专题升级训练28 解答题专项训练(概率与统计)1．(2012·江西重点中学盟校联考，文17)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X12345频率a0.20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率．2．(2012·山东烟台一模，文20)调查某初中1000名学生的肥胖情况，得下表：偏瘦正常肥胖女生(人)100173y男生(人)x177z已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15.(1)求x的值；(2)若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在肥胖学生中抽多少名？(3)已知y≥193，z≥193，求肥胖学生中男生不少于女生的概率．3．(2012·河北邯郸一模，文18)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)，若从这6天的数据中随机抽出2天．(1)求恰有一天空气质量超标的概率；(2)求至多有一天空气质量超标的概率．4．为了解某居民小区住户的年收入和年饮食支出的关系，抽取了其中5户家庭的调查数据如下表：年收入x(万元)34567年饮食支出y(万元)11.31.522.2(1)根据表中数据用最小二乘法求得回归直线方程＝x＋中的＝0.31，请预测年收入为9万元家庭的年饮食支出；(2)从5户家庭中任选2户，求“恰有一户家庭年饮食支出小于1.6万元”的概率．5．(2012·湖北武汉调研，文20)某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生的视力，将调查结果分组，分组区间为(3.9,4.2]，(4.2,4.5]，…，(5.1,5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：分组频数频率(3.9,4.2]30.06(4.2,4.5]60.12(4.5,4.8]25x-5-\n(4.8,5.1]yz(5.1,5.4]20.04合计n1.00(1)求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；(2)从样本中视力在(3.9,4.2]和(5.1,5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．6．(2012·北京朝阳模拟，文16)某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)下表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值；区间[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50]人数5050a150b(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(3)在(2)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．7．(2012·广东汕头质检，文17)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，……，第五组[17,18]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；(2)设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13,14)∪[17,18]，求事件“|m－n|＞1”的概率．-5-\n参考答案1．解：(1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35．因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝＝0.15．等级系数为5的恰有2件，所以c＝＝0.1．从而a＝0.35－b－c＝0.1．所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1．(2)从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，所有可能的结果为{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}．设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共4个．又基本事件的总数为10，故所求的概率P(A)＝＝0.4．2．解：(1)由题意可知，＝0.15，所以x＝150(人)．(2)由题意可知，肥胖学生人数为y＋z＝400(人)．设应在肥胖学生中抽取m人，则＝，所以m＝20(人)，所以应在肥胖学生中抽20名．(3)由题意可知，y＋z＝400，且y≥193，z≥193，满足条件的(y，z)有(193,207)，(194,206)，…，(207,193)，共有15组．设事件A为“肥胖学生中男生不少于女生”，即y≤z，满足条件的(y，z)有(193,207)，(194,206)，…，(200,200)，共有8组，所以P(A)＝．即肥胖学生中女生少于男生的概率为．3．解：由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标．记未超标的4天为a，b，c，d，超标的两天为e，f．则从6天中抽取2天的所有情况为：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，基本事件数为15．(1)记“6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A，可能结果为：ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，基本事件数为8．∴P(A)＝；(2)记“至多有一天空气质量超标”为事件B，“2天都超标”为事件C，其可能结果为ef，故P(C)＝，∴P(B)＝1－P(C)＝1－＝．4．解：(1)＝＝5，＝＝1.6，又＝0.31，代入＝＋，解得＝0.05，-5-\n∴＝0.31x＋0.05，当x＝9时，解得＝2.84(万元)．∴年收入为9万元家庭的年饮食支出约为2.84万元．(2)记“年饮食支出小于1.6万元”的家庭为a，b，c；“年饮食支出不小于1.6万元”的家庭为M，N．设“从5户家庭中任选2户，恰有一户家庭年饮食支出小于1.6万元”为事件A．所有基本事件为(a，b)，(a，c)，(a，M)，(a，N)，(b，c)，(b，M)，(b，N)，(c，M)，(c，N)，(M，N)，共10个基本事件．事件A包含的基本事件有(a，M)，(a，N)，(b，M)，(b，N)，(c，M)，(c，N)，共6个，∴P(A)＝＝0.6．答：从5户家庭中任选2户恰有一户家庭年饮食支出小于1.6万元的概率是0.6．5．解：(1)由频率分布表可知，样本容量为n，由＝0.04，得n＝50．∴x＝＝0.5，y＝50－3－6－25－2＝14，z＝＝＝0.28．(2)记样本中视力在(3.9,4.2]的3人为a，b，c，在(5.1,5.4]的2人为d，e．由题意，从5人中随机抽取两人，所有可能的结果有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种．设事件A表示“两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A包含的可能的结果有：(a，b)，(a，c)，(b，c)，(d，e)，共4种．∴P(A)＝＝．故两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为．6．解：(1)由题设可知，a＝0.08×5×500＝200，b＝0.02×5×500＝50．(2)因为第1,2,3组共有50＋50＋200＝300人，利用分层抽样在300名员工中抽取6名，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为6×＝1，第2组的人数为6×＝1，第3组的人数为6×＝4，所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人．(3)设第1组的1位员工为A，第2组的1位员工为B，第3组的4位员工为C1，C2，C3，C4，则从六位员工中抽两位员工有：(A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共15种可能．其中2人年龄都不在第3组的有：(A，B)，共1种可能，所以至少有1人年龄在第3组的概率为1－＝．7．解：(1)由频率分布直方图知，成绩在[14,15)内的人数为：50×0.20＝10(人)，成绩在[15,16)内的人数为：50×0.38＝19(人)．所以成绩在[14,16)内的人数为29人，所以该班成绩良好的人数为29人．(2)由频率分布直方图知，成绩在[13,14)的人数为50×0.06＝3人，且记为x，y，z；成绩在[17,18]的人数为50×0.04＝2人，且记为A，B．若m，n∈[13,14)时，有xy，xz，yz共3种情况；-5-\n若m，n∈[17,18]时，有AB共1种情况；若m，n分别在[13,14)和[17,18]内时，有xA，xB，yA，yB，zA，zB，共6种情况，所以，基本事件总数为10种．事件“|m－n|＞1”记为M，则事件M包含的基本事件个数有6种：xA，xB，yA，yB，zA，zB，所以P(M)＝＝，所以事件“|m－n|＞1”的概率为．-5-
