第19讲矩形、菱形和正方形考纲要求命题趋势1．掌握平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的关系．2．掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质．3．灵活运用特殊平行四边形的判定与性质进行有关的计算和证明. 特殊的平行四边形是中考的重点内容之一，常以选择题、填空题、计算题、证明题的形式出现，也常与折叠、平移和旋转问题相结合，出现在探索性、开放性的题目中.知识梳理一、矩形的性质与判定1．定义有一个角是直角的____________是矩形．2．性质(1)矩形的四个角都是________．(2)矩形的对角线________．(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴；它的对称中心是__________．3．判定(1)有三个角是________的四边形是矩形．(2)对角线________的平行四边形是矩形．二、菱形的性质与判定1．定义一组邻边相等的__________叫做菱形．2．性质(1)菱形的四条边都________．(2)菱形的对角线__________，并且每一条对角线平分一组对角．3．判定(1)对角线互相垂直的________是菱形．(2)四条边都相等的________是菱形．三、正方形的性质与判定1．定义一组邻边相等的________叫做正方形．2．性质(1)正方形的四条边都________，四个角都是______．(2)正方形的对角线______，且互相________；每条对角线平分一组对角．(3)正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定11\n(1)一组邻边相等并且有一个角是直角的__________是正方形．(2)一组邻边相等的________是正方形．(3)对角线互相垂直的________是正方形．(4)有一个角是直角的________是正方形．(5)对角线相等的________是正方形．自主测试1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝5，则AD的长是( )A．5B．5C．5D．102．在菱形ABCD中，AB＝5cm，则此菱形的周长为( )A．5cmB．15cmC．20cmD．25cm3．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为( )A．1B．C．D．24．下列命题中是真命题的是( )A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．两条对角线相等的平行四边形是矩形D．两边相等的平行四边形是菱形5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°.求证：BE＝CF.考点一、矩形的性质与判定【例1】如图，在△ABC中，点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN∥BC11\n.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE，AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．分析：判定一个四边形是矩形，可以先判定四边形是平行四边形，再找一个内角是直角或说明对角线相等．解：当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时，四边形AECF是矩形．证明：∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2.又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，∴EO＝CO.同理，FO＝CO，∴EO＝FO.又OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，∴∠1＋∠5＝∠2＋∠4.又∵∠1＋∠5＋∠2＋∠4＝180°，∴∠2＋∠4＝90°，即∠ECF＝90°.∴四边形AECF是矩形．方法总结矩形的定义既可以作为性质，也可以作为判定．矩形的性质是求证线段或角相等时常用的知识点．证明一个四边形是矩形的方法：(1)先证明它是平行四边形，再证明它有一个角是直角；(2)先证明它是平行四边形，再证明它的对角线相等；(3)证明有三个内角为90°.触类旁通1如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE.求证：(1)BF＝DF；(2)AE∥BD.考点二、菱形的性质与判定【例2】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.11\n(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若∠ACB＝30°，菱形OCED的面积为8，求AC的长．分析：(1)先证明四边形OCED是平行四边形，然后证明它的一组邻边相等；(2)因为△DOC是等边三角形，根据菱形的面积计算公式可以求菱形的边长，从而求出AC的长．解：(1)证明：∵DE∥OC，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC＝BO＝OD.∴四边形OCED是菱形．(2)∵∠ACB＝30°，∴∠DCO＝90°－30°＝60°.又∵OD＝OC，∴△OCD是等边三角形．过D作DF⊥OC于F，则CF＝OC，设CF＝x，则OC＝2x，AC＝4x.在Rt△DFC中，tan60°＝，∴DF＝FC·tan60°＝x.由已知菱形OCED的面积为8得OC·DF＝8，即2x·x＝8.解得x＝2.∴AC＝4×2＝8.方法总结菱形的定义既可作为性质，也可作为判定．证明一个四边形是菱形的一般方法：(1)四边相等；(2)首先证明是平行四边形，然后证明有一组邻边相等；(3)对角线互相垂直平分；(4)对角线垂直的平行四边形．触类旁通2如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD，BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．考点三、正方形的性质与判定【例3】如图①，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG，FH，交点为O.(1)如图②，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；(2)将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图③的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1cm，则图③中阴影部分的面积为__________cm2.11\n分析：根据题目的条件可先证△AEH，△BFE，△CGF，△DHG四个三角形全等，证得四边形EFGH的四边相等，然后由全等再证一个角是直角．解：(1)四边形EFGH是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.∵HA＝EB＝FC＝GD，∴AE＝BF＝CG＝DH.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.∴EF＝FG＝GH＝HE.∴四边形EFGH是菱形．由△DHG≌△AEH，知∠DHG＝∠AEH.∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°.∴∠GHE＝90°.∴菱形EFGH是正方形．(2)1方法总结证明一个四边形是正方形可从以下几个方面考虑：(1)“平行四边形”＋“一组邻边相等”＋“一个角为直角”(定义法)；(2)“矩形”＋“一组邻边相等”；(3)“矩形”＋“对角线互相垂直”；(4)“菱形”＋“一个角为直角”；(5)“菱形”＋“对角线－相等”．1．(2022四川成都)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )A．AB∥DCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．OA＝OC2．(2022山东滨州)若菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角的度数比为( )A．