(新课标)2013高考数学三轮必考热点集中营热点23参数方程和极坐标方程(教师版)【三年真题重温】1.【2011新课标全国理,23】选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),是上的动点,点满足,点的轨迹为曲线.(Ⅰ)当求的方程;(Ⅱ)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为,与的异于极点的交点为,求.2.【2010新课标全国理,23】选修4-4:坐标系与参数方程已知直线C1(t为参数),C2(为参数),(Ⅰ)当=时,求C1与C2的交点坐标;(Ⅱ)过坐标原点O做C1的垂线,垂足为,P为OA中点,当变化时,求P点的轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线。13\n【2012新课标全国理,23】坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线的坐标系方程是,正方形的顶点都在上,且依逆时针次序排列,点的极坐标为(1)求点的直角坐标;(2)设为上任意一点,求的取值范围。【命题意图猜想】13\n2011年高考考查了参数方程和极坐标的题目,可化为普通方程求解,涉及到直线和圆的参数方程;2010年高考主要考查直线与圆的参数方程,参数方程与普通方程的互化,利用参数方程研究轨迹问题的能力.2012年高考主要考查直角坐标系与极坐标系之间的互化,以椭圆的参数方程为背景,意在考查考生利用坐标之间的转化求解。预测2013年高考对直线与圆的参数方程的考查还会继续加强.【最新考纲解读】1.坐标系(1)回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用.(2)通过具体例子,了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(3)能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.(4)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.(5)借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等)了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较,体会它们的区别.2.参数方程(1)通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,写出抛物线运动轨迹的参数方程,体会参数的意义.(2)分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质,选择恰当的参数写出它们的参数方程.(3)举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便,感受参数方程的优越性.【回归课本整合】1.极坐标和直角坐标的互化公式若点M的极坐标为(ρ,θ),直角坐标为(x,y),则.求曲线的极坐标方程f(ρ,θ)=0的步骤与求曲线的直角坐标方程步骤完全相同.特别注意的是求极坐标方程时,常常要解一个三角形.(4)极坐标方程ρ=ρ(θ)表示的平面图形的对称性:若ρ(-θ)=ρ(θ),则图形关于极轴对称;若ρ(π-θ)=ρ(θ),则图形关于射线θ=对称;若ρ(π+θ)=ρ(θ),则图形关于极点对称.2.特殊的常见曲线(包括直线)的极坐标方程①圆心在极轴上点C(a,0),过极点的圆方程ρ=2acosθ.②圆心在极点、半径为r的圆的极坐标方程ρ=r.③圆心在处且过极点的圆方程为ρ=2asinθ(0≤θ≤π).④过极点倾角为α的直线的极坐标方程为:13\nθ=α或θ=π+α.⑤过A(a,0)(a>0)与极轴垂直的直线ρcosθ=a.⑥过A(a>0)与极轴平行的直线ρsinθ=a.3.参数方程的概念在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数(*),并且对于t的每一个允许值,由方程组(*)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,而这条曲线上任一点M(x,y)都可以通过(*)式得到,则方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程,变数t叫做参数这时,参数t的几何意义是:以直线l上点M(x0,y0)为起点,任意一点N(x,y)为终点的有向线段的数量为MN且|t|=|MN|.4.圆的参数方程(1)圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为(θ为参数);(2)圆心为C(a,b),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数).5.参数方程和普通方程的互化(1)化参数方程为普通方程:消去参数.常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法.(2)化普通方程为参数方程:引入参数,即选定合适的参数t,先确定一个关系x=f(t)〔或y=φ(t)〕,再代入普通方程F(x,y)=0,求得另一关系y=φ(t)〔或x=f(t)〕.【方法技巧提炼】1.极坐标与直角坐标的互化(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:①极点与原点重合;②极轴与x轴正向重合;③取相同的单位长度.(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式x=ρcosθ及y=ρsinθ直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,进行整体代换.2.求曲线的极坐标方程求曲线的极坐标方程的步骤:(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点;(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式;(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.3.参数方程与普通方程的互化在求出曲线的参数方程后,通常利用消参法得出普通方程.一般地,消参数经常采用的是代入法和三角公式法,但将曲线的参数方程化为普通方程,不只是把其中的参数消去,还要注意x,y的取值范围在消参前后应该是一致的,也就是说,要使得参数方程与普通方程等价,即它们二者要表示同一曲线.4.直线的参数方程及应用根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义,有如下常用结论:(1)直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为t1,t2,则弦长l=|t1-t2|;(2)定点M0是弦M1M2的中点⇒t1+t2=0;(3)设弦M1M2中点为M,则点M对应的13\n参数值tM=(由此可求|M1M2|及中点坐标).5.