北京市密云县2022年中考数学一模试卷（解析版）

北京市密云县2022年中考数学一模试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（4分）（2022•密云县一模）﹣的倒数是（　　）　A．6B．﹣6C．D．﹣考点：倒数．专题：常规题型．分析：根据互为倒数的两个数的积等于1解答．解答：解：∵（﹣）×（﹣6）=1，∴﹣的倒数是﹣6．故选B．点评：本题考查了倒数的定义，熟记概念是解题的关键．　2．（4分）（2022•密云县一模）太阳的半径大约是696000千米，用科学记数法可表示为（　　）　A．696×103千米B．69.6×104千米C．6.96×105千米D．6.96×106千米考点：科学记数法—表示较大的数．.专题：计算题．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：696000=6.96×105；故选C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　3．（4分）（2022•密云县一模）在下列四个黑体字母中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）　A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．.专题：常规题型．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．21\n解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了轴对称图形与中心对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．　4．（4分）（2022•密云县一模）函数中，自变量x的取值范围是（　　）　A．x＞2B．x＜2C．x≠2D．x≠﹣2考点：函数自变量的取值范围．.分析：根据分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：根据题意得，x﹣2≠0，解得x≠2．故选C．点评：本题考查了函数自变量的取值范围，用到的知识点为：分式有意义，分母不为0．　5．（4分）（2022•密云县一模）在一个不透明的袋子里装有3个黑球和2个白球，他们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，摸到黑球的概率是（　　）　A．B．C．D．考点：概率公式．.分析：根据概率公式先求出总的球数，再进行计算即可．解答：解：∵袋子里装有3个黑球和2个白球，共5个球，∴随机从中摸出一个球，摸到黑球的概率是，故选C．点评：此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．　6．（4分）（2022•密云县一模）下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是（　　）　A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图．.21\n分析：主视图是从几何体的正面看所得到的图形，根据主视图所看的方向，写出每个图形的主视图及可选出答案．解答：解：A、主视图是长方形，故此选项错误；B、主视图是长方形，故此选项错误；C、主视图是三角形，故此选项正确；D、主视图是正方形，中间还有一条线，故此选项错误；故选：C．点评：此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．　7．（4分）（2022•密云县一模）某射击运动员在一次射击练习中，成绩（单位：环）记录如下：8，9，8，7，10．这组数据的平均数和中位数分别是（　　）　A．8，8B．8.4，8C．8.4，8.4D．8，8.4考点：中位数；算术平均数．.分析：根据平均数公式求解即可，即用所有数据的和除以5即可；5个数据的中位数是排序后的第三个数．解答：解：8，9，8，7，10的平均数为×（8+9+8+7+10）=8.4．8，9，8，7，10排序后为7，8，8，9，10，故中位数为8．故选B．点评：本题考查了中位数及算术平均数的求法，特别是中位数，首先应该排序，然后再根据数据的个数确定中位数．　8．（4分）（2022•密云县一模）如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到O点的距离为S，则S关于t的函数图象大致为（　　）　A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．.专题：压轴题；动点型．分析：本题考查动点问题的函数图象问题．解答：解：一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行，在开始时经过OA这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间t的增大而增大；到弧AB这一段，蚂蚁到O点的距离S不变，走另一条半径时，S随t的增大而减小．故选C．点评：注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．21\n　二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2022•密云县一模）分解因式：a3﹣2a2+a=　a（a﹣1）2　．考点：提公因式法与公式法的综合运用．.分析：此多项式有公因式，应先提取公因式a，再对余下的多项式进行观察，有3项，可利用完全平方公式继续分解．解答：解：a3﹣2a2+a=a（a2﹣2a+1）=a（a﹣1）2．故答案为：a（a﹣1）2．点评：本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．　10．