北京市朝阳区2022年中考数学一模试卷一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．1．（4分）（2022•朝阳区一模）﹣7的相反数是（ ） A．7B．﹣7C．D．﹣考点：相反数．.分析：根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．解答：解：根据概念，（﹣7的相反数）+（﹣7）=0，则﹣7的相反数是7．故选A．点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 2．（4分）（2022•朝阳区一模）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法表示为（ ） A．0.675×105B．6.75×104C．67.5×103D．675×102考点：科学记数法—表示较大的数．.分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将67500用科学记数法表示为：6.75×104．故选：B．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（4分）（2022•朝阳区一模）把4张形状、质地完全相同的卡片分别写上数字1，2，3，4，再将这些卡片放在一个不透明的盒子里，随机从中抽取1张卡片，则抽取的卡片上的数字为奇数的概率是（ ） A．B．C．D．1考点：概率公式．.分析：四个数字中有两个是奇数，然后利用概率公式计算即可．解答：解：∵1，2，3，4中有1和3两个数字是奇数，∴抽取的卡片上的数字为奇数的概率是=，故选C．点评：此题考查概率的求法的运用：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．14\n 4．（4分）（2022•朝阳区一模）北京2022年3月的一周中每天最高气温如下：7，13，15，16，15，17，19，则在这一周中，最高气温的众数和中位数分别是（ ） A．15和15B．15和16C．16和15D．19和16考点：众数；中位数．.分析：根据众数和中位数的定义，结合所给数据即可得出答案．解答：解：将数据从小到大排列为：7，13，15，15，16，17，19，众数为15；中位数为15．故选A．点评：本题考查了众数及中位数的定义，属于基础题． 5．（4分）（2022•朝阳区一模）如图所示，直线l1∥l2，∠1=40°，则∠2为（ ） A．140°B．30°C．40°D．60°考点：平行线的性质；对顶角、邻补角．.专题：计算题．分析：根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，可求得∠1的同位角∠3为40°，又因为∠2与∠3是对顶角，所以∠2=40°．解答：解：∵l1∥l2，∴∠3=∠1=40°，∴∠2=∠3=40°．故选C．点评：本题考查的是平行线的性质以及对顶角的性质，解题的关键是找出∠1的同位角． 6．（4分）（2022•朝阳区一模）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（ ） 8641014\nA．B．C．D．考点：垂径定理；勾股定理．.专题：探究型．分析：先连接OA，根据勾股定理求出AC的长，由垂径定理可知，AB=2AC，进而可得出结论．解答：解：连接OA，∵OA=5，OC=3，OC⊥AB，∴AC===4，∵OC⊥AB，∴AB=2AC=2×4=8．故选A．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 7．（4分）（2022•朝阳区一模）二次函数y=（x﹣1）2+3的顶点在（ ） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：二次函数的性质．.分析：首先根据二次函数解析式写出顶点坐标，再根据顶点坐标的符号确定所在象限．解答：解：二次函数y=（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3），（1，3）在第一象限，故选：A．点评：此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数顶点坐标的确定方法． 8．（4分）（2022•朝阳区一模）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC=120°，AB=3，一动点P以1cm/s的速度延折线OB﹣BA运动，那么点P的运动时间x（s）与点C、O、P围成的三角形的面积y之间的函数图象为（ ）14\n A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．.专题：动点型．分析：根据邻补角的定义求出∠AOB，判断出△AOB、△COD是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出等边三角形的高，再分①点P在OB上时，根据三角形的面积公式，底边为OP，列式求解即可得到y与x的关系式；②点P在BA上时，表示出点P到AC的距离，然后利用三角形的面积公式列式求解即可得到y与x的关系式，然后确定出函数图象即可．