中，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B.∵∠CAB+∠B+∠C＝180º，∴2∠B+∠C＝180º.∴＝90º.……………………………………………………1分∵∠BAD＝∠C，∴＝90º.∴∠ADB＝90º.∴AD⊥BC.∵AD为⊙O直径的，∴直线BC是⊙O的切线.…………………………………………………2分（2）解：如图，连接DF，∵AD是⊙O的直径，∴∠AFD=90º.……………………………………………………………………3分∵∠ADC＝90º，∴∠ADF+∠FDC＝∠CD+∠FDC＝90º.∴∠ADF＝∠C.…………………………………………………………………4分∵∠ADF＝∠AEF，tan∠AEF＝，∴tan∠C＝tan∠ADF＝.在Rt△ACD中，设AD＝4x，则CD＝3x.∴∴BC＝5x，BD＝2x.∵AD＝4，∴x＝1.13\n∴BD＝2.…………………………………………………………………………5分21．解：（1）a=3，b=0.075；……………………………………………………………2分　（2）…………………………3分　（3）.所以该小区家庭中，教育支出不足1500元的家庭大约有100户.…………5分21．解：（1）.………………………………………………………………………………1分（2）①如图，…………………………………………2分BD；……………………………………………………………………………3分(3).…………………………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.（1）证明：∵△=.………………………………………………1分==…………………………………………………………2分∴△＞0.…………………………………………………………………3分∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.（2）把x=-3代入原方程，解得m=1.…………………………………………………4分∴.13\n即.依题意，可知新的抛物线的解析式为.………………………5分即∵抛物线与直线只有一个公共点，∴..…………………………………………………………………6分即.∵△=0.∴.解得b=-4.……………………………………………………………………7分24.解：（1）根据题意得…………………………………………………………1分解得所以抛物线的解析式为.………………………………2分（2）如图1，过点Q的对应点作EF⊥CD于点E，交x轴于点F.设P(x，y)，则CQ=x，PQ=4-y.由题意可知=CQ=x，=PQ=4-y，∠CQP=∠C=90°.∴=90°.∴.……………………………………………………3分又∵cosα=，∴，.∴.∵，整理可得.∴，（舍去）.∴.………………………………………………………………5分13\n如图2，过点Q的对应点作EF⊥CD于点E，交x轴于点F.设P(x，y)，则CQ=-x，PQ=4-y.可得.……………………………………………………6分又∵cosα=，∴，.∴.∵，整理可得.∴（舍去），.∴.……………………………………………………………7分∴或.25.解：（1）证明：如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.∴∠GAB=∠HAE.………………………………………………………………1分∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，∴∠ABG=∠AEH.∵又AB=AE，∴△ABG≌△AEH.………………2分∴BG=EH，AG=AH.∵∠GAH=∠EAB=60°，∴△AGH是等边三角形.∴AG=HG.∴EG=AG+BG.…………………………………………………………………3分(2)…………………………………………………………5分（3）……………………………………………………………6分如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.∴∠GAB=∠HAE.∵∠EGB=∠EAB=90°，∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°.∴∠ABG=∠AEH.∵又AB=AE，∴△ABG≌△AEH.………………7分∴BG=EH，AG=AH.∵∠GAH=∠EAB=90°，13\n∴△AGH是等腰直角三角形.∴AG=HG.∴…………………………………………………………8分说明：各解答题其它正确解法请参照给分.13