（4分）（2022•密云县一模）已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的面积为　3π　cm2．考点：扇形面积的计算．.分析：根据扇形的面积公式即可求解．解答：解：扇形的面积==3πcm2．故答案是：3π．点评：本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题关键．　11．（4分）（2022•密云县一模）将一副三角板按图中方式叠放，则角α的度数为　75°　．考点：三角形的外角性质．.专题：探究型．分析：先根据直角三角板的性质求出∠1及∠2的度数，再根据三角形内角与外角的关系即可解答．解答：解：∵图中是一副三角板，∴∠2=45°，∠1=90°﹣45°=45°，∴∠α=∠1+30°=45°+30°=75°．故答案为：75°．点评：21\n本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．　12．（4分）（2022•密云县一模）观察下列等式：第1个等式：a1==×（1﹣）；第2个等式：a2==×（﹣）；第3个等式：a3==×（﹣）；第4个等式：a4==×（﹣）；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5=　　=　×（﹣）　；（2）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值为　　．考点：规律型：数字的变化类．.专题：压轴题．分析：（1）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1．（2）运用（1）中变化规律计算得出即可．解答：解：（1）第1个等式：a1==×（1﹣）；第2个等式：a2==×（﹣）；第3个等式：a3==×（﹣）；第4个等式：a4==×（﹣）；…则第5个等式：a5==×（﹣）；故答案为：，×（﹣）；（2）a1+a2+a3+a4+…+a100=×（1﹣）+×（﹣）+…+×（﹣），=×（1﹣+﹣+…+﹣），=×（1﹣），21\n=．故答案为：．点评：此题考查了数字的规律及运用规律计算．寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系．　三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）（2022•密云县一模）计算：．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．.分析：分别进行二次根式的化简、零指数幂、绝对值、负整数指数幂的运算，然后按照实数的运算法则计算即可．解答：解：原式=2+1﹣5+9=7．点评：本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的化简、零指数幂、绝对值、负整数指数幂等知识，属于基础题．　14．（5分）（2022•密云县一模）解不等式：5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7．考点：解一元一次不等式．.专题：探究型．分析：先去括号、移项、再合并同类项，化系数为1即可．解答：解：去括号得，5x﹣10+8＜6x﹣6+7，移项得，5x﹣6x＜﹣6+7+10﹣8，合并同类项得，﹣x＜3，化系数为1得，x＞﹣3．故此不等式的解集为：x＞﹣3．点评：本题考查的是解一元一次不等式，去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1是解一元一次不等式的基本步骤，要根据各不等式的特点灵活应用．　15．（5分）（2022•密云县一模）已知（a≠b），求的值．考点：分式的化简求值；约分；通分；分式的加减法．.专题：计算题．分析：求出=，通分得出﹣，推出，化简得出，代入求出即可．解答：解：∵+=，21\n∴=，∴﹣，=﹣，=，=，=，=．点评：本题考查了通分，约分，分式的加减的应用，能熟练地运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键，用了整体代入的方法（即把当作一个整体进行代入）．　16．（5分）（2022•密云县一模）已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．考点：全等三角形的判定与性质．.专题：证明题．分析：由∠1=∠2可得：∠EAD=∠BAC，再有条件AB=AE，∠B=∠E可利用ASA证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得BC=ED．解答：证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即：∠EAD=∠BAC，在△EAD和△BAC中，∴△ABC≌△AED（ASA），∴BC=ED．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．　21\n17．（5分）（2022•密云县一模）如图，已知直线L1经过点A（﹣1，0）与点B（2，3），另一条直线L2经过点B，且与x轴相交于点P（m，0）．（1）求直线L1的解析式．（2）若△APB的面积为3，求m的值．（提示：分两种情形，即点P在A的左侧和右侧）考点：待定系数法求一次函数解析式．.专题：分类讨论；待定系数法．分析：（1）设直线L1的解析式为y=kx+b，由题意列出方程组求解；（2）分两种情形，即点P在A的左侧和右侧分别求出P点坐标，再求解．解答：解：（1）设直线L1的解析式为y=kx+b，由题意得，解得．所以直线L1的解析式为y=x+1．（2）当点P在点A的右侧时，AP=m﹣（﹣1）=m+1，有S△APB=×（m+1）×3=3，解得：m=1．此时点P的坐标为（1，0）．当点P在点A的左侧时，AP=﹣1﹣m，有S△APB=×|﹣m﹣1|×3=3，解得：m=﹣3，此时，点P的坐标为（﹣3，0）．综上所述，m的值为1或﹣3．