专题升级训练13 直线与圆(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为( )．A．x－y＋1＝0B．x－y＝0C．x＋y＋1＝0D．x＋y＝02．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2－4y＝0的圆心，则a的值为( )．A．－1B．1C．2D．－23．“a＝3”是“直线ax＋2y＋2a＝0和直线3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行”的( )．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )．A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1D．(x－2)2＋(y－2)2＝15．(2012·浙江四校联考，4)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )．A．5B．10C．15D．206．(2012·四川凉山州二模，10)若直线y＝kx(k≠0)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且点C(3,0)．若点M(a，b)满足＋＋＝0，则a＋b＝( )．A．B．C．2D．17．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x－y＝0对称，动点P(a，b)在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则W＝的取值范围是( )．A．[2，＋∞)B．(－∞，－2]C．[－2,2]D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)8．(2012·浙江镇海中学模拟，10)若圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝8上有且只有两个点到直线x＋y＋m＝0的距离等于，则实数m的取值范围是( )．A．(－6，－2)∪(2,6)B．(－8，－4)∪(4,8)C．(2,6)D．(4,8)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)9．设直线的斜率为k，且－1＜k＜，则直线的倾斜角α的取值范围为__________．10．(2012·浙江温州一模，7)若圆x2＋y2－4x＋2my＋m＋6＝0与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是__________．11．(2012·江苏镇江5月模拟，11)已知曲线C：x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)与直线x＋y＝4相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1y2＋x2y1的值为________．12．(2012·浙江名校交流，17)封闭曲线C由圆弧C1：x2＋y2＝169(x≤5)和C2：(x－14)2＋y2＝225(x≥5)组成．设曲线C与x轴正方向的交点为A，O为坐标原点，P为曲线C上一点，且|PA|＝3|PO|，则P点的横坐标是__________．三、解答题(本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)-5-\n13．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．14．(本小题满分10分)已知两圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0，C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.(1)证明此两圆相切；(2)求过点P(2,3)，且与两圆相切于点T(1,0)的圆的方程．15．(本小题满分12分)已知直线l：y＝x＋m，m∈R.(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．16．(本小题满分12分)(2012·浙江镇海中学模拟，19)已知过点P(0，－2)，且斜率为k的直线l与圆C：x2＋y2－10x－2y＋22＝0交于A，B两点，若5＝3，求k的值．-5-\n参考答案一、选择题1．A 解析：由题意知直线l与直线PQ垂直，所以kl＝－＝－＝1.又直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.2．D 解析：求出圆心的坐标，将圆心坐标代入直线方程即可．3．A4．B 解析：圆心C1(－1,1)关于直线x－y－1＝0的对称点为C2(2，－2)，故选B.5．B 解析：AC＝2，BD＝2＝2，则四边形ABCD的面积为S＝×AC×BD＝10，故选B.6．D 解析：将y＝kx代入x2＋y2＝1并整理有(k2＋1)x2－1＝0，∴x1＋x2＝0.∵＋＋＝0，∴M为△ABC的重心．∴a＝，b＝，故a＋b＝＝＝1.7．D 解析：圆方程可化为2＋2＝(k2＋m2＋16)．由已知得解得k＝－1，m＝－1，∴不等式组为其表示的平面区域如图．∴W＝表示动点P(a，b)与定点Q(1,2)连线的斜率．于是可知，W≤kAQ，或W≥kOQ，即W≤－2，或W≥2.故选D.8．A 解析：圆心C(－1,1)到直线x＋y＋m＝0的距离d＝.由题意结合图形易知∴＜d＜3，得2＜|m|＜6，即m∈(－6，－2)∪(2,6)，故选A.二、填空题9．∪ 解析：由－1＜k＜0，得＜α＜π.由0≤k＜，得0≤α＜，故直线的倾斜角α的取值范围为∪.10．－6＜m＜－2或m＞3 解析：(1)因方程x2＋y2－4x＋2my＋m＋6＝0表示圆，则有m2-5-\n－m－2＞0，得m＞2或m＜－1.(2)方程y2＋2my＋m＋6＝0的两根同号，则有或得－6＜m＜－2或m＞3.综合(1)(2)得－6＜m＜－2或m＞3.11．9 解析：将y＝4－x代入x2＋y2＝9中并整理有2x2－8x＋7＝0，解得x1＝2＋，x2＝2－，从而得A，B，故x1y2＋x2y1＝9.12．－ 解析：由条件可得A(29,0)．又点P在圆弧C1上，设P(x，y)，则则x＝－.三、解答题13．解：(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为＝3.所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2＞0.从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②由①②得a＝－1，满足Δ＞0，故a＝－1.14．(1)证明：两圆的方程可分别化为C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝13，C1(－2,2)，r1＝；C2：(x－4)2＋(y＋2)2＝13，C2(4，－2)，r2＝.∴圆心距|C1C2|＝2＝r1＋r2，即两圆外切．(2)解：设所求圆的方程为C3：(x－a)2＋(y－b)2＝r23.∵T(1,0)在C1，C2，C3上，∴圆心(a，b)在直线lC1C2：y＝－(x－1)上，∴b＝－(a－1)．①又由|C3P|＝|C3T|，得(a－2)2＋(b－3)2＝(a－1)2＋b2.②由方程①②，解得a＝－4，b＝，∴r23＝(a－1)2＋b2＝，故所求圆的方程为(x＋4)2＋2＝.15．解法一：(1)依题意，点P的坐标为(0，m)．-5-\n因为MP⊥l，所以×1＝－1.解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)．从而圆的半径r＝|MP|＝＝2.故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.(2)因为直线l的方程为y＝x＋m，所以直线l′的方程为y＝－x－m.由得x2＋4x＋4m＝0.Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．①当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切；②当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．解法二：(1)设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，则解得所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.(2)同解法一．16．解：直线l的方程为y＝kx－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得(1＋k2)x2－(6k＋10)x＋30＝0.则有又5＝3，得5x1＝3x2，代入上式得消去x1，得32(1＋k2)＝(3k＋5)2，解得k＝1或k＝.当直线l方程为x－y－2＝0时，圆心到直线l的距离为d＝＜2，即直线l与圆相交，符合题意；当直线l方程为7x－23y－46＝0时，圆心到直线l的距离为d＝＜2，即直线l与圆也相交，符合题意．故所求k的值为k＝1或k＝.-5-