解答：解：∵∠BOC=120°，∴∠AOB=∠COD=180°﹣120°=60°，又∵OA=OB=OC=OD，∴△AOB、△COD是等边三角形，∴等边三角形的高=•AB=，①点P在OB上时，y=•OP•=x；②点P在BA上时，AP=3+3﹣x=6﹣x，点P到AC的距离=（6﹣x），y=•OC•（6﹣x），=（6﹣x），∵OB=AB=3，∴x=3时，y有最大值，纵观各选项，只有C选项图形符合．故选C．点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据矩形的性质，等边三角形的判定与性质，分别表示出点P在OB、BA上时y与x的函数关系式解题的关键． 二．填空题（共5道小题，每小题4分，共20分）9．（4分）（2022•朝阳区一模）如果2是方程x2﹣mx+6=0的一个根，那么m= 5 ．考点：一元二次方程的解．.分析：方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=2代入方程，即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值．解答：解：根据题意，得22﹣2m+6=0，解得，m=5；故答案是：5．14\n点评：本题考查了一元二次方程的解．正确理解方程的解的定义是解题的关键． 10．（4分）（2022•朝阳区一模）因式分解：2x2﹣18= 2（x+3）（x﹣3） ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．.分析：提公因式2，再运用平方差公式因式分解．解答：解：2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3），故答案为：2（x+3）（x﹣3）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 11．（4分）（2022•朝阳区一模）侧面展开图是矩形的简单几何体是 圆柱，棱柱 ．考点：几何体的展开图．.分析：由简单几何体的侧面展开图的特征作答．解答：解：侧面展开图是矩形的简单几何体是圆柱和棱柱．点评：侧面展开图是矩形的简单几何体只有圆柱和棱柱． 12．（4分）（2022•朝阳区一模）如图所示，菱形ABCD的一条对角线BD上一点O到菱形一边AB的距离为3，那么O点到另外一边BC的距离为 3 ．考点：菱形的性质；角平分线的性质．.专题：计算题．分析：根据菱形的性质：对角线平分所在的角，则根据角平分线的性质即可得到O点到另外一边BC的距离等于点O到AB边的距离．解答：解：根据菱形的性质及角平分线的性质可得到O点到另外一边BC的距离等于点O到AB边的距离，即O点到另外一边BC的距离为3．故答案为3点评：本题考查菱形的性质与角平分线的性质． 13．（4分）（2022•朝阳区一模）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是 k≤1且k≠0 ．考点：根的判别式．.专题：计算题．分析：根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．14\n解答：解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，∴△=b2﹣4ac≥0，即：4﹣4k≥0，解得：k≤1，∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0中k≠0，故答案为：k≤1且k≠0．点评：本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况． 三．解答题（共9道小题，14题-20题每小题5分，21题6分，22题7分，共48分）14．（5分）（2022•朝阳区一模）计算：（1﹣）0+﹣2sin45°﹣（）﹣1．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．.分析：分别进行零指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等运算，然后按照实数的运算法则计算即可．解答：解：原式=1+2﹣2×﹣=﹣．点评：本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识，属于基础题． 15．（5分）（2022•朝阳区一模）求不等式组的整数解．考点：一元一次不等式组的整数解．.分析：先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可．解答：解：由①得x＞2.5，由②得x≤4，故不等式组的解集为2.5＜x≤4，则不等式组的整数解为3，4．点评：考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 16．（5分）（2022•朝阳区一模）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，且BF=AC．求证：DF=DC．14\n考点：全等三角形的判定与性质．.专题：证明题．分析：求出∠BDF=∠ADC=90°，∠A=∠B，根据AAS证出△BDF≌△ADC．