2022中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析(三)例5如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,图1解析（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的坐标（0，－2），解得．所以抛物线的解析式为．（2）设点P的坐标为．①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，，．如果，那么．解得不合题意．如果，那么．解得．此时点P的坐标为（2，1）．②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，，．解方程，得．此时点P的坐标为．6\n解方程，得不合题意．③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，，．解方程，得．此时点P的坐标为．解方程，得．此时点P与点O重合，不合题意．综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或或．图2图3图4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为．设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为．所以．因此．当时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．图5图6考点伸展6\n第（3）题也可以这样解：如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．设点D的横坐标为（m，n），那么．由于，所以．例6如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cosA＝．D为射线BA上的点（点D不与点B重合），作DE//BC交射线CA于点E.．(1)若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2)当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；(3)当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．图1备用图备用图解析（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝，所以AH＝＝AC．所以BH垂直平分AC，△ABC为等腰三角形，AB＝CB＝5．因为DE//BC，所以，即．于是得到，（）．（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以，，即，．因此，圆心距．图2图3图46\n在⊙M中，，在⊙N中，．①当两圆外切时，．解得或者．如图5，符合题意的解为，此时．②当两圆内切时，．当x＜6时，解得，如图6，此时E在CA的延长线上，；当x＞6时，解得，如图7，此时E在CA的延长线上，．图5图6图7（3）因为△ABC是等腰三角形，因此当△ABC与△DEF相似时，△DEF也是等腰三角形．如图8，当D、E、F为△ABC的三边的中点时，DE为等腰三角形DEF的腰，符合题意，此时BF＝2.5．根据对称性，当F在BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF＝4.1．如图9，当DE为等腰三角形DEF的底边时，四边形DECF是平行四边形，此时．图8图9图10图11考点伸展第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH是△ABC的高，D、E、F为△ABC的三边的中点，那么四边形DEHF是等腰梯形．例7如图1，在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）．平移二次函数的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B、C两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A，B．（1）是否存在这样的抛物线F，使得？请你作出判断，并说明理由；6\n（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO＝，求抛物线F对应的二次函数的解析式．图1解析（1）因为平移的图象得到的抛物线的顶点为（t，b），所以抛物线对应的解析式为．因为抛物线与x轴有两个交点，因此．令，得，．所以)()|．即．所以当时，存在抛物线使得．（2）因为AQ//BC，所以t＝b，于是抛物线F为．解得．①当时，由，得．如图2，当时，由，解得．此时二次函数的解析式为．如图3，当时，由，解得．此时二次函数的解析式为＋＋．6\n图2图3②如图4，如图5，当时，由，将代,可得，．此时二次函数的解析式为＋－或．图4图5考点伸展第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ//BC，所以t＝b，于是抛物线F为．由，得．①把代入，得（如图2，图5）．②把代入，得（如图3，图4）．6
