专题升级训练5 函数与方程及函数的应用(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为( )．A．－2B．－C．D．22．已知a是函数的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足( )．A．f(x0)＝0B．f(x0)＜0C．f(x0)＞0D．f(x0)的符号不确定3．(2012·江西南昌一模，文9)已知函数f(x)＝|lgx|－x有两个零点x1，x2，则有( )．A．0＜x1x2＜1B．x1x2＝1C．1＜x1x2＜2D．x1x2≥24．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1时后再以50千米/时的速度返回A地，汽车离开A地的距离x(千米)与时间t(时)之间的函数表达式是( )．A．x＝60tB．x＝60t＋50tC．x＝D．x＝5．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )．A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)6．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )．A．6B．7C．8D．9二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)7．若函数f(x)＝log2(x＋1)－1的零点是抛物线x＝ay2的焦点的横坐标，则a＝__________.8．已知f(x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f(x)－a的零点个数不为0，则a的最小值为__________．9．已知y与x(x≤100)之间的部分对应关系如下表：x1112131415…y…则x和y可能满足的一个关系式是__________．三、解答题(本大题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分15分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.(1)若f(－1)＝0，试判断函数f(x)零点的个数；(2)若∀x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，试证明∃x0∈(x1，x2)，使f(x0)＝[f(x1)＋f(x2)]成立．-4-\n11．(本小题满分15分)某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2≤t≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40)，根据市场调查，销售量q与ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；(2)若t＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂每日的利润最大？并求最大值．12．(本小题满分16分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)-4-\n参考答案一、选择题1．B 解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－．故选B．2．B 解析：分别作出y＝2x与的图象如图，当0＜x0＜a时，y＝2x的图象在图象的下方，所以f(x0)＜0．故选B．3．A 解析：根据函数图象可知函数f(x)的两个零点一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1，＋∞)内，不妨设x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)，则|lgx1|＝且|lgx2|＝，根据x1，x2的范围去掉绝对值得－lgx1＝且lgx2＝，由于＞，所以－lgx1＞lgx2，由此得lgx1＋lgx2＜0，即lg(x1x2)＜0，即0＜x1x2＜1．4．D 解析：到达B地需要＝2.5小时，所以当0≤t≤2.5时，x＝60t；当2.5＜t≤3.5时，x＝150；当3.5＜t≤6.5时，x＝150－50(t－3.5)．故选D．5．C 解析：∵方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝m2－4＞0．∴m2＞4，即m＞2或m＜－2．6．B 解析：当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1．根据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为2，可知y＝f(x)在[0,6)上有6个零点，又f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0，所以y＝f(x)的图象在[0,6]上与x轴的交点个数为7．二、填空题7． 解析：令f(x)＝log2(x＋1)－1＝0，得函数f(x)的零点为x＝1，于是抛物线x＝ay2的焦点的坐标是(1,0)，因为x＝ay2可化为y2＝x，所以解得a＝．8．1 解析：g(x)的零点个数不为零，即f(x)图象与直线y＝a的交点个数不为零，画出f(x)的图象可知，a的最小值为1．9．y(108－x)＝2三、解答题10．(1)解：∵f(－1)＝0，∴a－b＋c＝0，b＝a＋c．∵Δ＝b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2，当a＝c时Δ＝0，函数f(x)有一个零点；当a≠c时，Δ＞0，函数f(x)有两个零点．(2)证明：令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，则-4-\ng(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]＝，g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝，∴g(x1)·g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2＜0．(f(x1)≠f(x2))．∴g(x)＝0在(x1，x2)内必有一个实根，即∃x0∈(x1，x2)，使f(x0)＝[f(x1)＋f(x2)]成立．11．解：(1)设日销量q＝，则＝100，∴k＝100e30，∴日销量q＝，∴y＝(25≤x≤40)．(2)当t＝5时，y＝，y′＝，由y′＞0，得x＜26，由y′＜0，得x＞26，∴y在[25,26)上单调递增，在(26,40]上单调递减，∴当x＝26时，ymax＝100e4．当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂每日的利润最大，最大值为100e4元．12．解：(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b．再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)＝(2)依题意并由(1)可得f(x)＝当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤2＝，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值．综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时．-4-
