多边形与平行四边形一、选择题1．（2022江苏扬州，6，3分）一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是（）．A．七边形B．六边形C．五边形D．四边形【答案】C．【解析】根据多边形的内角和公式可知，这个n边形满足：（n－2）×180=108n．解得n=5．所以应选C．【方法指导】多边形的内角和公式：（n－2）×180°．每个内角相等的多边形是正多边形．【易错警示】记不住多边形的内角和公式而出错．2．（2022重庆市(A)，9，4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE＝2ED，CD＝3cm，则AF的长为（）A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm【答案】B．【解析】由平行四边形ABCD，得AF∥CD，所以∠F＝∠ECD，∠FAE＝∠D，则有△AFE∽△DEC，从而得到＝＝2，即＝2，解得AF＝6．故答案选B．【方法指导】本题考查平行四边形的性质，相似三角形．本题图形中蕴涵两个相似三角形基本图：1.“X”型，即△AFE∽△DEC．2.“A”型，即△FAE∽△FBC．2.（2022湖南益阳，6，4分）如图2，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A．∠1=∠2B．∠BAD=∠BCDC．AB=CDD．AC⊥BD12ABCD图2【答案】：D【解析】根据平行四边形的性质可知D是错误的。【方法指导】根据平行四边形性质可知：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等，平行四边形的对角线互相平分。3．（2022广东湛江，5，4分）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【答案】B.【解析】根据题意有，于是n=5,本题选B【方法指导】本题考查了多边形的内角和。掌握多边形内角计算的公式是解题的关键。有关多边形，我们需要掌握以下相关的知识：28\n1.多边形的内角和：；2.多边形形的外角和：360°3.多边形的对角线有：4．(2022湖北荆门，7，3分)四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC②AD＝BC③OA＝OC④OB＝OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有()A．3种B．4种C．5种D．6种【答案】B【解析】从四个条件中任选两个，共有6种选法．若选②、③或选②、④，则不能使四边形ABCD是平行四边形．其它4种选法，即选①、②或①、③或①、④或③、④，则均能使四边形ABCD为平行四边形．故选B．【方法指导】判定四边形是平行四边形，除常见的方法外，还有以下方法：(1)一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形；(2)一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．注意：一组对边平行且另一组对边相等的四边形不能判定其为平行四边形．5.(2022山东烟台，7,3分)一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）A．5B.5或6C．5或7D.5或6或7【答案】C【解析】如图所示，先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，然后利用分类讨论的思想方法，求出截去一个角后是六边形的多边形的边数即可.设新多边形的边数为n，则（n－2）×180°=720º∴n=6∴原多边形的边数为5或6或7.6.（2022四川雅安，2，3分）五边形的内角和为（ ） A．720° B．540° C．360° D．180°【答案】B【解析】五边形的内角和是（5－2）×180°＝540°．【方法指导】本题考查了多边形內角和的计算公式，n边形內角和＝(n－2)×180°．7．（2022四川宜宾，9，3分）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO的大小是( )A．70° B．110° C．140° D．150º【答案】D．【解析】由OA=OB=OC，可得∠BAO+∠BCO=∠ABC=70°又因为∠ADC=70°28\n，根据四边形内角和360º可得选D.【方法指导】本题考查了等腰三角形的性质及四边形内角和的知识，遇到等腰三角形应想到两底角相等，“三线合一”，四边形内角和等于360º，多边形内角和公式为（n-2）•180º8.（2022四川泸州，6，2分）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）A．AB//DC，AD//BCB．AB＝DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DOD．AB//DC，AD＝BC【答案】D【解析】根据平行四边形的定义，选项A中的条件能判定这个四边形是平行四边形；根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，选项B中的条件能判定这个四边形是平行四边形；根据“对角线互相平的四边形是平行四边形”，选项C中的条件能判定这个四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，选项D中的条件不能判定这个四边形是平行四边形．所以答案选D．【方法指导】平行四边形的判定是本题的考查目标，关键要熟悉平行四边形的判定方法，并且结合图形判断．9．（2022广西钦州，11，3分）如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由甲A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（ ） A．甲＜乙＜丙B．乙＜丙＜甲C．丙＜乙＜甲D．甲=乙=丙考点：平行四边形的判定与性质．专题：应用题．分析：延长ED和BF交于C，如图2，延长AG和BK交于C，根据平行四边形的性质和判定求出即可．