2022年北京市高级中等学校招生考试数学试卷学校姓名准考证号1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分，考试时间120分钟。招2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。生3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。须4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答。知5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。6．转载请注明学而思培优首发。一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的.1．在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2022-2022）》中，北京市提出了共计约3960亿元的投资计划，将3960用科学记数法表示应为10A．39.6´1022．-3的倒数是4A．43B．3.96´103B．34C．3.96´104C．-34D．0.396´104D．-43103．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为10A．15B．25C．35D．45104．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，Ð1=Ð2，若Ð3=40°，则Ð4等于A．40°B．50°C．70°D．80°5．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB^BC，CD^BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE=20m，BE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于A．60mB．40mC．30mD．20m6．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是c3a214bABECD1010\nABCD10\n7．某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：时间（小时）5678人数1015205则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是A．6.2小时B．6.4小时PC．6.5小时D．7小时8．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，10设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示yAOB10与x的函数关系的图象大致是10yy112212xAy1212xBy1212xC12xD10二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．分解因式：ab2-4ab+4a=.10．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y=.AMD11．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为.O12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=-x-1，双曲BC线y=1，在l上取一点A，过A作x轴的垂线交双曲线于点x11yB1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过A210作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A，…，An，….记点An的横坐标为an，若a1=2，则a2=，a2022=；若要将上述操作无限次地进行下云，则a1不1B1A2O1xA1l10能取的值是.三、解答题（本题共30分，每小题5分）10\nC13．已知：如图，D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，ÐB=ÐDAE.ED求证：BC=AE.1014．计算：(1-3)0+|-2|-2cos45°+(1)-1.4AB10\n3x>x-2，15．解不等式组：16．已知x2-4x-1=0，求代数式(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2的值.17．列方程或方程组解应用题：某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积.18．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值.四、解答题（本题共20分，每小题5分）1019．如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=1BC，连接DE，CF.2AFD10（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，ÐB=60°，求DE的长.20．如图AB是O的直径，PA，PC与O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE^PO交PO的延长线于点E.（1）求证：ÐEPD=ÐEDO；（2）若PC=6，tanÐPDA=3，求OE的长.421．第九界中国国际园林博览会（园博会）已于2022年5月18BCEPCBAODE10日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分。10第六届至第九届园博会园区陆地面积和水面面积统计图第九届园博会植物花园区各花园面积分布统计图101043.532.521.510.50第六届第七届第八届第九届届次3.732.5110\n1.70.5陆地紫薇园面积樱花园水面面积月季园牡丹园丁香园10\n（1）第九界园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，牡丹园面积为平方千米；（2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系。根据小娜的发现，请估计，将于2022年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）。第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表日均接待游客量（万人次）单日最多接待游量（万人次）停车位数量（个）第七届0.86约3000第八届2.38.2约4000第九届8（预计）20（预计）约10500第十届1.9（预计）7.4（预计）约22．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a(a>2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当ÐAFQ=ÐBGM=ÐGHN=ÐDEP=45°时，求正方形MNPQ的面积。RAFEDQMPNBGEWAQDHHSMPFNCBGCT图1图2小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）。10\n请回答：A（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为；D（2）求正方形MNPQ的面积。