综合模拟测试二(时间:120分钟 总分:120分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列计算正确的是( )A.a6÷a2=a3B.a2+a3=a5C.(a2)3=a6D.(a+b)2=a2+b2答案:C2.估计的值在( )A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间答案:C3.以下说法正确的有( )①正八边形的每个内角都是135°;②是同类二次根式;③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°;④反比例函数y=-,当x<0时,y随x的增大而增大.A.1个B.2个C.3个D.4个解析:正八边形的每一个外角等于=45°,所以每个内角是135°,①正确;=3,它们是同类二次根式,②正确;弦所对的圆周角有两个,所以③错误;反比例函数的k=-2<0,在每一个象限内,y随x的增大而增大,④正确,故选C.答案:C4.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )解析:解不等式2x+x-4,得x>-3;解不等式x-≤x,得x≤1.所以不等式组的解集为-3<x≤1.故选A.答案:A5.下列图形不是轴对称图形的是( )答案:C6.如图,若☉O的直径AB与弦AC的夹角为30°,切线CD与AB的延长线交于点D,且☉O的半径为2,则CD的长为( )10\nA.2B.4C.2D.4答案:A7.一枚骰子是6个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6的小立方体,它任意两对面上所写的两个数字之和为7.将这样相同的几个骰子按照相接触的两个面上的数字的积为6摆成一个几何体,这个几何体的三视图如图所示.已知图中所标注的是部分面上的数字,则“※”所代表的数是( )A.2B.4C.5D.6解析:由左视图中数字1可知,其对面的数字应为6,故与之相接触面的数字为1,由此得下面一行各小立方体左面的数字均为1,右面的数字均为6.由主视图可知最右边下面的小立方体的正面数字是3,则其后面的数字为4,这样,上、下两个面的数字为2和5.又两个小立方体相接触面的数字之积为6,故其上面数字只能为2,则右上方小立方体下面的数字应为3,其上面的数字就应为4,即俯视图中“※”所代表的数是4,选B.答案:B8.如图,菱形ABCD的周长为8cm,高AE的长为cm,则对角线AC与BD的长度之比为( )A.1∶2B.1∶3C.1∶D.1∶解析:如图,设AC与BD相交于点O,∵菱形ABCD的周长为8cm,∴AB=BC=2cm.∵高AE的长为cm,∴BE==1cm.∴CE=BE=1cm.∴AC=AB=2cm.∵OA=1cm,AC⊥BD,∴OB=cm.∴BD=2OB=2cm.∴AC∶BD=1∶.10\n答案:D9.为了绿化校园,30名学生共种78棵树苗.其中男生每人种3棵,女生每人种2棵,设男生有x人,女生有y人,根据题意,所列方程组正确的是( )A.B.C.D.答案:D10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(x1,0)与(x2,0),其中x1<x2,方程ax2+bx+c-a=0的两根为m,n(m<n),则下列判断正确的是( )A.b2-4ac≥0B.x1+x2>m+nC.m<n<x1<x2D.m<x1<x2<n答案:D二、填空题(每小题3分,共21分)11.如图,将直角三角板60°角的顶点放在圆心O处,斜边和一直角边分别与☉O相交于A,B两点,P是优弧上任意一点(与A,B不重合),则∠APB= . 解析:由题意,得∠AOB=60°,则∠APB=∠AOB=30°.答案:30°12.在一次数学测验中,全班48名学生的平均分为72分,如果不统计第一小组6人的成绩,其余人的平均分是71分,那么第一小组6人的平均分数是 . 答案:79分13.如图,已知正方形ABCD的边长为3,E,F分别是AB,BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM.若AE=1,则FM的长为 . 答案:14.如图,把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形,用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面(衔接处无缝隙且不重叠),则圆锥底面半径是 cm. 解析:∵=2πr,∴r=4.10\n答案:415.将抛物线C1:y=-x2-2x绕着点M(1,0)旋转180°后,所得到的新抛物线C2的解析式是 . 答案:y=x2-6x+816.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是BC边上的中线,sin∠CAM=,则tanB的值为 . 解析:设MC为3x,则AM为5x,AC为4x.∴tanB=.答案:17.如图,已知点O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,则点P的坐标为 . 答案:(2,4)或(3,4)或(8,4)三、解答题(69分)18.