解答：解：图1中，甲走的路线长是AC+BC的长度；延长ED和BF交于C，如图2，∵∠DEA=∠B=60°，∴DE∥CF，28\n同理EF∥CD，∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF=CD，DE=CF，即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长；延长AG和BK交于C，如图3，与以上证明过程类似GH=CK，CG=HK，即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长；即甲=乙=丙，故选D．点评：本题考查了平行线的判定，平行四边形的性质和判定的应用，注意：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等．10．（2022湖北宜昌，3，3分）四边形的内角和的度数为（ ） A．180°B．270°C．360°D．540°考点：多边形内角与外角．分析：根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180（n≥3）且n为整数）可以直接计算出答案．解答：解：（4﹣2）×180°=360°，故选：C．点评：此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180（n≥3）且n为整数）．11.（2022湖南长沙，8，3分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形答案：A【详解】所有多边形的外角和都是360°，而内角和公式为180°（n－2），其中n表示多边形的边数，所以当180°（n－2）=360°时，n=4，即四边形的内角和与外角和相等，选A。12．（2022·泰安，19，3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的边长为（ ）28\nA．2B．4C．4D．8考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD＝DF，由F为DC中点，AB＝CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF＝EF，即可求出AE的长．解答：解：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE＝∠DFA，∴∠DAE＝∠DFA，∴AD＝FD，又F为DC的中点，∴DF＝CF，∴AD＝DF＝DC＝AB＝2，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG＝，则AF＝2AG＝2，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF＝EF，则AE＝2AF＝4．点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键． 13．（2022·泰安，8，3分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于（ ）28\nA．90°B．180°C．210°D．270°考点：平行线的性质．分析：根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B＋∠C＝180°，从而得到以点B．点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．解答：解：∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∴∠4＋∠5＝180°，根据多边形的外角和定理，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＝360°－180°＝180°．故选B．点评：本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键． 14.（2022杭州3分）在▱ABCD中，下列结论一定正确的是（ ） A．AC⊥BDB．∠A+∠B=180°C．AB=ADD．∠A≠∠C【答案】B．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B=180°．【方法指导】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用28\n15.（2022•宁波3分）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（ ） A．5B．6C．7D．8【答案】A．【解析】多边形的边数是：360÷72=5【方法指导】本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键16.（2022四川巴中，9，3分）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（ ） A．24B．16C．4D．2考点：菱形的性质；勾股定理．分析：由菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=6，BD=4，即可得AC⊥BD，求得OA与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，继而求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，∴AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=2，AB=BC=CD=AD，∴在Rt△AOB中，AB==，∴菱形的周长是：4AB=4．故选C．点评：此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．17.（2022四川乐山，5，3分）如图，点E是ABCD的边CD的中点，AD、BE的延长线相交于点F，DF=3，DE=2，则ABCD的周长为【】28\nA．5 B．7 C．10 D．1418.（2022四川绵阳，7，3分）如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（C）7题图A．B．12mmC．D．［解析］画出正六边形，如图，通过计算 可知，ON＝3，MN＝6，选C。19．（2022贵州省黔西南州，3，4分）已知▱ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是（ ） A．100°B．160°C．80°D．60°考点：平行四边形的性质．