R参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，QF再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边BEC10△RPQ，若S△EPQ=则ADr的长为。图3五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B。（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方，并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式。y65432110-4-3-2-1O-1-2-3-4-5-61234x1010\n24．在△ABC中，AB=AC，ÐBAC=a（0°＜a＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。（1）如图1，直接写出ÐABD的大小（用含a的式子表示）；（2）如图2，ÐBCE=150°，ÐABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若ÐDEC=45°，求a的值。AADDEBCBC图1图210\n25．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A,B，使得ÐAPB=60°，则称P为⊙C的关联点。ç22÷已知点Dæ1,1ö，E(0,-2)，F(23,0)。èø（1）当⊙O的半径为1时，①在点D,E,F中，⊙O的关联点是＿＿＿＿＿＿＿；②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使ÐGFO=30°，若直线l上的点P(m,n)是⊙O的关联点，求m的取值范围;（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。y65432110-4-3-2-1O-1-2-3-4-5-61234x10\n一、选择题2022年北京市高级中等学校招生考试数学试卷参考答案91．B2．D3．C4．C5．B6．A7．B8．A二、填空题99．a(b-2)210．x2+111．2012．-3，-1，0，-1923三、解答题13．证明：∵DE∥AB∴ÐCAB=ÐADE在△ABC与△DAE中ìÐCAB=ÐADEíïAB=DAîïÐB=ÐDAE∴△ADE≌△BAC（ASA）∴BC=AE914．解：原式=1+=52-2´2+42915．解：由3x>x-2，得x>-1由x+1>2x，得3x<15∴-1<x<1516．代数式化简得：4x2-12x+9-x2+y2-y2=3x2-12x+9=3(x2-4x+3)∵x2-4x=1代入得9\n∴原式=1217．设每人每小时的绿化面积为x平方米.则有：180-180=396x解得x=2.5(6+2)x9经检验：x=2.5是原方程的解答：每人每小时的绿化面积为2.5平方米18．（1）△=4-4(2k-4)=20-8k9\n∵方程有两个不等的实根∴△>0即20-8k>0∴k<52（2）∵k为整数∴0<k<5即k=1或2，2x1、2=-1±5-2k9∵方程的根为整数，∴5-2k为完全平方数当k=1时，5-2k=3k=2时，5-2k=1∴k=219．（1）在ABCD中，AD∥BC∵F是AD中点.∴DF=1AD，又∵CE=1BC.22∴DF=CE且DF∥CE∴四边形CEDF为平行四边形（2）过D作DH^BE于H在ABCD中∵ÐB=60°∴ÐDCE=60°∵AB=4∴CD=4∴CH=2，DH=23在CEDF中，CE=DF=1AD=32∴EH=1在Rt△DHE中9DE=(23)2+12=139\n20．（1）∵PA、PC与O分别相切于点A、C∴ÐAPO=ÐEPD且PA^AO即ÐPAO=90°∵ÐAOP=ÐEOD，ÐPAO=ÐE=90°∴ÐAPO=ÐEDO即ÐEPD=ÐEDO（2）连结OC∴PA=PC=6∵tanÐPDA=34∴在Rt△PAD中AD=8，PD=10∴CD=4∵tanÐPDA=34∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5∵ÐEPD=ÐEDO∴△OED∽△DEP∴PD=DE=10=2ODOE51在Rt△OED中OE2+DE2=52∴OE=521．（1）0.03（2）陆地面积3.6水面面积1.5图略（3）370022．（1）a（2）四个等腰直角三角形面积和为a2正方形ABCD的面积为a2∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4´1´122=2（3）2323．解：（1）当x=0时，y=-2.∴A(0，-2)抛物线对称轴为x=--2m=19\n2m∴B(1，0)（2）易得A点关于对称轴的对称点为A(2，-2)则直线l经过A、B.没直线的解析式为y=kx+b9则ì2k+b=-2íîk+b=0，解得ìk=-2íîb=29∴直线的解析式为y=-2x+2（3）∵抛物线对称轴为x=1抛物体在2<x<3这一段与在-1<x<0这一段关于对称轴对称结合图象可以观察到抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方在-1<x<0这一段位于直线l的下方∴抛物线与直线l的交点横坐标为-1；9\n当x=-1时，y=-2x(-1)+2=+4则抛物线过点（-1，4）当x=-1时，m+2m-2=4，m=2∴抛物线解析为y=2x2-4x-2.24．解：（1）30°-1a2（2）△ABE为等边三角形证明连接AD、CD、ED∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD则BC=BD，ÐDBC=60°又∵ÐABE=60°∴ÐABD=60°-ÐDBE=ÐEBC=30°-1a2且△BCD为等边三角形.在△ABD与△ACO中ìAB=ACíïAD=ADîïBD=CD∴△ABD≌△ACD（SSS）∴ÐBAD=ÐCAD=1ÐBAC=1a22∵ÐBCE=150°∴ÐBEC=180°-(30°-1a)-150°=1a22在△ABD与△EBC中AìÐBEC=ÐBADíïÐEBC=ÐABDîïBC=BDD∴△ABD≌△EBC（AAS）E∴AB=BEBC∴△ABE为等边三角形（3）∵ÐBCD=60°，ÐBCE=150°∴ÐDCE=150°-60°=90°又∵ÐDEC=45°∴△DCE为等腰直角三角形∴DC=CE=BC∵ÐBCE=150°∴ÐEBC=(180°-150°)=15°9\n2而ÐEBC=30°-1a=15°29\n∴a=30°25.解：(1)①D、E；②由题意可知，若P点要刚好是圆C的关联点；需要点P到圆C的两条切线PA和PB之间所夹的角度为60°；由图1可知ÐAPB=60°，则ÐCPB=30°，9连接BC，则PC=BCsinÐCPB=2BC=2r；9∴若P点为圆C的关联点；则需点P到圆心的距离d满足0£d£2r；由上述证明可知，考虑临界位置的P点，如图2；P点P到原点的距离OP=2´1=2；过O作x轴的垂线OH，垂足为H；tanÐOGF=OF=23=3；ABOG2∴ÐOGF=60°；C9∴OH=OG×sin60°=3；∴sinÐOPH=OH=3；OP2∴ÐOPH=60°；易得点P1与点G重合，过P2作P2M^x轴于点M；易得ÐP2OM=30°；∴OM=OP2×cos30°=3；图1yG(P1)HOMFx图29\n从而若点P为圆O的关联点，则P点必在线段P1P2上；∴0£m£3；(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；考虑临界情况，如图3；即恰好E、F点为圆K的关联时，则KF=2KN=1EF=2；2∴此时r=1；y故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，F这个圆的半径r的取值范围为r³1.xKNE图39
