2022年中考数学专题复习讲座 第二十四讲 与圆有关的位置关系

2022年中考数学专题复习第二十四讲与圆有关的位置关系【基础知识回顾】点与圆的位置关系：1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d则：点P在圆内<＝>点P在圆上<＝>点P在圆外<＝>过三点的圆：⑴过同一直线上三点作用，过三点，有且只有一个圆⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的⑶三角形外心的形成：三角形的交点，外心的性质：到相等【名师提醒：1、锐角三角形外心在三角形直角三角形的外心是锐角三角形的外心在三角形】直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆直线叫圆的线，这的直线叫做圆的直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆2、设Qo的半径为r，圆心o到直线l的距离为d，则：直线l与Qo相交<＝>dr,直线l与Qo相切<＝>dr直线l与Qo相离<＝>dr切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的【名师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常用连接圆心和切点，即可的垂直关系】⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线式圆的切线【名师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。⑵切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角三角形的内切圆：⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的⑵三角形内心的形成：是三角形的交点内心的性质：到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分【名师提醒：三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s=，若△ABC为直角三角形，则r=】圆和圆的位置关系：圆和圆的位置关系有种，若Qo1半径为R，Qo2半径为r，圆心距外，则Qo1与Qo2外距<＝>Qo1与Qo2外切<＝>两圆相交<＝>两圆内切<＝>两圆内含<＝>【名师提醒：两圆相离无公共点包含和两种情况，两圆相切有唯一公共点包含和两种情况，注意题目中两种情况的考虑圆心同是两圆1\n此时d=】反证法：假设命题的结论，由此经过推理得出由矛盾判定所作的假设从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法【名师提醒：反证法正题的关键是提出即假设所证结论的反面成立，择推理论证得出的矛盾可以与相矛盾，也可以与相矛盾，从而肯定原命题成立】【典型例题解析】考点一：切线的性质例1（2022•永州）如图，AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，连接PC交⊙O于点B，连接AB，且PC=10，PA=6．求：（1）⊙O的半径；（2）cos∠BAC的值．考点：切线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．分析：（1）由AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠PAC=90°，又由PC=10，PA=6，利用勾股定理即可求得AC的值，继而求得⊙O的半径；（2）由AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，根据圆周角定理与切线的性质，即可得∠ABC=∠PAC=90°，又由同角的余角相等，可得∠BAC=∠P，然后在Rt△PAC中，求得cos∠P的值，即可得cos∠BAC的值．解答：解：（1）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，∴CA⊥PA，即∠PAC=90°，∵PC=10，PA=6，22∴AC=PCPA=8，1∴OA=AC=4，2∴⊙O的半径为4；（2）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，∴∠ABC=∠PAC=90°，∴∠P+∠C=90°，∠BAC+∠C=90°，∴∠BAC=∠P，PA63在Rt△PAC中，cos∠P=，PC1053∴cos∠BAC=．52\n点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．例2（2022•珠海）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．考点：切线的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．专题：几何综合题．分析：（1）PO与BC的位置关系是平行；（2）（1）中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形APO与三角形CPO全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠APO=∠CPO，再由OA=OP，利用等边对等角得到∠A=∠APO，等量代换可得出∠A=∠CPO，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠A=∠PCB，再等量代换可得出∠COP=∠ACB，利用内错角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；（3）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP，再利用折叠的性质得到∠AOP=∠COP，等量代换可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD，得证．解答：解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC；（2）（1）中的结论PO∥BC成立，理由为：由折叠可知：△APO≌△CPO，3\n∴∠APO=∠CPO，又∵OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠CPO，又∵∠A与∠PCB都为PB所对的圆周角，∴∠A=∠PCB，∴∠CPO=∠PCB，∴PO∥BC；（3）∵CD为圆O的切线，∴OC⊥CD，又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO=∠COP，由折叠可得：∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP，又OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠APO=∠AOP，∴△APO为等边三角形，∴∠AOP=60°，又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB，∴△BCO为等边三角形，∴∠COB=60°，∴∠POC=180°-（∠AOP+∠COB）=60°，又OP=OC，∴△POC也为等边三角形，∴∠PCO=60°，PC=OP=OC，又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°，1在Rt△PCD中，PD=PC，21又∵PC=OP=AB，21∴PD=AB，即AB=4PD．2点评：此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，折叠的性质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．对应训练1．（2022•玉林）如图，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE．（1）求证：AE平分∠CAB；（2）探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE=EC时，tanC的值．4\n考点：切线的性质；特殊角的三角函数值．专题：探究型．