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A=∠C，AD∥BC，又由∠A+∠C=200°，即可求得∠A的度数，继而求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD∥BC，∵∠A+∠C=200°，∴∠A=100°，∴∠B=180°﹣∠A=80°．故选C．点评：此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的知识．20．（2022黑龙江省哈尔滨市，7）如图，在ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为()．28\n(A)4(B)3(C)(D)2考点：平行四边形的性质及等腰三角形判定．分析：本题主要考查了平行四边形的性质：平边四边形的对边平行且相等；等腰三角形判定，两直线平行内错角相等；综合运用这三个性质是解题的关键解答：根据CECE平分∠BCD得∠BCE=∠ECD,AD∥BC得∠BCE=∠DEC从而△DCE为等腰三角形，ED=DC=AB,2AB=AD=AE+ED=3+AB,解得AB=3故选B21（2022河北省，13，3分）一个正方形和两个等边三角形的位置如图6所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=A．90°B．100°C．130°D．180°答案：B解析：如下图，∠ABC＝180°－50°－60°＝70°,∠BAC＋∠BCA＝180°－70°＝110°，∠1＝180°－90°－∠BAC，∠2＝180°－60°－∠BCA，∠1＋∠2＝210°－（∠BAC＋∠BCA）＝100°，选B。二、填空题1.（2022贵州安顺，15，4分）如图，在□ABCD中，E在DC上，若DE:EC=1:2，则BF:BE=.28\n【答案】：3:5.【解析】∵DE：EC=1：2；∴EC：CD=2：3即EC：AB=2：3∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴BF：EF=AB：EC=3：2．∴BF：BE=3：5．【方法指导】主要考查了平行四边形、相似三角形的性质．由题可知△ABF∽△CEF，然后根据相似比求解．2．（2022山东滨州，17，4分）在□ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，且AB=6，BC=10，则OE=______________．ABCDOE【答案】：5．【解析】先根据题意画出图形，利用平行四边形的性质知O是BD的中点，又有E是CD的中点，由此得到OE是△BCD的中位线，再根据三角形中位线的性质得到.【方法指导】本题主要考查了平行四边形对角线互相平分的性质以及三角形中位线的概念和性质，属于中等题型，较易掌握.3．（2022山东菏泽，13，3分）如图，YABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为________________.（第13题）ABCDEABCEDB′′【答案】【解析】将△ABC沿AC所在直线翻折180°，有对应线段BE=B′E，对应角∠AEB=∠AEB′=45°，∴∠BEB′=∠DEB′=90°，∵BE=DE=B′E=1，∴在Rt△DEB′中，DB′=.故填.【方法指导】本题考查了轴对称、平行四边形性质.解题关键抓住对应边、对应角相等为突破口.4.(2022山东烟台，16,3分)如图，□ABCD的周长为36．对角线AC，BD相交于点O．点E28\n是CD的中点．BO=12．则△DOE的周长为__________________.【答案】15【解题思路】根据平行四边形的性质，对角线互相平分，两组对边分别相等，可以分别求出OD、OE+DE的长，即可求解.∵□ABCD的周长为36，∴BC+CD=18，∵四边形ABCD为平行四边形，∴O是BD的中点，∴OD=6,又∵E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE+DE=9，∴△DOE的周长=OD+OE+DE=6+9=15【方法指导】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理以及整体思想的运用.求三角形的周长可以分别求出三边的长，但是本题较新颖，根据对角线的交点是对角线的中点，可以求出其中一边的长，而另外两边运用整体思想，求出这两边的长度和后即可求解.在平行四边形中，由于对角线的交点即为中点，再加上另一中点，所以中位线定理是我们的首选.5.（2022四川雅安，16，3分）如图，在□ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE∶BE＝4∶3，且BF＝2，则DF＝________．【答案】【解析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，继而可判定△BEF∽△DCF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BF：DF＝BE：CD问题得解．【方法指导】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是根据题意判定△BEF∽△DCF，再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解．6.（2022福建福州，15，4分）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是__________．【答案】2【解析】延长AB，然后作出C所在的直线，一定交于格点E．正六边形的边长为1，则半径是1，则CE＝4，相邻的两个顶点之间的垂直距离是，则△BCE的边EC上的高是，△ACE边EC上的高是，则S△ABC＝S△AEC－S△BEC＝．28\n【方法指导】本题考查了正多边形的有关计算，正确理解S△ABC＝S△AEC－S△BEC是关键．7.（2022广东省，13，4分）一个六边形的内角和是．【答案】.【解析】由多边形的内角和公式，得，故答案填．也可画一个六边形，连接一条对角线将六边形分成两个四边形，由四边形内角和求得六边形的内角和为。【方法指导】关于多边形的内角和或者外角和的问题，通常有两种思维路径，一是利用内角和公式进行计算；二是当多边形为正多边形时，可以利用外角和进行计算。8．