圆与圆锥曲线的参数方程及应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普通方程与参数方程的互化公式,主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范围等.【考场经验分享】1.在极坐标系中,如无特别说明时,ρ≥0,θ∈R;点的极坐标不惟一,若规定ρ≥0,0≤θ<2π,则极坐标系中的点与点的极坐标形成一一对应关系(极点除外);曲线上的点的极坐标不一定满足曲线的极坐标方程,但曲线上一点P的无数个极坐标中必有一个适合曲线的极坐标方程.2.极坐标方程θ=θ1表示一条射线并非直线,只有当允许ρ<0时,θ=θ1才表示一条直线.3.只有在a2+b2=1时,直线(t为参数)中的参数t才表示由M(x0,y0)指向N(x,y)的有向线段的数量,而在a2+b2≠1时,|MN|=·t.4.消参后应将原参数的取值范围相应地转化为变量x(或y)的取值范围.【新题预测演练】1.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中,圆C1和C2的参数方程分别是(φ为参数)和(φ为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。(1)求圆C1和C2的极坐标方程;(2)射线OM:θ=α与圆C1的交点为O、P,与圆C2的交点为O、Q,求|OP|·|OQ|的最大值2.【河北省唐山市2012—2013学年度高三年级第一次模拟考试】选修4-4:坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点O为极点,以x13\n轴正半轴为极轴.己知曲线C1的极坐标方程为p=4cosθ曲线C2的参数方程是(t为参数,),射线与曲线C1交于极点O外的三点A,B,C.(I)求证:;(II)当时,B,C两点在曲线C2上,求m与a的值.3.【2013年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测(二)】在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为:(I)求曲线C1的普通方程;(II)曲线C2的方程为,设P、Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点,求|PQ|的最小值.13\n4.【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】已知点,参数,点Q在曲线C:上。[(Ⅰ)求点P的轨迹方程与曲线C的直角坐标方程;(Ⅱ)求点P与点Q之间的最小值。5.【江苏省南通市2013届高三第二次调研测试】选修4-4:坐标系与参数方程13\n在平面直角坐标中,已知圆,圆.(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别求圆的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标;(2)求圆的公共弦的参数方程.6.【宁夏回族自治区石嘴山市2013届高三第一次模拟】已知在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点O为极点,以轴正半轴为极轴)中,曲线C的极坐标方程为。(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设点P是曲线C上的一个动点,求它到直线的距离的取值范围。7.【河北省邯郸市2013年高三第一次模拟考试】以直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线I的参数方程为(t为参数,O<a<),曲线C的极坐标方程为13\n(I)求曲线C的直角坐标方程;(II)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当a变化时,求的最小值.8.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程将圆上各点的纵坐标压缩至原来的,所得曲线记作C;将直线3x-2y-8=0绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l.(I)求直线l与曲线C的方程;(II)求C上的点到直线l的最大距离.13\n9.【河北省唐山市2012—201 3学年度高三年级期末考试】极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点D为极点,以x轴正半轴为极轴,曲线Cl的极坐标方程为,曲线C2的参数方程为为参数)。(I)当时,求曲线Cl与C2公共点的直角坐标;(II)若,当变化时,设曲线C1与C2的公共点为A,B,试求AB中点M轨迹的极坐标方程,并指出它表示什么曲线.13\n10.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷(文科)】平面直角坐标系中,将曲线(a为参数)上的每~点横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到曲线C1.以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线C2的方程为p=4sinθ.(I)求Cl和C2的普通方程.(Ⅱ)求Cl和C2公共弦的垂直平分线的极坐标方程.11.【2013年长春市高中毕业班第一次调研测试】选修4-4:坐标系与参数方程选讲.已知曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线的参数方程为(为参数).⑴求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程;⑵设曲线与直线相交于、两点,以为一条边作曲线C的内接矩形,求该矩形的面积.13\n12.【云南玉溪一中高2013届高三上学期第三次月考】(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知直线的参数方程是,圆C的极坐标方程为.(1)求圆心C的直角坐标;(2)由直线上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.13\n圆心C到距离是,∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是…………(10分)13.【云南玉溪一中2013届第四次月考试卷】在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线,已知过点的直线的参数方程为:,直线与曲线分别交于两点.13