分析：（1）连接OE，则OE⊥BC，由于AB⊥BC，故可得出AB∥OE，进而可得出∠2=∠AEO，由于OA=OE，故∠1=∠AEO，进而可得出∠1=∠2；（2）由三角形外角的性质可知∠1+∠AEO=∠EOC，，因为∠1=∠AEO，∠OEC=90°，所以2∠1+∠C=90°；当AE=CE时，∠1=∠C，再根据2∠1+∠C=90°即可得出∠C的度数，由特殊角的三角函数值得出tanC即可．解答：（1）证明：连接OE，∵⊙O与BC相切于点E，∴OE⊥BC，∵AB⊥BC，∴AB∥OE，∴∠2=∠AEO，∵OA=OE，∴∠1=∠AEO，∴∠1=∠2，即AE平分∠CAB；3（2）解：2∠1+∠C=90°，tanC=．3∵∠EOC是△AOE的外角，∴∠1+∠AEO=∠EOC，∵∠1=∠AEO，∠OEC=90°，∴2∠1+∠C=90°，当AE=CE时，∠1=∠C，∵2∠1+∠C=90°∴3∠C=90°，∠C=30°3∴tanC=tan30°=．3点评：本题考查的是切线的性质、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，在解答此类题目5\n时要熟知“若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系”．2．（2022•泰州）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=25，求⊙O的半径和线段PB的长；（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．考点：切线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；几何综合题．分析：（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可；（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，根据AB=ACCPAP推出52-r2=(25)2-（5-r）2，求出r，证△DPB∽△CPA，得出，代入求出即可；PDBP（3）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范围，再根据相离得出r＜5，即可得出答案．解答：解：（1）AB=AC，理由如下：连接OB．∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC；6\n（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，∵设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，∴AB2=OA2-OB2=52-r2，AC2=PC2-PA2=(25)2-（5-r）2，∴52-r2=(25)2-（5-r）2，解得：r=3，∴AB=AC=4，∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC，∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA，CPAP∴，PDBP2553∴，33BP65解得：PB=．565∴⊙O的半径为3，线段PB的长为；5（3）作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出11122OE=AC=AB=5r；2227\n又∵圆O要与直线MN交点，122∴OE=5r≤r，2∴r≥5，又∵圆O与直线l相离，∴r＜5，即5≤r＜5．点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度．考点二：切线的判定例2（2022•铁岭）如图，⊙O的直径AB的长为10，直线EF经过点B且∠CBF=∠CDB．连接AD．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；3（2）若点C是弧AB的中点，sin∠DAB=，求△CBD的面积．5考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．专题：探究型．分析：（1）先由AB是⊙O的直径可得出∠ADB=90°，再根据∠ADC=∠ABC，∠CBF=∠CDB即可得出∠ABF=90°，故EF是⊙O的切线；3（2）作BG⊥CD，垂足是G，在Rt△ABD中，AB=10，sin∠DAB=可求出BD的长，5再由C是弧AB的中点，可知∠ADC=∠CDB=45°，根据BG=DG=BDsin45°可求出BG的长，由∠DAB=∠DCB可得出CG的长，进而得出CD的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°即∠ADC+∠CDB=90°，∵∠ADC=∠ABC，∠CBF=∠CDB，∴∠ABC+∠CBF=90°即∠ABF=90°，∴AB⊥EF∴EF是⊙O的切线；8\n（2）解：作BG⊥CD，垂足是G，在Rt△ABD中3∵AB=10，sin∠DAB=，5BD又∵sin∠DAB=，AB∴BD=6∵C是弧AB的中点，∴∠ADC=∠CDB=45°，2∴BG=DG=BDsin45°=6×=32，2∵∠DAB=∠DCBBG3∴tan∠DCB==，CG4∴CG=42，∴CD=CG+DG=42+32=72，17232∴S△CBD=CD•BG=21．22点评：本题考查的是切线的判定定理，涉及到圆周角定理、解直角三角形及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．对应训练考点三：三角形的外接圆和内切圆例4（2022•阜新）如图，在△ABC中，BC=3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为cm的圆形纸片所覆盖．考点：三角形的外接圆与外心；圆周角定理；锐角三角函数的定义．专题：计算题．9\n分析：作圆O的直径CD，连接BD，根据圆周角定理求出∠D=60°，根据锐角三角函数的BC定义得出sin∠D=，代入求出CD即可．CD解答：解：作圆O的直径CD，连接BD，∵弧BC对的圆周角有∠A、∠D，∴∠D=∠A=60°，∵直径CD，∴∠DBC=90°，BC∴sin∠D=，CD3即sin60°=，CD解得：CD=23，∴圆O的半径是3，故答案为：3．点评：本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆与外心，锐角三角函数的定义的应用，关键BC是得出sin∠D=，题目比较典型，是一道比较好的题目．CD例5（2022•玉林）如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（）35A．rB．rC．2rD．r22考点：三角形的内切圆与内心；矩形的判定；正方形的判定；切线长定理．专题：计算题．分析：连接OD、OE，求出∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD=BE=OD=OE=r，根据切线长定理得出MP=DM，NP=NE，代入MB+NB+MN得出10\nBD+BE，求出即可．解答：解：连接OD、OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∵∠ABC=90°，∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，∴四边形ODBE是矩形，∵OD=OE，∴矩形ODBE是正方形，∴BD=BE=OD=OE=r，∵⊙O切AB于D，切BC于E，切MN于P，∴MP=DM，NP=NE，∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=r+r=2r，故选C．点评：本题考查的知识点是矩形的判定、正方形的判定、三角形的内切圆和内心、切线长定理等，主要考查运用这些性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度也适中．对应训练4．（2022•台州）已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．考点：三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．专题：几何综合题；探究型．分析：（1）由∠ABC=∠DBE可知∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，即∠ABD=∠CBE，根据SAS定理可知△ABD≌△CBE；（2）由（1）可知，△ABD≌△CBE，故CE=AD，根据点D是△ABC外接圆圆心可知11\nDA=DB=DC，再由BD=BE可判断出BD=BE=CE=CD，故可得出四边形BDCE是菱形．