（2022江西，13，3分）如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为．【答案】25°.【解析】∵□ABCD与□DCFE的周长相等，且有公共边CD，∴AD=DE,∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°.∴∠DAE=.【方法指导】先要明确∠DAE的身份（为等腰三角形的底角），要求底角必须知道另一角的度数，分别将∠BAD=130°转化为∠BCD=130°,∠F=110°转化为∠DCF=70°,从而求得∠ADE=∠BCF=130°.9．（2022湖南郴州，11，3分）已知一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是 8 ．考点：多边形内角与外角．分析：根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180（n≥3）且n为整数）可得方程180（x﹣2）=1080，再解方程即可．解答：解：设多边形边数有x条，由题意得：180（x﹣2）=1080，解得：x=8，故答案为：8．点评：此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180（n≥3）且n为整数）．10．（2022湖南娄底，16，4分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．28\n考点：多边形内角与外角．分析：利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．解答：解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，720÷180+2=6，∴这个多边形是六边形．故答案为：6．点评：本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．11..（2022江苏南京，13，2分）△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A、B与它的中心O为顶点的三角形。若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为。答案：9解析：若∠OAB＝∠OBA＝70°，则∠BOA＝40°，边数为：错误！不能通过编辑域代码创建对象。＝9；若∠BOA＝70°，则边数为：错误！不能通过编辑域代码创建对象。不可能，因此，边数为9。5．（2022•徐州，18，3分）如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为 cm2．考点：正多边形和圆．分析：根据正八边形的性质得出正八边形每个内角以及表示出四边形ABGH面积进而求出答案即可．解答：解：连接HE，AD，在正八边形ABCDEFGH中，可得：HE⊥BG于点M，AD⊥BG于点N，∵正八边形每个内角为：＝135°，∴∠HGM＝45°，∴MH＝MG，设MH＝MG＝x，则HG＝AH＝AB＝GF＝x，∴BG×GF＝2（＋1）x2＝20，四边形ABGH面积＝（AH＋BG）×HM＝（＋1）x2＝10，∴正八边形的面积为：10×2＋20＝40（cm2）．故答案为：40．点评：此题主要考查了正八边形的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出四边形ABGH面积是解题关键．28\n12．（2022·鞍山，10，2分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D＝度．考点：多边形内角与外角．分析：根据四边形内角和等于360°即可求解．解答：解：由四边形内角和等于360°，可得∠A+∠B+∠C+∠D＝360度．故答案为：360．点评：考查了四边形内角和等于360°的基础知识． 13（2022四川巴中，12，3分）若一个多边形外角和与内角和相等，则这个多边形是 四 边形．考点：多边形内角与外角．分析：利用多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列出方程，然后解方程即可求出多边形的边数．解答：解：设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=360°，解得n=4．故答案为：四．点评：本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．14.（2022四川遂宁，13，4分）若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是 9 ．考点：多边形内角与外角．专题：计算题．分析：根据多边形内角和定理及其公式，即可解答；解答：解：∵一个多边形内角和等于1260°，∴（n﹣2）×180°=1260°，解得，n=9．故答案为9．点评：本题考查了多边形的内角定理及其公式，关键是记住多边形内角和的计算公式．15．（2022河北省，19，3分）如图11，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B=°．答案：95解析：∠BNF＝∠C＝70°，∠BMF＝∠A＝100°，∠BMF＋∠B＋∠BNF＋∠F＝360°，所以，∠F＝∠B＝95°。28\n16．（2022湖北省十堰市，1，3分）如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是 1 ．考点：平行四边形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出CE长，即可求出AB的长．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE=CD，即D为CE中点，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∵AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CEF=30°，∵EF=，∴CE=2，∴AB=1，故答案为1．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．三、解答题1.（2022四川雅安，19，9分）在□ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE＝CF．