点评：本题要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数求得函数解析式；利用P点坐标求三角形的面积．　18．（5分）（2022•密云县一模）某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8800件投入市场，服装厂有AB两个制衣间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2倍，A、B两车间共完成一半后，A车间出现故障停产，剩下全部由B车间单独完成，结果前后共用了20天完成，求A、B两车间每天分别能加工多少件．考点：分式方程的应用．.专题：压轴题．21\n分析：首先设B车间每天能加工x件，则A车间每天能加工1.2x件，由题意可得等量关系：A、B两车间生产4400件所用的时间+B两车间生产4400件所用的时间=20天，有等量关系可列出方程+=20，解方程可得答案，注意不要忘记检验．解答：解：设B车间每天能加工x件，则A车间每天能加工1.2x件，由题意得：+=20，解得：x=320，经检验：x=320是原分式方程的解，1.2×320=384（件）．答：A车间每天能加工384件，B车间每天能加工320件．点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答，必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性．　四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）（2022•密云县一模）如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．（1）证明：四边形AECF是矩形；（2）若AB=8，求菱形的面积．考点：矩形的判定；勾股定理；菱形的性质．.专题：证明题．分析：（1）根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，然后判断出△ABC是等边三角形，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，∠AEC=90°，再根据菱形的对边平行且相等以及中点的定义求出AF与EC平行且相等，从而判定出四边形AECF是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证；（2）根据勾股定理求出AE的长度，然后利用菱形的面积等于底乘以高计算即可得解．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，又∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），∴∠1=90°，∵E、F分别是BC、AD的中点，21\n∴AF=AD，EC=BC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD=BC，∴AF∥EC且AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又∵∠1=90°，∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）解：在Rt△ABE中，AE==4，所以，S菱形ABCD=8×4=32．点评：本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，证明得到四边形AECF是平行四边形是解题的关键，也是突破口．　20．（5分）（2022•密云县一模）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N．（1）求证：OM=AN；（2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质．.专题：几何综合题．分析：（1）连接OA，由切线的性质可知OA⊥AP，再由MN⊥AP可知四边形ANMO是矩形，故可得出结论；（2）连接OB，则OB⊥BP由OA=MN，OA=OB，OM∥AP．可知OB=MN，∠OMB=∠NPM．故可得出Rt△OBM≌△MNP，OM=MP．设OM=x，则NP=9﹣x，在Rt△MNP利用勾股定理即可求出x的值，进而得出结论．解答：（1）证明：如图，连接OA，则OA⊥AP，∵MN⊥AP，∴MN∥OA，21\n∵OM∥AP，∴四边形ANMO是矩形，∴OM=AN；（2）解：连接OB，则OB⊥BP∵OA=MN，OA=OB，OM∥AP．∴OB=MN，∠OMB=∠NPM．∴Rt△OBM≌Rt△NPM，∴OM=MP．设OM=x，则NP=9﹣x，在Rt△MNP中，有x2=32+（9﹣x）2∴x=5，即OM=5．点评：本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的判定与性质，在解答此类题目时往往连接圆心与切点，构造出直角三角形，再根据直角三角形的性质解答．　21．（5分）（2022•密云县一模）某市对教师试卷讲评课中学生参与的深度和广度进行评价，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初中生的参与情况，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题：（1）这次评价中，一共抽查了　560　名学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）如果全市有16万初中学生，那么在试卷讲评课中，“独立思考”的学生约有多少万人？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．.专题：数形结合．分析：（1）用专注听讲的人数224除以专注听讲所占的百分比即可得到所抽查的学生总人数；21\n（2）用16万乘以“独立思考”的学生所占的百分比即可．