解答：（1）证明：∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，∴∠ABD=∠CBE，在△ABD与△CBE中，BABC∵ABDCBE，BDBE∴△ABD≌△CBE…4分（2）解：四边形BDEF是菱形．证明如下：同（1）可证△ABD≌△CBE，∴CE=AD，∵点D是△ABC外接圆圆心，∴DA=DB=DC，又∵BD=BE，∴BD=BE=CE=CD，∴四边形BDCE是菱形．点评：本题考查的是三角形的外接圆与外心、全等三角形的判定与性质及菱形的判定定理，先根据题意判断出△ABD≌△CBE是解答此题的关键．45．（2022•武汉）在锐角三角形ABC中，BC=5，sinA=，5（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．考点：三角形的内切圆与内心；三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形．专题：计算题．分析：（1）作直径CD，连接BD，求出∠DBC=90°，∠A=∠D，根据sin∠A的值求出即可；（2）连接IC、BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E，求出BF⊥AC，AF=CF，根据sin∠A求出BF\AF，求出AC，根据三角形的面积公式得出5×R+5×R+6×R=6×4，求出R，在△AIF中，由勾股定理求出AI即可．解答：（1）解：作直径CD，连接BD，∵CD是直径，∴∠DBC=90°，∠A=∠D，4∵BC=5，sin∠A=，512\nBC4∴sin∠D==，CD525∴CD=，425答：三角形ABC外接圆的直径是．4（2）解：连接IC、BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E，∵AB=BC=5，I为△ABC内心，∴BF⊥AC，AF=CF，4BF∵sin∠A==，5AB∴BF=4，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=CF=3，AC=2AF=6，∵I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，∴IE=IF=IG，设IE=IF=IG=R，∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积，1111∴AB×R+BC×R+AC×R=AC×BF，2222即5×R+5×R+6×R=6×4，3∴R=，233在△AIF中，AF=3，IF=，由勾股定理得：AI=5．223答：AI的长是5．2点评：本题考查了三角形的面积公式，三角形的内切圆和内心，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．考点三：圆与圆的位置关系例6（2022•毕节地区）第三十奥运会将于2022年7月27日在英国伦敦开幕，奥运会旗图案有五个圆环组成，如图也是一幅五环图案，在这个五个圆中，不存在的位置关系是（）A．外离B．内切C．外切D．相交13\n考点：圆与圆的位置关系．分析：根据两圆的位置关系易得到它们的位置关系有外切、外离、相交．解答：解：观察图形，五个等圆不可能内切，也不可能内含，并且有的两个圆只有一个公共点，即外切；有的两个圆没有公共点，即外离；有的两个圆有两个公共点，即相交．故选B．点评：本题考查了圆与圆的位置关系：若两圆的半径分别为R，r，圆心距为d，若d＞R+r，两圆外离；若d=R+r，两圆外切；若R-r＜d＜R+r（R≥r），两圆相交；若d=R-r（R＞r），两圆内切；若0≤d＜R-r（R＞r），两圆内含．对应训练6．（2022•德阳）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），⊙A的半径是2，⊙P的半径是1，满足与⊙A及x轴都相切的⊙P有个．6．4考点：圆与圆的位置关系；坐标与图形性质；直线与圆的位置关系．分析：分两圆内切和两圆外切两种情况讨论即可得到⊙P的个数．解答：解：如图，满足条件的⊙P有4个，故答案为4．点评：本题考查了圆与圆的位置关系、坐标与图形的性质及直线与圆的知识，能充分考虑到分内切和外切是解决本题的关键．【聚焦山东中考】1．（2022•济南）已知⊙O21和⊙O2的半径是一元二次方程x-5x+6=0的两根，若圆心距O1O2=5，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切考点：圆与圆的位置关系．分析：先根据一元二次方程根与系数的关系，可知圆心距=两圆半径之和，再根据圆与圆的位置关系即可判断．解答：解：∵⊙O21和⊙O2的半径是一元二次方程x-5x+6=0的两根，∴两根之和=5=两圆半径之和，14\n又∵圆心距O1O2=5，∴两圆外切．故选B．点评：此题综合考查一元二次方程根与系数的关系及两圆的位置关系的判断．圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．2．（2022•青岛）已知，⊙O1与⊙O2的半径分别是4和6，O1O2=2，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离考点：圆与圆的位置关系．分析：由⊙O1与⊙O2的半径分别是4和6，O1O2=2，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵⊙O1与⊙O2的半径分别是4和6，O1O2=2，∴O1O2=6-4=2，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是内切．故选A．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．3．（2022•泰安）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则BC的长为（）A．πB．2πC．3πD．5π考点：切线的性质；弧长的计算．分析：连接OB，由于AB是切线，那么∠ABO=90°，而∠ABC=120°，易求∠OBC，而OB=OC，那么∠OBC=∠OCB，进而求出∠BOC的度数，在利用弧长公式即可求出BC的长．解答：解：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°，∵∠ABC=120°，∴∠OBC=30°，∵OB=OC，∴∠OCB=30°，15\n∴∠BOC=120°，∴BC的长为nπr180=120×π×3180=2π，故选B．点评：本题考查了切线的性质、弧长公式，解题的关键是连接OB，构造直角三角形．4．（2022•潍坊）已知两圆半径r21、r2分别是方程x-7x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．外离考点：圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．分析：首先解方程x2-7x+10=0，求得两圆半径r1、r2的值，又由两圆的圆心距为7，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵x2-7x+10=0，∴（x-2）（x-5）=0，∴x1=2，x2=5，即两圆半径r1、r2分别是2，5，∵2+5=7，两圆的圆心距为7，∴两圆的位置关系是外切．故选C．点评：此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．此题比较简单，注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．5．（2022•济南）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是．5．4848考点：切线的性质；勾股定理；矩形的性质．分析：首先取AC的中点O，过点O作MN∥EF，PQ∥EH，由题意可得PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG，PL，KN，OM，OQ分别是各半圆的半径，OL，OK是△ABC的中位线，又由在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，即可求得个线段长，继而求得答案．