2022中考数学压轴题函数直角三角形问题精选解析(一)例1如图1,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.(1)求抛物线的函数表达式;(2)求直线BC的函数表达式;(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P在第三象限.①当线段时,求tan∠CED的值;②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.温馨提示:考生可以根据第(3)问的题意,在图中补出图形,以便作答.图1解析(1)设抛物线的函数表达式为,代入点C(0,-3),得.所以抛物线的函数表达式为.(2)由,知A(-1,0),B(3,0).设直线BC的函数表达式为,代入点B(3,0)和点C(0,-3),得解得,.所以直线BC的函数表达式为.(3)①因为AB=4,所以.因为P、Q关于直线x=1对称,所以点P的横坐标为.于是得到点P的坐标为,点F的坐标为.所以,.进而得到,点E的坐标为.直线BC:与抛物线的对称轴x=1的交点D的坐标为(1,-2).过点D作DH⊥y轴,垂足为H.在Rt△EDH中,DH=1,,所以tan∠CED.3\n②,.图2图3图4考点伸展第(3)题②求点P的坐标的步骤是:如图3,图4,先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标,再求出CE的中点F的坐标,把点F的纵坐标代入抛物线的解析式,解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标.例2设直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2,若l1⊥l2,垂足为H,则称直线l1与l2是点H的直角线.(1)已知直线①;②;③;④和点C(0,2),则直线_______和_______是点C的直角线(填序号即可);(2)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A(3,0)、B(2,7)、C(0,7),P为线段OC上一点,设过B、P两点的直线为l1,过A、P两点的直线为l2,若l1与l2是点P的直角线,求直线l1与l2的解析式.图解析(1)直线①和③是点C的直角线.(2)当∠APB=90°时,△BCP∽△POA.那么,即.解得OP=6或OP=1.如图2,当OP=6时,l1:,l2:y=-2x+6.如图3,当OP=1时,l1:y=3x+1,l2:.3\n图2图33