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，28\n又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF．(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．∵AE＝CF，∴BE＝DF，BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DF＝BF，∴□DEBF是菱形．【解析】（1）首先根据平行四边形的性质可得AD＝BC，∠A＝∠C，再加上条件AE＝CF可利用SAS证明△ADE≌△CBF；（2）首先证明DF＝BE，再加上条件AB∥CD可得四边形DEBF是平行四边形，又DF＝FB，可根据邻边相等的平行四边形为菱形证出结论．【方法指导】此题主要考查了全等三角形的判定，以及菱形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理，以及菱形的判定定理，平行四边形的性质．2．（2022广东广州，20，10分）已知四边形ABCD是平行四边形（如图9），把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△AˊBD.（1）利用尺规作出△AˊBD.（要求保留作图痕迹，不写作法）；（2）设DAˊ与BC交于点E，求证：△BAˊE≌△DCE.【思路分析】作翻折180°的图形，实际上就是作轴对称的全等三角形，可以根据“SSS”的原理，因为已经公用一条边，所以只需作出AB与AD的对应边即可。由平行四边形的对边平行和对边相等的性质可以找到三角形全等的条件，进而可以证三角形全等.【解】（1）如图，△AˊBD即为所求。（2）因为四边形ABCD是平行四边形所以∠A=∠C，AB=CD又由作图可知∠A`=∠C，BA`=DC在△BAˊE和△DCE中28\n【方法指导】解决含有轴对称的几何问题时，往往要利用轴对称图形全等的性质，即轴对称的图形对应边相等且对应角相等，比如本题，由平行四边形的性质得到对角相等和对边相等之后，就要利用轴对称图形的性质转化得到所证三角形的对应边相等和对应角相等.3．（2022山东日照，18，10分）（本题满分10分）如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC.⑴求证：△BAD≌△AEC；⑵若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE的面积.【思路分析】（1）利用边角边可以证明两个三角形全等；（2）过点A作AG⊥BC,垂足为G，只要求出AG的长就可以求出平行四边形ABCD的面积。【解】（1）证明：∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.又∵四边形ABDE是平行四边形∴AE∥BD，AE=BD，∴∠ACB=∠CAE=∠B，∴⊿DBA≌⊿AEC(SAS)………………4分（2）过A作AG⊥BC,垂足为G.设AG=x，在Rt△AGD中，∵∠ADC=450，∴AG=DG=x，在Rt△AGB中，∵∠B=300，∴BG=，………………6分又∵BD=10.∴BG-DG=BD,即，解得AG=x=.…………………8分∴S平行四边形ABDE=BD·AG=10×（）=.………………10分28\n【方法指导】本题考查几何时简单证明，特别是在求图形的面积时，如果是规则图形就是找到底边和高线即可，如果不是规则图形，可以通过转化思想转化成几个规则图形的面积和或是差的问题即可。4．（2022重庆，24，10分）已知：在□ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1=∠2．ABEFCGD12（第24题图）（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；（2）求证：∠CEG=∠AGE．【思路分析】（1）根据线段中点的定义求出CE的长，结合CE=CD和平行四边形对边相等的性质求出AB的长，然后用勾股定理解答；（2）证明△CEG≌△CDF得到CG=CF，进一步得到点G是线段CD的中点，这是解答该问的关键之处，然后延长AG，EC交于点H，通过证明三角形全等，得到AG=HG，从而得到EG是Rt△AHE斜边中线，得到GE=GH，∠AGE是等腰三角形GEH的外角，问题得证．【解】（1）解：∵点F为CE的中点，∴CE=CD=2CF=4．又∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD=4．在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE=（2）证明：延长AG，BC交于点H．（第24题图）ABEFCGD12H∵CE=CD，∠1=∠2，∠ECG=∠DCF，∴△CEG≌△CDF∴CG=CF∵CD=CE=2CF，∴CG=GD∵AD∥BC∴∠DAG=∠CHG,∠ADG=∠HCG∴△ADG≌△HCG∴AG=HG∵∠AEH=90°∴EG=AG=HG28\n∴∠CEG=∠H∵∠AGE=∠CEG+∠H∴∠AGE=2∠CEG即∠CEG=∠AGE．【方法指导】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定的应用，直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质．已知平行四边形边上的中点时，利用中点作辅助线构建全等三角形，是解决问题的常用方法；解决角的倍差问题，常常可以通过三角形的外角与不相邻的两内角的关系进行转化求解．5．（2022四川南充，16，6分）如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F．求证：OE=OF．【答案】：证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=COAB∥CD∴∠EAO=∠FCO又∵∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF（ASA）∴OE=OF.【解析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AB∥CD，又由∠AOE=∠COF，易证得△OAE≌△OCF，则可得OE=OF．【方法指导】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．