(6分)关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围;(2)写出一个满足条件的m的值,并求此时方程的根.解:(1)∵原方程有两个不相等实数根,∴Δ=(2m+1)2-4(m2-1)=4m+5>0,解得m>-.(2)当m=1时,原方程为x2+3x=0,即x(x+3)=0,∴x1=0,x2=-3.(m取其他符合条件的值也可以)19.(9分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B(3,n)在反比例函数y=(m为常数)的图象上,连接AO并延长与图象的另一支交于点C,过点A的直线l与x轴的交点为点D(1,0),过点C作CE∥x轴交直线l于点E.(1)求m的值,并求直线l对应的函数表达式;(2)求点E的坐标;10\n(3)过点B作射线BN∥x轴,与AE交于点M(补全图形),求证:tan∠ABN=tan∠CBN.解:(1)因为点A在反比例函数y=(m为常数)的图象上,所以m=×2=1.所以反比例函数y=(m为常数)对应的函数表达式是y=.设直线l对应的函数表达式为y=kx+b(k,b为常数,k≠0).因为直线l经过点A,D(1,0),所以解得所以直线l对应的函数表达式为y=-4x+4.(2)由反比例函数图象的中心对称性可知点C的坐标为.因为CE∥x轴并交直线l于点E,所以yE=yC.所以点E的坐标为.(3)如图,作AF⊥BN于点G,作CH⊥BN于点H,因为点B(3,n)在反比例函数图象上,所以n=.所以B,G,H.在Rt△ABG中,tan∠ABH=,在Rt△BCH中,tan∠CBH=,所以tan∠ABN=tan∠CBN.20.(9分)某学校为了解本校2400名学生对足球赛的关注程度,以利于做好教育和引导工作,随机抽取了本校内的六、七、八、九四个年级部分学生进行调查,按“各年级被抽取人数”与“关注程度”,分别绘制了条形统计图(图甲-1)、扇形统计图(图甲-2)和折线统计图(图乙).各年级被抽取人数统计图10\n图(甲-1)图(甲-2)被抽取学生足球关注度人数统计图图乙(1)本次共随机抽查了 名学生,根据信息补全图(甲-1)中的条形统计图,图(甲-2)中八年级所对应扇形的圆心角的度数为 ; (2)如果把“特别关注”“一般关注”“偶尔关注”都看成关注,那么全校关注足球赛的学生大约有多少名?(3)①根据上面的统计结果,谈谈你对该校学生对足球关注的现状的看法及建议;②如果要了解学校中小学生对校园足球的关注情况,你认为应该如何进行抽样?解:(1)200,补全的图(甲-1)如图,144°.(2)方法一:根据题意得:不关注的学生所占的百分比为×100%=45%;所以全校关注足球赛的学生大约有2400×(1-45%)=1320(人).方法二:根据题意得:关注的学生所占的百分比为×100%=55%,所以全校关注足球赛的学生大约有2400×55%=1320(人).(3)①根据以上所求可得出:只有55%的学生关注足球比赛,有45%的学生不关注,可以看出仍有部分学生忽略了对足球的关注,希望学校做好教育与引导工作,加大对足球进校园的宣传力度,让校园足球得到更多的关注和支持,推动校园足球的发展.10\n②考虑到样本具有的随机性、代表性、广泛性,如果要了解中小学生对校园足球的关注的情况,抽样时应针对不同的年级、不同性别、不同年龄段的学生进行随机抽样.(只要给出合理看法与建议,即可得分)21.(10分)某中学为落实市教育局提出的“全员育人,创办特色学校”的会议精神,决心打造“书香校园”,计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.(1)符合题意的组建方案有几种?请你帮学校设计出来.(2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明(1)中哪种方案费用最低,最低费用是多少元?解:(1)设组建中型图书角x个,则组建小型图书角(30-x)个.由题意,得解这个不等式组,得18≤x≤20.由于x只能取整数,所以x的取值是18,19,20.当x=18时,30-x=12;当x=19时,30-x=11;当x=20时,30-x=10.故有三种组建方案.方案一:中型图书角18个,小型图书角12个;方案二:中型图书角19个,小型图书角11个;方案三:中型图书角20个,小型图书角10个.(2)方案一的费用是860×18+570×12=22320(元);方案二的费用是860×19+570×11=22610(元);方案三的费用是860×20+570×10=22900(元).故方案一的费用最低,最低费用是22320元.22.(10分)如图,图甲是一个水桶模型示意图,水桶提手结构的平面图是轴对称图形.当点O到BC(或DE)的距离大于或等于☉O的半径时(☉O是桶口所在的圆,半径为OA),提手才能从图甲的位置转到图乙的位置,这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提手(如图丙,A-B-C-D-E-F,C-D是,其余是线段),O是AF的中点,桶口直径AF=34cm,AB=FE=5cm,∠ABC=∠FED=149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格.