16\n解答：解：取AC的中点O，过点O作MN∥EF，PQ∥EH，∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥PQ∥FG，EF∥MN∥GH，∠E=∠H=90°，∴PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG，∵AB∥EF，BC∥FG，∴AB∥MN∥GH，BC∥PQ∥FG，∴AL=BL，BK=CK，1111∴OL=BC=×8=4，OK=AB=×6=3，2222∵矩形EFGH的各边分别与半圆相切，1111∴PL=AB=×6=3，KN=BC=×8=4，222222在Rt△ABC中，AC=AB+BC=10，1∴OM=OQ=AC=5，2∴EH=FG=PQ=PL+OL+OQ=3+4+5=12，EF=GH=MN=OM+OK+NK=5+3+4=12，∴矩形EFGH的周长是：EF+FG+GH+EH=12+12+12+12=48．故答案为：48．点评：此题考查了切线的性质、矩形的性质，三角形中位线的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．6．（2022•菏泽）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC=度．6．23考点：切线的性质．专题：计算题．分析：由PA、PB是圆O的切线，根据切线长定理得到PA=PB，即三角形APB为等腰三角形，由顶角的度数，利用三角形的内角和定理求出底角的度数，再由AP为圆O的切线，得到OA与AP垂直，根据垂直的定义得到∠OAP为直角，再由∠OAP-∠PAB即可求出∠BAC的度数．解答：解：∵PA，PB是⊙O是切线，∴PA=PB，又∠P=46°，180-46∴∠PAB=∠PBA==67°，2又PA是⊙O是切线，AO为半径，17\n∴OA⊥AP，∴∠OAP=90°，∴∠BAC=∠OAP-∠PAB=90°-67°=23°．故答案为：23。点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．7．（2022•烟台）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．（1）求证：CF是⊙O的切线；2S△CBD（2）若sin∠BAC=，求的值．5S△ABC考点：切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．分析：（1）首先连接OC，由CD⊥AB，CF⊥AF，CF=CE，即可判定AC平分∠BAF，由圆周角定理即可得∠BOC=2∠BAC，则可证得∠BOC=∠BAF，即可判定OC∥AF，即可证得CF是⊙O的切线；（2）由垂径定理可得CE=DE，即可得S△CBD=2S△CEB，由△ABC∽△CBE，根据相似三角形S△CBD的面积比等于相似比的平方，易求得△CBE与△ABC的面积比，继而可求得的值．S△ABC解答：（1）证明：连接OC．∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC．∵∠BOC=2∠BAC，∴∠BOC=∠BAF．∴OC∥AF．∴CF⊥OC．∴CF是⊙O的切线．18\n（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE，∴△ABC∽△CBE．SBC24△CBE222∴=()=（sin∠BAC）=()=．SAB525△ABCS8△CBD∴=．S25△ABC点评：此题考查了切线的判定、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．【备考真题过关】一、选择题1．（2022•恩施州）如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（）A．3cmB．4cmC．6cmD．8cm考点：切线的性质；勾股定理；垂径定理．分析：首先连接OC，AO，由切线的性质，可得OC⊥AB，由垂径定理可得AB=2AC，然后由勾股定理求得AC的长，继而可求得AB的长．解答：解：如图，连接OC，AO，∵大圆的一条弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB，1∴AC=BC=AB，2∵OA=5cm，OC=4cm，22在Rt△AOC中，AC=OA-OC=3cm，∴AB=2AC=6（cm）．故选C．19\n点评：此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．2．（2022•河南）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，ECBC．则下列结论中不一定正确的是（）A．BA⊥DAB．OC∥AEC．∠COE=2∠CAED．OD⊥AC考点：切线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．分析：分别根据切线的性质、平行线的判定定理及圆周角定理对各选项进行逐一判断即可．解答：解：∵AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，∴BA⊥DA，故A正确；∵ECBC，∴∠EAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO，∴∠EAC=∠ACO，∴OC∥AE，故B正确；∵∠COE是CE所对的圆心角，∠CAE是CE所对的圆周角，∴∠COE=2∠CAE，故C正确；只有当AE=CE时OD⊥AC，故本选项错误．故选D．点评：本题考查的是切线的性质，圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键．20\n3．（2022•黄石）如图所示，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数最大时，则∠ABP的度数为（）A．15°B．30°C．60°D．90°考点：切线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理．分析：连接BD，由题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大，利用圆周角定理和直角三角形的性质即可求出∠ABP的度数．解答：解：连接BD，∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，∴∠ADB=90°，当∠APB的度数最大时，则P和D重合，∴∠APB=90°，∵AB=2，AD=1，AD1∴sin∠DBP==，AB2∴∠ABP=30°，∴当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为30°．故选B．点评：本题考查了切线的性质，圆周角定理以及解直角三角形的有关知识，解题的关键是由题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大为90°．4．（2022•乐山）⊙O1的半径为3厘米，⊙O2的半径为2厘米，圆心距O1O2=5厘米，这两圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切考点：圆与圆的位置关系．分析：由⊙O1的半径为3厘米，⊙O2的半径为2厘米，圆心距O1O2=5厘米，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵⊙O1的半径r=3，⊙O2的半径r=2，21\n∴3+2=5，∵两圆的圆心距为O1O2=5，∴两圆的位置关系是外切．故选D．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是熟记两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．6．（2022•上海）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（）A．外离B．相切C．相交D．内含考点：圆与圆的位置关系．分析：由两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，又∵6-2=4，4＞3，∴这两个圆的位置关系是内含．故选：D．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．7．（2022•宿迁）若⊙O1，⊙O2的半径分别是r1=2，r2=4，圆心距d=5，则这两个圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离考点：圆与圆的位置关系．分析：先求出两圆半径的和与差，再与圆心距进行比较，确定两圆的位置关系．解答：解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别是2和4，圆心距d是5，则4-2=2，4+2=6，d=5，∴2＜d＜6，两圆相交时，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间，∴两圆相交．