江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题17附加题21题回顾2009～2012年的高考考题，附加题选做(四选二)中分别考查几何证明选讲、极坐标与参数方程、矩阵与变换、不等式选讲这四个内容，要求考生从中选择两个来完成，每题10分，难度不是很大，但是要求考生对所学知识点熟练掌握. (2012·江苏高考)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.[解] 证明：如图，连结AD.∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°.∴AD⊥BD.又∵BD＝DC，∴AD是线段BC的中垂线．∴AB＝AC.∴∠B＝∠C.又∵D，E为圆上位于AB异侧的两点，∴∠B＝∠E.∴∠E＝∠C.(1)本题利用中间量代换的方法证明∠E＝∠C，一方面考虑到∠B和∠E是同弧所对圆周角相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到∠B＝∠C.-7-\n(2)本题还可连结OD，利用三角形中位线来证明∠B＝∠C. (2012·泰州期末)已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC.(1)求证：FB＝FC；(2)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝3，求AD的长．解：(1)证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC.∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC.∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.(2)∵AB是圆的直径，∴∠ACD＝90°.∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝∠EAC＝60°，∠D＝30°.在Rt△ACB中，∵BC＝3，∠BAC＝60°，∴AC＝3.又在Rt△ACD中，∠D＝30°，AC＝3，∴AD＝6. (2012·江苏高考)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值．[解] ∵A－1A＝E，∴A＝(A－1)－1.∵A－1＝，∴A＝(A－1)－1＝.∴矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得矩阵A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，从而可求出矩阵A的特征值． (2012·泰州期末)已知矩阵A＝，B＝，求满足AX＝B的二阶矩阵X.-7-\n解：由题意得A－1＝，∵AX＝B，∴X＝A－1B＝＝. (2012·江苏高考)在极坐标中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．[解] ∵圆C圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，∴在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1.∴圆C的圆心坐标为(1,0)．∵圆C经过点P，∴圆C的半径为PC＝＝1.∴圆C经过极点，∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.求圆的方程的关键是求出圆心坐标和圆的半径． (2012·南通二模)在极坐标系中，圆C1的方程为ρ＝4cos，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程(θ为参数)，若圆C1与圆C2相切，求实数a的值．解：C1：(x－2)2＋(y－2)2＝8，圆心C1(2,2)，半径r1＝2.C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2，圆心C2(－1，－1)，半径r2＝|a|.∴圆心距C1C2＝3.两圆外切时，C1C2＝r1＋r2＝2＋|a|＝3，a＝±；两圆内切时，C1C2＝|r1－r2|＝|2－|a||＝3，-7-\na＝±5.综上，a＝±或a＝±5. (2012·江苏高考)已知实数x，y满足：|x＋y|<，|2x－y|<，求证：|y|<.[证明] ∵3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|<，|2x－y|<，∴3|y|<＋＝.∴|y|<.解决本题的关键是用(x＋y)和(2x－y)表示y. (2012·南通二模)已知x，y，z均为正数．求证：＋＋≥＋＋.证明：因为x，y，z都为正数，所以＋＝≥.同理，可得＋≥，＋≥.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得＋＋≥＋＋. (1)几何证明选讲主要考查直线与圆的相切关系，弦切角定理是沟通角的桥梁，解决与圆有关的线段问题常利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理，并结合三角形相似等知识；(2)矩阵与变换主要考查变换、矩阵的特征值与特征向量、逆矩阵、二阶矩阵的乘法；(3)极坐标与参数方程主要考查参数方程与普通方程的互化及应用参数方程求最值、范围等问题；(4)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号化为不含绝对值的不等式，其过程体现了分类讨论思想的应用．-7-\n1.(2012·苏北四市三模)如图，圆O的直径AB＝4，C为圆周上一点，BC＝2，过C作圆O的切线l，过A作l的垂线AD分别与直线l，圆O交于点D，E，求线段AE的长．解：在Rt△ABC中，因为AB＝4，BC＝2，所以∠ABC＝60°，因为l为过C的切线，所以∠DCA＝∠CBA，所以∠DCA＝∠ABC＝60°.又因为AD⊥DC，所以∠DAC＝30°.在△AOE中，因为∠EAO＝∠DAC＋∠CAB＝60°，且OE＝OA，所以AE＝AO＝AB＝2.2.如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE＝AC，求证：∠PDE＝∠POC.证明：因AE＝AC，AB为直径，故∠OAC＝∠OAE.所以∠POC＝∠OAC＋∠OCA＝∠OAE＋∠OAC＝∠EAC.又∠EAC＝∠PDE，所以∠PDE＝∠POC.3．(2012·扬州期末)求矩阵M＝的特征值和特征向量．解：f(λ)＝(λ＋1)(λ－6)－8＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)，由f(λ)＝0，可得λ1＝7，λ2＝－2.由可得属于λ1＝7的一个特征向量为.由可得属于λ1＝－2的一个特征向量为.4．(2012·南通二模)已知M＝，β＝，计算M5β.解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得它们对应的一个特征向量分别为α1＝，α2＝.令β＝mα1＋nα2，所以求得m＝4，n＝－3.M5β＝M5(4α1－3α2)＝4(M5α1)－3(M5α2)＝4(λα1)－3(λα2)-7-\n＝4·35－3(－1)5＝.5．已知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.解：∵A＝，∴A2＝＝.设α＝，则A2α＝β⇔＝⇔＝.∴∴∴α＝.6．已知P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的点，求M＝x＋2y的取值范围．解：∵＋y2＝1的参数方程(θ为参数)∴设P(2cosθ，sinθ)．∴M＝x＋2y＝2cosθ＋2sinθ＝2sin.∴M＝x＋2y的取值范围是[－2，2]．7．(2012·泰州期末)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝6sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l被曲线C截得的线段长度．解：将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋y2－6y＝0，即x2＋(y－3)2＝9，它表示以(0,3)为圆心，3为半径的圆．直线方程l的普通方程为y＝x＋1，圆C的圆心到直线l的距离d＝＝1，故直线l被曲线C截得的线段长度为2＝4.8．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.(1)求直线l的倾斜角；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求AB.解：(1)设直线l的倾斜角为θ，则且θ∈[0，π)，-7-\n∴θ＝，即直线l的倾斜角为.(2)l的直角坐标方程为y＝x＋，ρ＝2cos的直角坐标方程为2＋2＝1，∴圆心到直线l的距离d＝，∴AB＝.9．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－y＋1|的最大值．解：法一：|x－y＋1|＝|(x－1)－(y－2)|≤|x－1|＋|y－2|≤2.当且仅当x＝2，y＝3或x＝0，y＝1时，取等号．∴|x－y＋1|的最大值为2.法二：∵|x－1|≤1，∴0≤x≤2.∵|y－2|≤1，∴1≤y≤3.∴－3≤－y≤－1.∴－2≤x－y＋1≤2.∴|x－y＋1|的最大值为2.10．若正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求＋＋的最小值．解：因为正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，所以[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)]≥(1＋1＋1)2，即＋＋≥1，当且仅当3a＋2＝3b＋2＝3c＋2，即a＝b＝c＝时，原式取最小值1. -7-
