等腰三角形一、选择题1．（2022山东德州，4，3分）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE,∠D=740,，则∠B的度数为（）A、680B、320C、220D、160【答案】B.【解析】在△CDE中，∵CD=CE，∴∠D=∠DEF=74°,∴∠C=180°-2×74°=32°.∵AB∥CD，∴∠B=∠C=32°.【方法指导】本题考查了平行线性质、等腰三角形性质、三角形内角和.本题把平行线、三角形内角和、等腰三角形基础知识进行简单组合进行考查.注意“等边对等角”前提是在同一个三角形中，也就是是等腰三角形的重要性质.2．（2022山东日照，10，4分）如图，在△ABC中，以BC为圆的直径分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是A.BD⊥ACB.AC2=2AB·AEC.△ADE是等腰三角形D.BC＝2AD.【答案】D【解析】∵BC为圆的直径，∴∠BDC=90°,即BD⊥AC。∵BD平分∠ABC，∴AD=DC.∴△ABC是等腰三角形。由题意得∠ADE=∠ABC,∠A为公共角，∴△ADE∽△ABC,∴,∴AC2=2AB·AE。∴△ADE是等腰三角形。故只有D不一定正确。【方法指导】本题是以圆为背景的几何证明题，涉及到的知道点等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质。3．(2022四川成都，4，3分)如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长为()(A)2(B)3(C)4(D)59\nABC第4题图5【答案】D．【解析】根据“等边对等角”可知，AC＝AB＝5．故选D．【方法指导】我们知道“等边对等角”、“等角对等边”．一个三角形中，边和角还有以下关系：“较大的边所对的角较大”、“较大的角所对边较大”．4．（2022四川南充，3，3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（ ）A．70° B．55° C．50° D．40°【答案】：D．【解析】根据等腰三角形的性质等边对等角得到∠C=∠B=70°，再根据三角形内角和定理得∠A=180°-∠C-∠B=180°-70°-70°=40°.故选D.【方法指导】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理.等腰三角形性质：等边对等角；“三线合一”.三角形内角和定理：三角形内角和为180°.5．（2022广西钦州，10，3分）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ） A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°考点：等腰三角形的性质．3718684专题：分类讨论．分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．解答：解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选B．点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．6．（2022贵州毕节，7，3分）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为（ ） A．16B．20或16C．20D．12考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：因为已知长度为4和8两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解答：解：①当4为底时，其它两边都为8，9\n4、8、8可以构成三角形，周长为20；②当4为腰时，其它两边为4和8，∵4+4=8，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有20．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．7．（2022•徐州，4，3分）若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（ ） A．80°B．50° C．40° D．20°考点：等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可得解．解答：解：∵等腰三角形的顶角为80°，∴它的底角度数为（180°－80°）＝50°．故选B．点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，是基础题．8．（2022上海市，6，4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（）（A）∠BDC=∠BCD；（B）∠ABC=∠DAB；（C）∠ADB=∠DAC；（D）∠AOB=∠BOC．9．（2022河北省，8，3分）如图1，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里答案：D9\n解析：依题意，知MN＝40×2＝80，又∠M＝70°，∠N＝40°，所以，∠MPN＝70°，从而NP＝NM＝80，选D＞二、填空题。1.（2022湖北黄冈，11，3分）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE＝．【答案】．【解析】根据等边三角形的性质，易知∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，BD⊥AC，所以BC＝2CD＝2，∠E＝∠CDE＝∠ACB＝30°，从而有BD＝＝＝，∠DBC＝∠E＝30°，所以DE＝BD＝．【方法指导】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理．上面解法的求解关键是发现DE＝DB，将问题转化为在Rt△BCD中求DB．求DB时，还可根据tan∠CBD＝直接求解．另外，也可以过点C作CF⊥DE，根据DE＝2EF，将问题转化为求EF，这又可以通过在Rt△CEF中运用勾股定理或锐角三角函数求解．2．(2022湖北荆门，14，3分)若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为______．【答案】50°或80°．【解析】(1)若这个内角恰好是顶角，则顶角是50°；(2)若这个内角是底角，则顶角＝180°－2×50°＝80°．【方法指导】当等腰三角形已知的角没指明是顶角还是底角时，或者已知的边没指明是腰还是底边时，若者已知的顶点没指明是顶角的顶点还是底角的顶点时，均需要分类讨论．3．（2022山东滨州，15，4分）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B=______________．【答案】：x=．9\n【解析】利用等腰三角形等边对等角得到，再利用三角形内角和定理可求得.【方法指导】本题主要考查了等腰三角形等边对等角的性质以及三角形内角和定理，是基础题型，较为容易.4．（2022广东广州，11，3分）点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7,则PB=______.【答案】7.【解析】根据题意画出图形，如图所示：由图可知，PA=PB=7，故答案填7.【方法指导】对于这类题，通常都是根据题意画出图形，由图形作答．