故选B．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R-r＜P＜R+r；内切，则P=R-r；内含，则P＜R-r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．9．（2022•嘉兴）如图，AB是⊙0的弦，BC与⊙0相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（）A．15°B．20°C．30°D．70°22\n考点：切线的性质．分析：由BC与⊙0相切于点B，根据切线的性质，即可求得∠OBC=90°，又由∠ABC=70°，即可求得∠OBA的度数，然后由OA=OB，利用等边对等角的知识，即可求得∠A的度数．解答：解：∵BC与⊙0相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∵∠ABC=70°，∴∠OBA=∠OBC-∠ABC=90°-70°=20°，∵OA=OB，∴∠A=∠OBA=20°．故选B．点评：此题考查了切线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意圆的切线垂直于经过切点的半径定理的应用．10.（2022•泉州）如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则（）A．EF＞AE+BFB．EF＜AE+BFC．EF=AE+BFD．EF≤AE+BF考点：三角形的内切圆与内心．专题：探究型．分析：连接OA，OB，由O是△ABC的内心可知OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线，故可得出∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO，再由EF∥AB可知，∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO，故可得出∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF，故AE=OE，OF=BF，由此即可得出结论．解答：解：连接OA，OB，∵O是△ABC的内心，∴OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线，∴∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO，∵EF∥AB，∴∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO，∴∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF，∴AE=OE，OF=BF，∴EF=AE+BF．故选C．23\n点评：本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．二、填空题11．（2022•吉林）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∠ACB=40°，点P在边BC上，则∠PAB的度数可能为（写出一个符合条件的度数即可）。11．45°（答案不唯一）考点：切线的性质．专题：开放型．分析：由切线的性质可以证得△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形的两个锐角互余知，∠CAB=50°；因为点P在边BC上，所以∠PAB＜∠CAB．解答：解：∵AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠ACB=40°（已知），∴∠CAB=50°（直角三角形的两个锐角互余）；又∵点P在边BC上，∴0＜∠PAB＜∠CAB，∴∠PAB可以取49°，45°，40…故答案可以是：45°。点评：本题考查了切线的性质．此题属于开放型题目，解题时注意答案的不唯一性．12．（2022•江西）如图，AC经过⊙O的圆心O，AB与⊙O相切于点B，若∠A=50°，则∠C=度．24\n12．20考点：切线的性质；圆周角定理．分析：首先连接OB，由AB与⊙O相切于点B，根据切线的性质，即可得OB⊥AB，又由∠A=50°，即可求得∠AOB的度数，然后由圆周角定理，求得∠C的度数．解答：解：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，∵∠A=50°，∴∠AOB=90°-∠A=40°，11∴∠C=∠AOB=×40°=20°．22故答案为：20．点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．13．（2022•淮安）如图，⊙M与⊙N外切，MN=10cm，若⊙M的半径为6cm，则⊙N的半径为cm．13．4考点：圆与圆的位置关系．分析：根据两圆外切圆心距等于两半径之和求得另一圆的半径即可．解答：解：∵⊙M与⊙N外切，MN=10cm，若⊙M的半径为6cm，∴⊙N的半径=10-6=4cm故答案为4．点评：本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是了解当两圆外切时圆心距等于两半径之和．14．（2022•六盘水）已知两圆的半径分别为2和3，两圆的圆心距为4，那么这两圆的位置关系是．25\n考点：圆与圆的位置关系．分析：由两圆的半径分别为2和3，两圆的圆心距为4，利用两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵两圆的半径分别为2和3，两圆的圆心距为4，∴2+3=5，3-2=1，∵1＜4＜5，∴这两圆的位置关系是相交．故答案为：相交．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．15．（2022•铜仁地区）已知圆O1和圆O2外切，圆心距为10cm，圆O1的半径为3cm，则圆O2的半径为．考点：圆与圆的位置关系．分析：由圆O1和圆O2外切，圆心距为10cm，圆O1的半径为3cm，利用两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系，即可求得圆O2的半径．解答：解：∵圆O1和圆O2外切，圆心距为10cm，圆O1的半径为3cm，∴圆O2的半径为：10-3=7（cm）．故答案为：7cm．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．16．（2022•盐城）已知⊙O21与⊙O2的半径分别是方程x-4x+3=0的两根，且O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t=．考点：圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．分析：先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于t的方程讨论求解．解答：解：∵⊙O21、⊙O2的半径分别是方程x-4x+3=0的两根，解得⊙O1、⊙O2的半径分别是1和3．①当两圆外切时，圆心距O1O2=t+2=1+3=4，解得t=2；②当两圆内切时，圆心距O1O2=t+2=3-1=2，解得t=0．∴t为2或0．故答案为：2或0．点评：考查解一元二次方程-因式分解法和圆与圆的位置关系，同时考查综合应用能力及推理能力．注意：两圆相切，应考虑内切或外切两种情况是解本题的难点．17．（2022•荆门）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A（2，0），B（1，2），则tan∠FDE=．26\n117．2考点：切线的性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义．分析：先连接PB、PE，根据⊙P分别与OA、BC相切，得出PB⊥BC，PE⊥OA，再根据A、B点的坐标，得出AE和BE的值，从而求出tan∠ABE，最后根据∠EDF=∠ABE，即可得出答案．解答：解：连接PB、PE．∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B，∴PB⊥BC，PE⊥OA，∵BC∥OA，∴B、P、E在一条直线上，∵A（2，0），B（1，2），∴AE=1，BE=2，1∴tan∠ABE=AEBE=，2∵∠EDF=∠ABE，1∴tan∠FDE=．21故答案为：．2点评：此题考查了切线的性质，用到的知识点是切线的性质、解直角三角形、圆周角定理，解题的关键是做出辅助线，构建直角三角形．18．