3:1B．4:1C．5:1D．6:13．(2022江苏泰州)下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．(2022江苏苏州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE的周长是( )A．4 B．6C．8 D．1011\n5．(2022贵州铜仁)以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A，B两点，则线段AB的最小值是__________．6．(2022山东临沂)如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.(1)求证：四边形BCEF是平行四边形；(2)若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形？1．菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )A．BA＝BCB．AC，BD互相平分C．AC＝BDD．AB∥CD3．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A．∠D＝90°B．AB＝CDC．AD＝BCD．BC＝CD4．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD＝6，则AF等于( )A．4B．311\nC．4D．85．如图，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5千米，村庄C到公路l1的距离为4千米，则村庄C到公路l2的距离是( )(第5题图)A．3千米B．4千米C．5千米D．6千米6．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是__________．(第6题图)7．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的__________．(第7题图)8．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，MP＋NP的最小值是__________．(第8题图)9．如图(1)所示，在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N.11\n(1)求证：MD＝MN.(2)若将上述条件中“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，如图(2)所示，则结论“MD＝MN”还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．参考答案导学必备知识自主测试1．B 2．C3．C ∵设AG＝A′G＝x，∴x2＋22＝(4－x)2，解得x＝，故选C.4．C5．证明：如题图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°.∴∠EAB＋∠AEB＝90°.∵∠EOB＝∠AOF＝90°，∴∠FBC＋∠AEB＝90°.∴∠EAB＝∠FBC.∴△ABE≌△BCF.∴BE＝CF.探究考点方法触类旁通1．证明：(1)在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴∠1＝∠2.∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴BF＝DF.(2)∵AD＝BC＝BE，BF＝DF，∴AF＝EF，∴∠AEB＝∠EAF.∵∠AFE＝∠BFD，∠1＝∠3，∴∠AEB＝∠3，∴AE∥BD.触类旁通2．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE＝BF.又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．品鉴经典考题1．B 因为菱形的对边平行且相等，所以A正确；对角线互相平分且垂直，但不一定相等，所以C，D正确，B错误．11\n2．C 根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5:1.故选C.3．B ①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形是真命题；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形是假命题；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形是真命题；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形是假命题．故选B.4．C ∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，∴OD＝OC＝AC＝2，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为4OC＝4×2＝8.故选C.5． 如图：∵四边形CDEF是正方形，∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD.∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠COA＋∠AOD＝90°，∠AOD＋∠DOB＝90°，∴∠COA＝∠DOB.∵在△COA和△DOB中，有∴△COA≌△DOB，∴OA＝OB.∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，由勾股定理得：AB＝＝OA，要使AB最小，只需OA取最小值即可．根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小．此时OA＝CF＝1，即AB＝.6．解：(1)证明：∵AF＝DC，∴AF＋FC＝DC＋FC，即AC＝DF.又∵∠A＝∠D，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF.∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE.∴BC∥EF.∴四边形BCEF是平行四边形．(2)若四边形BCEF是菱形，连接BE，交CF于点G，∴BE⊥CF，FG＝CG.∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝11\n＝＝5.∵∠BGC＝∠ABC＝90°，∠ACB＝∠BCG，∴△ABC∽△BGC.∴＝，即＝.∴CG＝.∴FC＝2CG＝.∴AF＝AC－FC＝5－＝.因此，当AF＝时，四边形BCEF是菱形．研习预测试题1．A 2．B 3．D4．A ∵点E是CD的中点，∴DE＝CE＝CD＝3.∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6.由折叠性质可知，AE＝AB＝6，BF＝EF，在Rt△ADE中，AD＝＝3，∴BC＝3.设CF＝x，BF＝EF＝3－x，在Rt△CEF中，(3－x)2＝x2＋32，∴x＝.∴BF＝2.在Rt△ABF中，AF＝4.5．B 6．22.5° 7．8．1 在DC上找N点关于AC的对称点N′，连接MN′，则MN′的长即为MP＋NP的最小值，此时MN′＝AD＝1.9．分析：(1)证MD＝MN，可证它们所在的三角形全等，易知MN在钝角△MBN中，而MD在直角△AMD中，显然需添加辅助线构造全等三角形，由△MBN的特征想到可在AD上取AD的中点F，构造△MDF≌△NMB；(2)可参照第(1)题的方法．(1)证明：取AD的中点F，连接MF.∵M是AB的中点，F是AD的中点，∴MB＝AM＝AB，DF＝AF＝AD.∵AB＝AD，∴AF＝AM＝DF＝MB，∴∠1＝45°，∴∠DFM＝135°.∵BN平分∠CBE，∴∠CBN＝45°.∴∠MBN＝135°.∴∠MBN＝∠DFM.∵∠DMN＝90°，∴∠NMB＋∠DMA＝90°.∵∠A＝90°，∴∠ADM＋∠DMA＝90°.∴∠NMB＝∠ADM.∴△DFM≌△MBN.∴MD＝MN.11\n(2)解：结论MD＝MN仍成立．证明：在AD上取点F，使AF＝AM，连接MF.由(1)中证法可得：DF＝BM，∠DFM＝∠MBN，∠FDM＝∠BMN，∴△DFM≌△MBN，∴MD＝MN.11