5．（2022山东菏泽，12，3分）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”.“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”).已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是______(写出1个即可).【答案】或．(写出1个即可).【解析】1）根据“三线合一”等可知，面径为底边上的高h，；（2）与一边平行的线段（如图），设DE=x，因为△ADE与四边形DBCE面积要相等，根据三角形相似性质，有.解得x=.综上所述，所以符合题意的面径只有这两种数量关系.【方法指导】根据规定内容的定义，思考要把边长为2的等边三角形分成面积相等的两部分的直线存在有两种情形：（1）高（中线、角平分线）所在线；（2）与一边平行的线.要把一个三角形面积进行两等份，这样的直线有无数条，都过这个三角形三边中线的交点（重心）.经过计算无数条中等边三角形“面径”长只有上述两种情形.6．（2022江西，14，3分）平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是．【答案】2，3，4【解析】由∠AOB=120°，AO=BO=2画出一个顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，由与互补，是的一半，点C是动点想到构造圆来解决此题．9\n【方法指导】本题主要考查学生阅读理解能力、作图能力、联想力与思维的严谨性、周密性，所涉及知识点有等腰三角形、圆的有关知识，分类讨论思想，不等式组的整数解，在运动变化中抓住不变量的探究能力．2．（2022白银，13，4分）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为 6，4或5，5 ．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：此题分为两种情况：6是等腰三角形的腰或6是等腰三角形的底边．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．解答：解：当腰是6时，则另两边是4，6，且4+6＞6，满足三边关系定理；当底边是6时，另两边长是5，5，5+5＞6，满足三边关系定理，故该等腰三角形的另两边为：6，4或5，5．故答案为：6，4或5，5．点评：本题考查了等腰三角形的性质，应从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法，难度适中．三、解答题1．(2022湖北荆门，19，9分)如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．(1)求证：BE＝CE；(2)若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，如图2，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．ABCDE(第19题图1)ABCDEF(第19题图2)【思路分析】(1)证△ABE≌△ACE即可．(2)△AEF和△BCF已具备两组角对应相等，因此只需证有一组对应边相等．由∠BAC＝45°可知ABF为等腰直角三角形，于是找到对应边AF，BF相等．【解】证明：(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE．在△ABE和△ACE中，∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，△ABE≌△ACE．∴BE＝CE．(2)∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，∴△ABF为等腰直角三角形．∴AF＝BF．由(1)知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF．在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°，∠EAF＝∠CBF，∴△AEF≌△BCF．【方法指导】证三角形全等，关键是证角相等或边相等．9\n全等三角形的判定方法有：SAS、ASA、AAS、SSS和HL（HL为直角三角形专用）．等腰三角形的三线合一性在三角形全等的证明中有较广泛的应用.2.（2022上海市，18，4分）如图5，在△中，，，tanC=，如果将△沿直线l翻折后，点落在边的中点处，直线l与边交于点，那么的长为__________．3.（2022四川巴中，17，3分）方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 15 ．考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：计算题；分类讨论．分析：求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边是3，3，6时，②当等腰三角形的三边是3，6，6时，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合求出即可．解答：解：x2﹣9x+18=0，∴（x﹣3）（x﹣6）=0，∴x﹣3=0，x﹣6=0，∴x1=3，x2=6，当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形，当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15，故答案为：15．点评：本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，等腰三角形的性质的应用，关键是确定三角形的三边的长度，用的数学思想是分类讨论思想． 4．（2022贵州省黔西南州，20，3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 15 度．9\n考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．分析：根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为：15．点评：本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．4.（2022上海市，23，12分）如图8，在△中，，，点为边的中点，交于点，图8交的延长线于点．（1）求证：；（2）联结，过点作的垂线交的延长线于点，求证：．9\n5（2022四川内江，18，8分）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：证明题．分析：根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，再根据同角的余角相等求出∠ACE=∠BCD，然后利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．解答：证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∵∠ACD=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴BD=AE．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键．9