（2022•连云港）如图，圆周角∠BAC=55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交与点P，则∠BPC=°．27\n18．70考点：切线的性质；圆周角定理．分析：首先连接OB，OC，由PB，PC是⊙O的切线，利用切线的性质，即可求得∠PBO=∠PCO=90°，又由圆周角定理可得：∠BOC=2∠BAC，继而求得∠BPC的度数．解答：解：连接OB，OC，∵PB，PC是⊙O的切线，∴OB⊥PB，OC⊥PC，∴∠PBO=∠PCO=90°，∵∠BOC=2∠BAC=2×55°=110°，∴∠BPC=360°-∠PBO-∠BOC-∠PCO=360°-90°-110°-90°=70°．故答案为：70．点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理以及四边形的内角和定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．19．（2022•武汉）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3.0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是．519．m2考点：切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．专题：计算题．分析：当OC与圆A相切（即到C′点）时，∠BOC最小，根据勾股定理求出此时的OC，求出∠BOC=∠CAO，根据解直角三角形求出此时的值，根据tan∠BOC的增减性，即可求出答案．解答：解：当OC与圆A相切（即到C′点）时，∠BOC最小，AC′=2，OA=3，由勾股定理得：OC′=5，∵∠BOA=∠AC′O=90°，28\n∴∠BOC′+∠AOC′=90°，∠C′AO+∠AOC′=90°，∴∠BOC′=∠OAC′，OC5tan∠BOC=，AC2随着C的移动，∠BOC越来越大，但不到E点，即∠BOC＜90°，5∴tan∠BOC≥，25故答案为：m．2点评：本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质等知识点的应用，能确定∠BOC的变化范围是解此题的关键，题型比较好，但是有一定的难度．20．（2022•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是AD的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．20．②③④考点：切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．29\n分析：连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP为直角，再由一对公共角，得到三角形APF与三角形ABD相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠APF等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，选项②正确；由直径AB垂直于弦CE，利用垂径定理得到A为CE的中点，得到两条弧相等，再由C为AD的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，选项③正确；利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形ACQ与三角形ABC相似，根据相似得比例得到AC2=CQ•CB，连接CD，同理可得出三角形ACP与三角形ACD相似，根据相似三角形对应边成比例可得出AC2=AP•AD，等量代换可得出AP•AD=CQ•CB，选项④正确．解答：解：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；连接BD，如图所示：∵GD为圆O的切线，∴∠GDP=∠ABD，又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，∴△APF∽△ABD，∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD，∴GP=GD，选项②正确；∵直径AB⊥CE，∴A为CE的中点，即AE=AC，又C为AD的中点，∴AC=CD，∴AE=CD，∴∠CAP=∠ACP，∴AP=CP，又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，30\n∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确；连接CD，如图所示：∵AC=CD，∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA，∴△ACQ∽△BCA，∴ACCQ=CBAC，即AC2=CQ•CB，∵AE=AC，∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，∴△ACP∽△ADC，ACAP∴=，即AC2=AP•AD，ADAC∴AP•AD=CQ•CB，选项④正确，则正确的选项序号有②③④．故答案为：②③④。点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．21.（2022•黄石）如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC=60°，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t=．21.431考点：切线的性质；坐标与图形性质；菱形的性质；解直角三角形．专题：动点型．分析：先根据已知条件，求出经过t秒后，OC的长，当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，利用垂径定理和解直角三角形的有关知识即可求出t的值．解答：解：∵已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，31\n∴经过t秒后，∴OA=1+t，∵四边形OABC是菱形，∴OC=1+t，当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，1∴OE=CE=OC，2∴OE=1+t2，在Rt△OPE中，OE=OP•cos30°=23，1t∴=23，2∴t=431，故答案为：431．点评：本题综合性的考查了菱形的性质、坐标与图形性质、切线的性质、垂径定理的运用以及解直角三角形的有关知识，属于中档题目．22.（2022•湘潭）如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为．22.∠ABC=90°考点：切线的判定．专题：开放型．分析：根据切线的判定方法知，能使BC成为切线的条件就是能使AB垂直于BC的条件，进而得出答案即可．解答：解：当△ABC为直角三角形时，即∠ABC=90°时，BC与圆相切，∵AB是⊙O的直径，∠ABC=90°，32\n∴BC是⊙O的切线，（经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线）．故答案为：∠ABC=90°．点评：此题主要考查了切线的判定，本题是一道典型的条件开放题，解决本类题目可以是将最终的结论当做条件，而答案就是使得条件成立的结论．三、解答题23．（2022•天津）已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．（Ⅰ）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；（Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．考点：切线的性质；菱形的判定与性质；圆周角定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由AM与圆O相切，根据切线的性质得到AM垂直于AC，可得出∠MAC为直角，再由∠BAC的度数，用∠MAC-∠BAC求出∠MAB的度数，又MA，MB为圆O的切线，根据切线长定理得到MA=MB，利用等边对等角可得出∠MAB=∠MBA，由底角的度数，利用三角形的内角和定理即可求出∠AMB的度数；（Ⅱ）连接AB，AD，由直径AC垂直于弦BD，根据垂径定理得到A为优弧BAD的中点，根据等弧对等弦可得出AB=AD，由AM为圆O的切线，得到AM垂直于AC，又BD垂直于AC，根据垂直于同一条直线的两直线平行可得出BD平行于AM，又BD=AM，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ADBM为平行四边形，再由邻边MA=MB，得到ADBM为菱形，根据菱形的邻边相等可得出BD=AD，进而得到AB=AD=BD，即△ABD为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠D为60°，再利用菱形的对角相等可得出∠AMB=∠D=60°．