解答：证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=90°，∠AEF=90°，∵∠AFE+∠A+∠AEF=180°，∠B+∠BFD+∠BDA=180°，∠AFE=∠BFD，∴∠A=∠B，∴在△BDF和△ADC中∴△BDF≌△ADC（AAS），∴DF=DC．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△BDF≌△ADC． 17．（5分）（2022•朝阳区一模）动物园的门票售价：成人票每张50元，儿童票每张30元．某日动物园售出门票700张，共得29000元．求成人票和儿童票各售出多少张．考点：二元一次方程组的应用．.分析：根据总售出门票700张，共得收入29000元，可以列出两个关于成人票和儿童票张数的方程，解方程组求解即可．解答：解：设售出成人票x张，儿童票售出y张，由题意得：，解得；答：售出成人票400张，售出儿童票300张．点评：本题解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键． 18．（5分）（2022•朝阳区一模）某学校为了解该校七年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学身高，将所得数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图（部分）如下（每组只含最低值不含最高值，身高单位：cm，测量时精确到1cm）：14\n（1）请根据所提供的信息补全频数分布直方图；（2）写出该样本中，七年级学生身高的中位数所在组的范围； 155～160cm ；（3）如果该校七年级共有500名学生，那么估计该校七年级身高在160cm及160cm以上的学生共有 160 人；（4）若该校所在区的七年级学生平均身高为155cm，请结合以上信息，对该校七年级学生的身高情况提出一个你的见解．考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数．.分析：（1）根据155﹣160的频数和百分比求总数．从而求出160﹣165的频数，根据数据正确补全频数分布直方图即可；（2）根据中位数的确定方法求解；（3）利用500×样本中身高在160cm及160cm以上的学生所占百分比即可；（4）根据扇形统计图可得该校七年级学生的身高在155以上的达到64%，故身高较高．解答：解：（1）总数为：32÷32%=100，则160﹣165的频数为：100﹣6﹣12﹣18﹣32﹣10﹣4=18或100×18%=18．根据数据正确补全频数分布直方图，如下图：（2）第50和51个数的平均数在155～160cm的范围内，所以样本的中位数在155～160cm的范围内；（3）500×（18%+10%+4%）=160（人）；（4）由统计图可得该校七年级学生的身高在155以上的达到64%，故该校学生身高较高．14\n点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用；考查了中位数的意义．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 19．（5分）（2022•朝阳区一模）已知：一次函数y=x+2与反比例函数y=相交于A、B两点且A点的纵坐标为4．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．.专题：数形结合．分析：（1）将A点纵坐标代入y=x+2，求出A点横坐标，再将A点坐标代入y=，求出k的值即可；（2）将△AOB的面积转化为S△DOB和S△AOD，再分别计算即可．解答：解：（1）∵A点的纵坐标为4，∴x+2=4，x=2，A（2，4）．将A（2，4）代入y=得，k=xy=2×4=8，函数解析式为y=．将y=x+2与y=组成方程组得，解得，，，故A（2，4），B（﹣4，﹣2）．（2）∵y=x+2与y轴交于（0，2）点，∴D（0，2）．S△AOB=S△DOB+S△AOD=×2×4+×2×2=4+2=6．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，将两函数解析式组成方程组是解题的关键． 14\n20．（5分）（2022•朝阳区一模）如图，AB为⊙O的直径，BC是弦，OE⊥BC，垂足为F，且与⊙O相交于点E，连接CE、AE，延长OE到点D，使∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若cosD=，BC=8，求AB的长．考点：切线的判定．.专题：计算题．分析：（1）由同弧所对的圆周角相等得到∠AEC=∠ABC，再由已知∠ODB=∠AEC，等量代换得到∠ABC=∠ODB，在直角三角形BDF中，利用直角三角形两锐角互余得到一对角互余，等量代换得到∠OBD为直角，即可得到BD是圆O的切线；（2）由OE垂直于BC，利用垂径定理得到BF为BC的一半，求出BF的长，由∠ODB=∠ABC，得到cosD=cos∠ABC，在直角三角形OBF中，由已知cosD的值及BF的长，利用锐角三角函数定义求出OB的长，即可求出AB的长．解答：（1）证明：∵∠AEC与∠ABC都对，∴∠AEC=∠ABC，∵∠ODB=∠AEC，∴∠ABC=∠ODB，在Rt△BDF中，∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，则BD是圆O的切线；（2）解：∵OE⊥BC，∴BF=CF=BC=4，∵∠ODB=∠ABC，∴cosD=cos∠ABC=，在Rt△OBF中，cos∠ABC=，∴OB==5，14\n则AB=20B=10．