解答：解：（1）抽查的学生总人数==560（名）；（2）讲解题目的人数=560﹣84﹣168﹣224=84（名），画条形统计图为：（3）∵16×=4.8（万），∴全市在试卷讲评课中，“独立思考”的学生约有4.8万人．故答案为560．点评：本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出各项的数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图以及样本估计总体的统计思想．　22．（5分）（2022•密云县一模）如图，长方形制片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁减和拼图第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC（余下部分不再使用）；第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．（注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）（1）所拼成得四边形是什么特殊四边形？（2）则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值是多少？21\n考点：图形的剪拼；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质．.分析：（1）首先确定剪拼之后的四边形是个平行四边形；（2）根据周长大小取决于MN的大小，然后在矩形中探究MN的不同位置关系，得到其长度的最大值与最大值，从而问题解决．解答：解：（1）画出第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图，如答图1所示．图中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位线定理），又∵M1M2∥N1N2，∴四边形M1N1N2M2是一个平行四边形，（2）其周长为2N1N2+2M1N1=2BC+2MN．∵BC=6cm为定值，∴四边形的周长取决于MN的大小．如答图2所示，是剪拼之前的完整示意图，过G、H点作BC边的平行线，分别交AB、CD于P点、Q点，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半，∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4cm．点评：此题主要考查了图形的剪拼以及考查了动手操作能力和空间想象能力，确定剪拼之后的图形，并且探究MN的不同位置关系得出四边形周长的最值是解题关键．　五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2022•密云县一模）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．21\n考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）当k=﹣2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为：y=，利用待定系数法即可求得答案；（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k＜0，又由二次函数y=k（x2+x﹣1）的对称轴为x=﹣，可得x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大；（3）由△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q（﹣，﹣k），A（1，k），即可得=，继而求得答案．解答：解：（1）当k=﹣2时，A（1，﹣2），∵A在反比例函数图象上，∴设反比例函数的解析式为：y=，代入A（1，﹣2）得：﹣2=，解得：m=﹣2，∴反比例函数的解析式为：y=﹣；（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，∴k＜0，∵二次函数y=k（x2+x﹣1）=k（x+）2﹣k，对称轴为：直线x=﹣，要使二次函数y=k（x2+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，即x≤﹣时，才能使得y随着x的增大而增大，∴综上所述，k＜0且x≤﹣；（3）由（2）可得：Q（﹣，﹣k），∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）∴原点O平分AB，∴OQ=OA=OB，作AD⊥OC，QC⊥OC，21\n∴OQ==，∵OA==，∴=，解得：k=±．点评：此题考查了二次函数的性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想的应用．　24．（7分）（2022•密云县一模）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB=4，BC=6，∠B=60度．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．考点：等腰梯形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；三角形中位线定理．.专题：压轴题．分析：（1）可通过构建直角三角形然后运用勾股定理求解．21\n（2）①△PMN的形状不会变化，可通过做EG⊥BC于G，不难得出PM=EG，这样就能在三角形BEG中求出EG的值，也就求出了PM的值，如果做PH⊥MN于H，PH是三角形PMH和PHN的公共边，在直角三角形PHM中，有PM的值，∠PMN的度数也不难求出，那么就能求出MH和PH的值，也就求出HN和PN的值了，有了PN，PM，MN的值，就能求出三角形MPN的周长了．