解答：解：（Ⅰ）∵MA切⊙O于点A，∴∠MAC=90°，又∠BAC=25°，∴∠MAB=∠MAC-∠BAC=65°，∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，∴MA=MB，∴∠MAB=∠MBA，∴∠MAB=180°-（∠MAB+∠MBA）=50°；33\n（Ⅱ）如图，连接AD、AB，∵MA⊥AC，又BD⊥AC，∴BD∥MA，又BD=MA，∴四边形MADB是平行四边形，又MA=MB，∴四边形MADB是菱形，∴AD=BD．又∵AC为直径，AC⊥BD，∴ABAD，∴AB=AD，又AD=BD，∴AB=AD=BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠D=60°，∴在菱形MADB中，∠AMB=∠D=60°．点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，弦、弧及圆心角之间的关系，菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，切线长定理，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．24.（2022•铜仁地区）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．（1）求证：CD∥BF；4（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=，求线段AD的长．5考点：切线的性质；圆周角定理；解直角三角形．34\n分析：（1）由BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，根据切线的性质，即可得BF⊥AB，又由AB⊥CD，即可得CD∥BF；（2）又由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，由圆周角定理，可得∠BAD=∠BCD，然4后由⊙O的半径为5，cos∠BCD=，即可求得线段AD的长．5解答：（1）证明：∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴BF⊥AB，∵CD⊥AB，∴CD∥BF；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵⊙O的半径5，∴AB=10，∵∠BAD=∠BCD，4AD∴cos∠BAD=cos∠BCD==，5AB4∴AD=cos∠BAD•AB=×10=8，5∴AD=8．点评：此题考查了切线的性质、平行线的判定、圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意数形结合思想与转化思想的应用．25．（2022•咸宁）如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上的一点，CD是过E点的弦，过点B的切线交AC的延长线于点F，BF∥CD，连接BC．（1）已知AB=18，BC=6，求弦CD的长；（2）连接BD，如果四边形BDCF为平行四边形，则点E位于AB的什么位置？试说明理由．考点：切线的性质；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．分析：（1）由BF与⊙O相切，根据切线的性质，可得BF⊥AB，又由BF∥CD，易得CD⊥AB，由垂径定理即可求得CE=DE，然后连接CO，设OE=x，则BE=9-x，由勾股定理即可求得OE的长，继而求得CD的长；（2）由四边形BDCF为平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得CD=BF，又由△AEC∽△ABF，即可求得点E是AB的中点．解答：（1）解：∵BF与⊙O相切，∴BF⊥AB．而BF∥CD，35\n∴CD⊥AB．又∵AB是直径，∴CE=ED．连接CO，设OE=x，则BE=9-x．由勾股定理可知：CO2-OE2=BC2-BE2=CE2，即92-x2=62-（9-x）2，解得：x=7．2222∴CD=2COOE=29782．（2）∵四边形BDCF为平行四边形，∴BF=CD．1而CE=DE=CD，21∴CE=BF．2∵BF∥CD，∴△AEC∽△ABF．AEEC1∴．ABBF2∴点E是AB的中点．点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．26．（2022•张家界）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧CBA上一动点（不与A、C重合）．（1）求∠APC与∠ACD的度数；（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．36\n专题：几何综合题．分析：（1）连接AC，由直径AB=4，得到半径OA=OC=2，又AC=2，得到AC=OC=OA，即三角形AOC为等边三角形，可得出三个内角都为60°，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，得到∠APC为30°，由CD为圆O的切线，得到OC垂直于CD，可得出∠OCD为直角，用∠OCD-∠OCA可得出∠ACD的度数；（2）由∠AOC为60°，AB为圆O的直径，得到∠BOC=120°，再由P为CB的中点，得到两条弧相等，根据等弧对等角，可得出∠COP=∠BOP=60°，进而得到三角形COP与三角形BOP都为等边三角形，可得出OC=OB=PC=PB，即四边形OBPC为菱形；（3）P有两个位置使三角形APC与三角形ABC全等，其一：P与B重合时，显然两三角形全等；第二：当CP为圆O的直径时，此时两三角形全等，理由为：当CP与AB都为圆的直径时，根据直径所对的圆周角为直角可得出三角形ACP与三角形ABC为直角三角形，由AB=CP，AC为公共边，利用HL即可得到直角三角形ACP与直角三角形ABC全等．解答：解：（1）连接AC，如图所示：1∵AC=2，OA=OB=OC=AB=2，2∴AC=OA=OC，∴△ACO为等边三角形，∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，1∴∠APC=∠AOC=30°，2又DC与圆O相切于点C，∴OC⊥DC，∴∠DCO=90°，∴∠ACD=∠DCO-∠ACO=90°-60°=30°；（2）连接PB，OP，∵AB为直径，∠AOC=60°，∴∠COB=120°，当点P移动到CB的中点时，∠COP=∠POB=60°，∴△COP和△BOP都为等边三角形，∴OC=CP=OB=PB，则四边形OBPC为菱形；（3）当点P与B重合时，△ABC与△APC重合，显然△ABC≌△APC；当点P继续运动到CP经过圆心时，△ABC≌△CPA，理由为：∵CP与AB都为圆O的直径，∴∠CAP=∠ACB=90°，在Rt△ABC与Rt△CPA中，37\nABCP，ACAC∴Rt△ABC≌Rt△CPA（HL）．点评：此题考查切线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，以及弧、圆心角及弦之间的关系，熟练掌握性质与判定是解本题的关键．27.（2022•河北）如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP=15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．考点：切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；解直角三角形．专题：几何综合题．