6.（2022四川泸州，19，6分）如图，已知□ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．求证：AB＝BE．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，又∵F是BC的中点，∴BF＝CF，在△DCF和△BEF中，∠C＝∠CBE，∠CDE＝∠E，BF＝CF∴△CDF≌△BEF，∴DC＝BE，又DC＝AB，∴AB＝BE．【解析】根据已知条件有AB＝CD，将问题转化为证明CD＝BE，这样可通过证明三角形全等加以解决．【方法指导】本题以平行四边形的性质及全等三角形的判定为考查重点，考查了基本的推理能力及转化思想．7.（2022广东省，19，5分）如题19图，已知□ABCD．（1）作图：延长BC，并在BC的延长线上截取线段CE，使得CE=BC（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连结AE，交CD于点F．求证：△AFD≌△EFC．28\n【思路分析】首先按照尺规作图的要求作出线段CE，因为已知四边形是平行四边形，由对边平行且相等，可以证明全等三角形．【解】（1）如图所示，CE即为所求.（2）在□ABCD中AD∥BC，AD=BC由（1）中作图可知AD∥BE，AD=CE∴∠DAF=∠CEF在△AFD和△EFC中∴△AFD≌△EFC（AAS）.【方法指导】尺规作图的题，首先要分析题目要求，并且确定对应着哪个基本作图，就本题而言，就是“作一条线段等于已知线段”。对于全等三角形的证明，只需根据“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”等五个判定定理，在题中找到已知条件或经过推理得到相应的条件即可。8．（2022兰州，26，10分）如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．考点：平行四边形的判定与性质；等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．28\n分析：（1）首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA，再根据等边对等角可得∠DAO=∠DOA=30°，进而算出∠AEO=60°，再证明BC∥AE，CO∥AB，进而证出四边形ABCE是平行四边形；（2）设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8﹣x，再利用三角函数可计算出AO，再利用勾股定理计算出OG的长即可．解答：（1）证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点，∴DO=DA，∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，∴∠AEO=60°，又∵△OBC为等边三角形，∴∠BCO=∠AEO=60°，∴BC∥AE，∵∠BAO=∠COA=90°，∴CO∥AB，∴四边形ABCE是平行四边形；（2）解：设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8﹣x，在Rt△ABO中，∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，BO=8，∴AO=BO•cos30°=8×=4，在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2，x2+（4）2=（8﹣x）2，解得：x=1，∴OG=1．点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，图形的翻折变换，关键是掌握平行四边形的判定定理． 9．（2022年佛山市，25，10分）我们知道，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平行四边形的一切性质还有其特殊的性质；同样，ABCD第25题图黄金矩形是特殊的矩形，因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识．已知平行四边形ABCD，∠A=60°，AB=2a，AD=a．(1)把所给的平行四边形ABCD用两种方式分割并作说明28\n(见题答卡表格里的示例)；要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个．(1)图中关于边、角和对角线会有若干关系或问题．现在请计算两条对角线的长度．要求：计算对角线BD长的过程中要有必要的论证；直接写出对角线AC的长．解：在表格中作答分割图形分割或图形说明示例ABCD第25题图示例①分割成两个菱形。②两个菱形的边长都为a,锐角都为60°。ABCD第25题图ABCD第25题图ABCD第25题图ABCD第25题图（2）分析：（1）方案一：分割成两个等腰梯形；方案二：分割成一个等边三角形、一个等腰三角形和一个直角三角形；（2）利用平行四边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理作答，认真计算即可．解：（1）在表格中作答：分割图形分割或图形说明示例：示例：①分割成两个菱形．②两个菱形的边长都为a，锐角都为60°．①分割成两两个等腰梯形．②两个等腰梯形的腰长都为a，上底长都为，下底长都为a，上底角都为120°，下底角都为60°．28\n①分割成一个等边三角形、一个等腰三角形、一个直角三角形．②等边三角形的边长为a，等腰三角形的腰长为a，顶角为120°．直角三角形两锐角为30°、60°，三边为a、a、2a．（2）如右图①，连接BD，取AB中点E，连接DE．∵AB=2a，E为AB中点，∴AE=BE=a，∵AD=AE=a，∠A=60°，∴△ADE为等边三角形，∠ADE=∠DEA=60°，DE=AE=a，又∵∠BED+∠DEA=180°，∴∠BED=180°﹣∠DEA=180°﹣60°=120°，又∵DE=BE=a，∠BED=120°，∴∠BDE=∠DBE=（180°﹣120°）=30°，∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=60°+30°=90°∴Rt△ADB中，∠ADB=90°，由勾股定理得：BD2+AD2=AB2，即BD2+a2=（2a）2，解得BD=a．如右图②所示，AC=2OC=2=2=2•a=a．