②本题分两种情况进行讨论：1、N在CD的DF段时，PM=PN．这种情况同①的计算方法．2、N在CD的CF段时，又分两种情况进行讨论MP=MN时，MC=MN=MP，这样有了MC的值，x也就能求出来了NP=NM时，我们不难得出∠PMN=120°，又因为∠MNC=60°因此∠PNM+∠MNC=180度．这样点P与F就重合了，△PMC即这是个直角三角形，然后根据三角函数求出MC的值，然后就能求出x了．综合上面的分析把△PMC是等腰三角形的情况找出来就行了．解答：解：（1）如图1，过点E作EG⊥BC于点G．∵E为AB的中点，∴BE=AB=2在Rt△EBG中，∠B=60°，∴∠BEG=30度．∴BG=BE=1，EG=即点E到BC的距离为（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变．∵PM⊥EF，EG⊥EF，∴PM∥EG，又EF∥BC，∴四边形EPMG为矩形，∴EP=GM，PM=EG=同理MN=AB=4．如图2，过点P作PH⊥MN于H，∵MN∥AB，∴∠NMC=∠B=60°，又∠PMC=90°，∴∠PMH=∠PMC﹣∠NMC=30°．∴PH=PM=∴MH=PM•cos30°=则NH=MN﹣MH=4﹣在Rt△PNH中，PN=∴△PMN的周长=PM+PN+MN=②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形．当PM=PN时，如图3，作PR⊥MN于R，则MR=NR．类似①，PM=，∠PMR=30°，MR=PMcos30°=×=，21\n∴MN=2MR=3．∵△MNC是等边三角形，∴MC=MN=3．此时，x=EP=GM=BC﹣BG﹣MC=6﹣1﹣3=2．当MP=MN时，∵EG=，∴MP=MN=，∵∠B=∠C=60°，∴△MNC是等边三角形，∴MC=MN=MP=（如图4），此时，x=EP=GM=6﹣1﹣，当NP=NM时，如图5，∠NPM=∠PMN=30度．则∠PNM=120°，又∠MNC=60°，∴∠PNM+∠MNC=180度．因此点P与F重合，△PMC为直角三角形．∴MC=PM•tan30°=1．此时，x=EP=GM=6﹣1﹣1=4．综上所述，当x=2或4或（5﹣）时，△PMN为等腰三角形．21\n点评：本题综合考查了等腰梯形，等腰直角三角形的性质，中位线定理，勾股定理等知识点的应用．　25．（8分）（2022•密云县一模）如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）．连接CB，CP．（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；（2）当m＞1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，进而求出BC的长；（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明△ACH∽△PCB，根据相似的性质得到：，再用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值；21\n（3）存在，本题要分当m＞1时，BC=2（m﹣1），PM=m，BP=m﹣1和当0＜m＜1时，BC=2（1﹣m），PM=m，BP=1﹣m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标．解答：解：（1）当m=3时，y=﹣x2+6x令y=0得﹣x2+6x=0∴x1=0，x2=6，∴A（6，0）当x=1时，y=5∴B（1，5）∵抛物线y=﹣x2+6x的对称轴为直线x=3又∵B，C关于对称轴对称∴BC=4．（2）连接AC，过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°∴∠ACH=∠PCB又∵∠AHC=∠PBC=90°∴△ACH∽△PCB，∴，∵抛物线y=﹣x2+2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，又∵B，C关于对称轴对称，∴BC=2（m﹣1），∵B（1，2m﹣1），P（1，m），∴BP=m﹣1，又∵A（2m，0），C（2m﹣1，2m﹣1），∴H（2m﹣1，0），∴AH=1，CH=2m﹣1，∴，∴m=．（3）∵B，C不重合，∴m≠1，21\n（I）当m＞1时，BC=2（m﹣1），PM=m，BP=m﹣1，（i）若点E在x轴上（如图1），∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP，在△BPC和△MEP中，，∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，∴2（m﹣1）=m，∴m=2，此时点E的坐标是（2，0）；（ii）若点E在y轴上（如图2），过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，∴BP=NP=OM=1，∴m﹣1=1，∴m=2，此时点E的坐标是（0，4）；（II）当0＜m＜1时，BC=2（1﹣m），PM=m，BP=1﹣m，（i）若点E在x轴上（如图3），易证△BPC≌△MEP，∴BC=PM，∴2（1﹣m）=m，∴m=，此时点E的坐标是（，0）；（ii）若点E在y轴上（如图4），过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，∴BP=NP=OM=1，∴1﹣m=1，∴m=0（舍去），综上所述，当m=2时，点E的坐标是（2，0）或（0，4），当m=时，点E的坐标是（，0）．21\n点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质、相似三角形的判定和相似三角形的性质以及全等三角形的性质和全等三角形的判定、需注意的是（3）题在不确E点的情况下需要分类讨论，以免漏解．题目的综合性强，难度也很大，有利于提高学生的综合解题能力，是一道不错的题目．21