(参考数据:≈17.72,tan73.6°≈3.40,sin75.4°≈0.97.)解:连接OB,过点O作OG⊥BC于点G,如图.在Rt△ABO中,AB=5,AO=17,10\n∴tan∠ABO==3.4.∴∠ABO≈73.6°.∴∠GBO=∠ABC-∠ABO≈149°-73.6°=75.4°.又OB=≈17.72,∴在Rt△OBG中,OG=OB×sin∠GBO≈17.72×0.97≈17.19>17.故水桶提手合格.23.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB.(1)求证:直线BF是☉O的切线;(2)若AB=5,sin∠CBF=,求BC和BF的长.(1)证明:如图,连接AE.∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°.∴∠1+∠2=90°.∵AB=AC,∴∠1=∠CAB.∵∠CBF=∠CAB,∴∠1=∠CBF.∴∠CBF+∠2=90°,即∠ABF=90°.∵AB是☉O的直径,∴直线BF是☉O的切线.(2)解:如上图,过点C作CG⊥AB于点G,∵sin∠CBF=,∠1=∠CBF,∴sin∠1=.∵∠AEB=90°,AB=5,∴BE=AB·sin∠1=.∵AB=AC,∠AEB=90°,∴BC=2BE=2.在Rt△ABE中,由勾股定理得AE==2,∴sin∠2=,cos∠2=.在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,∴AG=3.∵GC∥BF,∴△AGC∽△ABF.∴.∴BF=.10\n故BC和BF的长分别为2.24.(13分)在平面直角坐标系xOy中,正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…,按如图所示的方式放置.点A1,A2,A3,…,An和点C1,C2,C3,…,Cn分别落在直线y=x+1和x轴上.抛物线L1过点A1,B1,且顶点在直线y=x+1上,抛物线L2过点A2,B2,且顶点在直线y=x+1上,……,按此规律,抛物线Ln过点An,Bn,且顶点也在直线y=x+1上,其中抛物线L2交正方形A1B1C1O的边A1B1于点D1,抛物线L3交正方形A2B2C2C1的边A2B2于点D2,…抛物线Ln+1交正方形AnBnCnCn-1的边AnBn于点Dn(其中n≥1,且n为正整数).(1)直接写出下列点的坐标:B1 ,B2,B3 ; (2)写出抛物线L2,L3的解析式,并写出其中一个解析式的求解过程,再猜想抛物线Ln的顶点坐标;(3)①设A1D1=k1·D1B1,A2D2=k2·D2B2,试判断k1与k2的数量关系并说明理由;②点D1,D2,…,Dn是否在一条直线上?若是,直接写出这条直线与直线y=x+1的交点坐标;若不是,请说明理由.解:(1)B1(1,1),B2(3,2),B3(7,4).(2)抛物线L2,L3的解析式分别为y=-(x-2)2+3,y=-(x-5)2+6.抛物线L2的解析式的求解过程:对于直线y=x+1,设x=0,可得y=1,即A1(0,1).因为A1B1C1O是正方形,所以C1(1,0).又点A2在直线y=x+1上,可得点A2(1,2).又点B2的坐标为(3,2),所以抛物线L2的对称轴为直线x=2.所以抛物线L2的顶点坐标为(2,3).设抛物线L2的解析式为y=a(x-2)2+3(a≠0),因为L2过点B2(3,2),所以当x=3时,y=2,即2=a×(3-2)2+3,解得a=-1.所以抛物线L2的解析式为y=-(x-2)2+3.(或抛物线L3的解析式的求解过程:因为B3的坐标为(7,4),同上可求得点A3的坐标为(3,4),所以抛物线L3的对称轴为直线x=5.所以抛物线L3的顶点坐标为(5,6).设抛物线L3的解析式为y=a(x-5)2+6(a≠0),因为L3过点B3(7,4),所以当x=7时,y=4,即4=a×(7-5)2+6,解得a=-.所以抛物线L3的解析式为y=-(x-5)2+6.)猜想抛物线Ln的顶点坐标为(3×2n-2-1,3×2n-2);猜想过程:方法1:可由抛物线L1,L2,L3…的解析式:10\ny=-2,y=-(x-2)2+3,y=-(x-5)2+6,……,归纳总结得出.方法2:可由正方形AnBnCnCn-1顶点An,Bn的坐标规律An(2n-1-1,2n-1)与Bn(2n-1,2n-1),再利用对称性可得抛物线Ln的对称轴为直线x=,即x==3·2n-2-1,又顶点在直线y=x+1上,所以可得抛物线Ln的顶点坐标为(3×2n-2-1,3×2n-2).(3)①k1与k2的数量关系为k1=k2.理由如下:由(2)可知L2的解析式为y=-(x-2)2+3,当y=1时,1=-(x-2)2+3,解得x1=2-,x2=2+.因为0<A1D1<1,所以x=2-.所以A1D1=2--1).所以D1B1=1-(2-)=-1.所以A1D1=·D1B1,即k1=.同理可求得A2D2=4-2=2-1),D2B2=2-(4-2)=2-2=2(-1),A2D2=·D2B2,即k2=,所以k1=k2.②点D1,D2,…,Dn是在一条直线上.这条直线与直线y=x+1的交点坐标为(-1,0).10