点评：此题考查了切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键． 21．（6分）（2022•朝阳区一模）如图，抛物线y=﹣x2+c与x轴分别交于点A、B，直线y=﹣x+过点B，与y轴交于点E，并与抛物线y=﹣x2+c相交于点C．（1）求抛物线y=﹣x2+c的解析式；（2）直接写出点C的坐标；（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动（不与点A、B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从点B向点C运动．设点M的运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？考点：二次函数综合题．.专题：综合题．分析：（1）求出点B的坐标，代入抛物线解析式可求出c的值，继而得出抛物线的解析式；（2）联立抛物线与直线解析式可求出交点坐标；（3）求出sin∠EBO，过点N作NF⊥x轴于点F，继而可表示出NF，根据S△MNB=BM×NF，可求出S与t的函数关系式，利用配方法可求出最大值．解答：解：（1）∵直线y=﹣x+过点B，∴点B的坐标为（2，0），将点B的坐标代入抛物线解析式可得：0=﹣×22+c，解得：c=3；（2）联立抛物线及直线解析式可得：，解得：或，14\n故点C的坐标为（﹣1，）．（3）由直线解析式可得点E坐标为（0，），在Rt△BOE中，BE==，则sin∠EBO==，过点N作NF⊥x轴于点F，设点M的运动时间为t秒，则AM=t，BN=2t，则BM=4﹣t，NF=BN×sin∠EBO=t，S△MNB=BM×NF=（4﹣t）×t=﹣t2+t=﹣（t﹣2）2+（0＜t＜4），故当t=2时，S取得最大，最大值为．综上可得：S=﹣t2+t，当点M运动2秒时，△MNB的面积最大，最大面积是．点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式及抛物线与一次函数的交点问题，本题的难点在第三问，需要同学们利用三角函数的知识表述出△MNB的高，这类题目一般以压轴题出现，同学们应注意培养自己解答综合题的能力． 22．（7分）（2022•朝阳区一模）在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．（1）如图1，求证：ME=MF；（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，求AB的长；（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等边三角形，则AB= 2 ．14\n考点：四边形综合题．.分析：（1）根据ABCD是矩形，得出∠EAM=∠FDM=90°，根据AM=DM，∠AME=∠FMD证出△AEM≌△DFM，即可得出ME=FM；（2）过点G作GH⊥AD于H，则AB=GH，根据△GEF是等腰直角三角形，得出ME=FM，GM⊥EF，根据∠MGE=∠MGF=45°，∠AME+∠GMH=90°，得出∠MGE=∠MEG=45°，ME=MG，再根据∠AME+∠AEM=90°，得出∠AEM=∠GMH从而证出△AEM≌△HMG，得出GH=AM=2，求出AB=2；（3）过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，连接MG，则∠GHM=∠A，根据△GEF是等边三角形，得出EM=FM，GM⊥EF，=cot60°=，∠AME+∠GMH=90°，根据∠AME+∠AEM=90°，得出∠GMH=∠AEM，证出△AEM∽△HMG，==，得出HG=AM=2，最后根据AB=HG即可求出答案．解答：解：（1）如图1，∵ABCD是矩形，∴∠EAM=∠FDM=90°，∵M是AD的中点，∴AM=DM，∵在△AEM和△DFM中，，∴△AEM≌△DFM（ASA），∴ME=FM．（2）如图2：过点G作GH⊥AD于H，则AB=GH，∵△GEF是等腰直角三角形，ME=FM，∴GM⊥EF，∴∠MGE=∠MGF=45°，∠AME+∠GMH=90°，∴∠MGE=∠MEG=45°，∴ME=MG，∵∠AME+∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH，∵在△AEM和△HMG中，14\n，∴△AEM≌△HMG（AAS），∴GH=AM=2，∴AB=2．（3）如图3：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，连接MG，则∠GHM=∠A，∵△GEF是等边三角形，EM=FM，∴GM⊥EF，∴=cot60°=，∠AME+∠GMH=90°，∵∠AME+∠AEM=90°，∴∠GMH=∠AEM，∴△AEM∽△HMG，∴==，∴HG=AM=2，∴AB=HG=2．故答案为：2．点评：此题考查了四边形综合，用到的知识点是全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角函数值的运用，等边三角形、等腰直角三角形的性质．在解答时添加辅助线构建全等形和相似形是关键． 14