∴BD=a，AC=a．点评：本题是几何综合题，考查了四边形（平行四边形、等腰梯形、菱形、矩形）、三角形（等边三角形、等腰三角形、直角三角形）的图形与性质．第（1）问侧重考查了几何图形的分割、剪拼、动手操作能力和空间想象能力；第（2）问侧重考查了几何计算能力．本题考查知识点全面，对学生的几何综合能力要求较高，是一道好题10.（2022湖南长沙，24，9分）如图，在□ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O.（1）求证：⊿ABN≌⊿CDM；（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的长.28\n（第24题）11.．（2022湖南郴州，23，8分）如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求证：四边形DEBF是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：首先根据平行线的性质可得∠BEC=∠DFA，再加上条件∠ADF=∠CBE，AF=CE，可证明28\n△ADF≌△CBE，再根据全等三角形的性质可得BE=DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可．解答：证明：∵BE∥DF，∴∠BEC=∠DFA，在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴BE=DF，又∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形．点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．12．（2022•徐州，24，8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC交AB于点E，BF平分∠ABC，交CD于点F．（1）求证：DE＝BF；（2）连接EF，写出图中所有的全等三角形．（不要求证明）考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）由平行四边形的性质和已知条件证明四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得到DE＝BF；（2）连接EF，则图中所有的全等三角形有：△ADE≌△CBF，△DFE≌△BEF．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CDE＝∠AED，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD，同理CF＝CB，又AD＝CB，AB＝CD，∴AE＝CF，∴DF＝BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE＝BF，（2）△ADE≌△CBF，△DFE≌△BEF．点评：本题考查了平行四边形的性质、角平分线的特点、等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定，题目难度不大．28\n13（2022·鞍山，22，6分）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定．专题：证明题．分析：（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD＝BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．解答：证明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEF．又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB（SAS）．（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，∴AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．点评：此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．14.（2022•新疆8分）如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．【思路分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明即可；（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC是，四边形AECF是矩形，首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，AB∥CD．28\n∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF．∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，理由如下：由（1）可知△AOE≌△COF，∴OE=OF，∵AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF=AC，∴四边形AECF是矩形．【方法指导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及矩形的判定，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题15.（2022四川巴中，29，10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．分析：（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．解答：（1）证明：∵▱ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵▱ABCD，∴CD=AB=8．28\n由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE===12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错．28