分析：（1）由∠CBO=45°，∠BOC为直角，得到△BOC为等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标；（2）需要对点P的位置进行分类讨论：①当点P在点B右侧时，如图2所示，由∠BCO=45°，用∠BCO-∠BCP求出∠PCO为30°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；②当点P在点B左侧时，如图3所示，用∠BCO+∠BCP求出∠PCO为60°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；（3）当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况考虑：①当⊙P与BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于CP，可得出∠BCP=90°，由∠BCO=45°，得到∠OCP=45°，即此时△COP为等腰直角三角形，可得出OP=OC，由OC=3，得到OP=3，用OQ-OP求出P运动的路程，即可得出此时的时间t；②当⊙P与CD相切于点C时，P与O重合，可得出P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t；③当⊙P与CD相切时，利用切线的性质得到∠DAO=90°，得到此时A为切点，由PC=PA，且PA=9-t，PO=t-4，在Rt△OCP中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到此时的时间t．38\n综上，得到所有满足题意的时间t的值．解答：解：（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，∴OC=OB=3，又∵点C在y轴的正半轴上，∴点C的坐标为（0，3）；（2）分两种情况考虑：①当点P在点B右侧时，如图2，若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，故PO=CO•tan30°=3，此时t=4+3；②当点P在点B左侧时，如图3，由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，故OP=COtan60°=33，此时，t=4+33，∴t的值为4+3或4+33；（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：39\n①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1；②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4；③当⊙P与AD相切时，由题意，得∠DAO=90°，∴点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9-t）2，PO2=（t-4）2，于是（9-t）2=（t-4）2+32，即81-18t+t2=t2-8t+16+9，解得：t=5.6，∴t的值为1或4或5.6．点评：此题考查了切线的性质，坐标与图形性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．28．（2022•宁波）如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；1（2）已知sinA=，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．2考点：切线的判定；扇形面积的计算．分析：（1）连接OE．根据OB=OE得到∠OBE=∠OEB，然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB=∠EBC，从而判定OE∥BC，最后根据∠C=90°得到∠AEO=∠C=90°证得结论AC是⊙O的切线．（2）连接OF，利用S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF求解即可．解答：解：（1）连接OE．∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB∵BE是△ABC的角平分线∴∠OBE=∠EBC40\n∴∠OEB=∠EBC∴OE∥BC∵∠C=90°∴∠AEO=∠C=90°∴AC是⊙O的切线；（2）连接OF．1∵sinA=，∴∠A=30°2∵⊙O的半径为4，∴AO=2OE=8，∴AE=43，∠AOE=60°，∴AB=12，1∴BC=AB=6AC=63，2∴CE=AC-AE=23．∵OB=OF，∠ABC=60°，∴△OBF是正三角形．∴∠FOB=60°，CF=6-4=2，∴∠EOF=60°．1∴S梯形OECF=（2+4）×23=63．226048S扇形EOF==，36038∴S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF=63-．3点评：本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线．29．（2022•莆田）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，延长BC到点D，使得CD=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，点G为DF的中点，连接CG、OF、FB．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若△AFB的面积是△DCG的面积的2倍，求证：OF∥BC．41\n考点：切线的判定；圆周角定理．专题：几何综合题．分析：（1）连接OC．欲证CG是⊙O的切线，只需证明∠CGO=90°，即CG⊥OC；（2）根据直角三角形ABC、直角三角形DCF的面积公式，以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得AC=2AF；然后根据三角形中位线的判定与定理证得该结论．解答：证明：（1）在△ABC中，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）；又∵OA=OC，∴∠A=∠ACO（等边对等角）；在Rt△DCF中，∵点G为DF的中点，∴CG=GF（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半），∴∠GCF=∠CFG（等边对等角）；∵DE⊥AB（已知），∠CFG=∠AFE（对顶角相等）；∴在Rt△AEF中，∠A+∠AEF=90°；∴∠ACO+∠GCF=90°，即∠CGO=90°，∴CG⊥OC，∴CG是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），即AC⊥BD；又∵CD=BC，点G为DF的中点，11111∴S△AFB=S△ABC-S△BCF=（AC•BC-CF•BC），S△DCG=S△FCD=×DC•CF=BC•CF；22224∵△AFB的面积是△DCG的面积的2倍，11∴（AC•BC-CF•BC）=2×BC•CF，24∴AC=2CF，即点F是AC的中点；∵O点是AB的中点，∴OF是△ABC的中位线，∴OF∥BC．点评：本题考查了切线的判定、圆周角定理．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．30（2022•义乌市）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；42\n（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．考点：切线的判定；圆周角定理；弧长的计算．分析：（1）由圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ABC的度数；（2）由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠BAC=30°，易求得∠BAE=90°，则可得AE是⊙O的切线；（3）首先连接OC，易得△OBC是等边三角形，则可得∠AOC=120°，由弧长公式，即可求得劣弧AC的长．解答：解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=∠D=60°；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠BAC=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；（3）如图，连接OC，∵OB=OC，∠ABC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=4，∠BOC=60°，∴∠AOC=120°，12048∴劣弧AC的长为π．1803点评：此题考查了切线的判定、圆周角定理以及弧长公式等知识．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．43