2013年高考数学专题复习3-4三角函数与解三角形北师大版(时间：60分钟，满分：80分)一、选择题(共6小题，每小题5分，满分30分)1．(2012年东北育才学校高三第二次模拟考试)将函数y＝sin的图像上各点向右平移个单位，则得到新函数的解析式为( )A．y＝sin B．y＝sinC．y＝sinD．y＝sin解析：新函数解析式为y＝sin[6(x－)＋]＝sin，故选A.答案：A2．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( )A．关于直线x＝对称B．关于点(，0)对称C．关于直线x＝－对称D．关于点(，0)对称解析：由题意知T＝＝π，则ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋)，又f()＝sin(π＋)＝sinπ＝0.答案：B3．(2012年山东师大4月模拟)若把函数y＝cosx－sinx的图象向右平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )A.B.πC.D.π解析：y＝cosx－sinx＝2cos.图像向右平移m个单位长度，则y＝2cos.-6-\n又∵图像关于y轴对称，∴－m＋＝kπ，∴m＝kπ＋.当k＝0时，m的最小值为.答案：C4．(2012年东北三校第一次联考)要得到函数f(x)＝sin(2x＋)的导函数f＇(x)的图像，只需将f(x)的图像( )A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)解析：依题意得f′(x)＝2cos(2x＋)，先将f(x)的图像向左平移个单位得到的是y＝sin[2(x＋)＋]＝cos(2x＋)的图像；再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到的是y＝2cos(2x＋)的图像．因此选C.答案：C5．(2012年课标全国卷)已知ω＞0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.B.C.D.解析：由题意知，周期T＝2π，∴ω＝1，又x＝是对称轴，∴f()＝1或－1.即sin(＋φ)＝1或sin(＋φ)＝－1，∵0<φ<π，∴φ＝，故选A.-6-\n答案：A6．(2011年天津高考)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数解析：∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝，∵当x＝时，f(x)取得最大值，∴×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ(k∈Z)，∵－π<φ≤π，∴φ＝.∴f(x)＝2sin(＋)，由此函数图像易得(图略)，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没单调性，在区间[4π，6π]上是增函数．故选A.答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，共15分)7．(2012年西安五校第一次模拟)将函数y＝sin2x的图像向右平移个单位后，其图像的一条对称轴方程可以是________．解析：依题意得，将函数y＝sin2x的图像向右平移个单位得到y＝sin2(x－)＝sin(2x－)的图像．令2x－＝kπ＋得x＝＋，k∈Z，即其图像的一条对称轴方程可以是x＝.答案：x＝(符合x＝＋，k∈Z即可)8．(2011年辽宁高考)已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)部分图像如图，则f()＝________.解析：由题中图像可知，此正切函数的半周期等于－＝，即最小正周期为，所以ω＝2.由题意可知，图像过定点(，0)，所以0＝Atan(2×＋φ)，即＋φ＝kπ(k∈Z)，所以，φ＝k-6-\nπ－(k∈Z)，又|φ|<，所以，φ＝.又图像过定点(0,1)，所以A＝1.综上可知，f(x)＝tan(2x＋)．故有f()＝tan(2×＋)＝tan＝.答案：9．设函数f(x)＝sin(2x＋)，给出下列四个命题：①为了得到函数f(x)的图像，只需把函数y＝sin2x的图像向左平移个单位；②函数f(x)在区间(－π，)内是增函数；③函数f(x)的一个对称中心是(，0)；④若在x∈[0，π]上关于x的方程f(x)＝m有两个不等的实根x1，x2，则x1＋x2＝.其中正确的命题的序号是____________解析：①中，y＝sin2xy＝sin2(x＝)＝sin(2x＋)，①错；②中，当x∈(－π，)时，2x＋∈(－，)，f(x)为增函数，②正确；③中，f(π)＝0，③正确；④中，满足题意的x1，x2关于f(x)的对称轴对称，由2x＋＝kπ＋得x＝＋，k∈Z.∵x∈[0，π]，∴对称轴为x＝或x＝，故x1＋x2＝或π，④错误．答案：②③三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知函数f(x)＝，g(x)＝sin2x－.(1)函数f(x)的图像可由函数g(x)的图像经过怎样的变化得出？(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值，并求使h(x)取得最小值的x的集合．解析：(1)f(x)＝cos2x＝sin(2x＋)＝sin2(x＋)．所以要得到f(x)的图像，只需要把g(x)的图像向左平移个单位长度，再将所得的图像向上平移个单位长度即可．(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos2x－sin2x＋-6-\n＝cos(2x＋)＋，当2x＋＝2kπ＋π(k∈Z)时，h(x)取得最小值－＋＝.h(x)取得最小值时，对应的x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．11．(2012年靖安模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图像如图所示：(1)求函数f(x)的解析式并写出其所有对称中心；(2)若g(x)的图像与f(x)的图像关于点P(4,0)对称，求g(x)的单调递增区间．解析：(1)由题图可得．A＝，＝6－(－2)＝8，所以，T＝16，ω＝，则此时f(x)＝sin(x＋φ)，将点(2，)代入，可得φ＝.∴f(x)＝sin(x＋)；对称中心为(8k－2,0)(k∈Z)．(2)由g(x)的图像与f(x)的图像关于点P(4,0)对称，得g(x)＝－f(8－x)，∴g(x)＝－sin[(8－x)＋]＝－sin(－x)＝sin(x－)，令2kπ－≤x－≤2kπ＋得16k＋6≤x≤16k＋14即g(x)的单调递增区间为[16k＋6,16k＋14]k∈Z.12．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，该商品每件的售价为g(x)(x为月份)，且满足g(x)＝f(x－2)＋2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f(x)、售价函数g(x)的解析式；-6-\n(2)问哪几个月能盈利？解析：(1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，由题意可得，A＝2，B＝6，ω＝，φ＝－，所以f(x)＝2sin(x－)＋6(1≤x≤12，x为正整数)，g(x)＝2sin(x－π)＋8(1≤x≤12，x为正整数)．(2)由g(x)>f(x)，得sinx<.2kπ＋π<x<2kπ＋π，k∈Z，∴8k＋3<x<8k＋9，k∈Z，∵1≤x≤12，k∈Z，∴k＝0时，3<x<9，∴x＝4,5,6,7,8；k＝1时，11<x<17，∴x＝12.故4,5,6,7,8,12月份能盈利．-6-
