2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：2013.4.181．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则A．B．C．D．2．已知复数的实部为，且，则复数的虚部是A．B．C．D．3．已知数列是等差数列，若，则数列的公差等于A．1B．3C．5D．64.为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是90110周长(cm)频率/组距1001201300.010.020.0480第4题图A．30B．60C．70D．805．函数，,则A．为偶函数，且在上单调递减；B．为偶函数，且在上单调递增；C．为奇函数，且在上单调递增；D．为奇函数，且在上单调递减.6．下列命题中假命题是11\nA．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；B．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直；C．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；D．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行．7．直线与不等式组表示的平面区域的公共点有A．个B.个C.个D.无数个8．将边长为的等边三角形沿轴滚动，某时刻与坐标原点重合（如图），设顶点的轨迹方程是，关于函数的有下列说法：OyxPBA第8题图①的值域为；②是周期函数；③；④.其中正确的说法个数为:A.0B.C.D.二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题(9～13题)9．命题“R，0”的否定是.10.已知向量满足,,向量与的夹角为.11．若二项式展开式中的系数等于的系数的倍，则等于.12．已知圆经过点和,且圆心在直线上,则圆的方程为.第13题图13．将集合{|且}中的元素按上小下大，左小右大的顺序排成如图的三角形数表，将数表中位于第行第列11\n的数记为（）,则=.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)第15题图14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线与的交点分别为，则线段的垂直平分线的极坐标方程为．15．（几何证明选讲）如图，圆的直径，直线与圆O相切于点，于，若，设，则______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，以为始边，角的终边与单位圆的交点在第一象限，已知.（1）若,求的值；（2）若点横坐标为,求.17．（本题满分12分）乙甲丙第17题图市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车相互独立.假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班.假设道路、、上下班时间往返出现拥堵的概率都是,道路、上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到.（1）求李生小孩按时到校的概率；（2）李生是否有七成把握能够按时上班？（3）设表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求的均值.11\n18．（本题满分14分）如图甲，设正方形的边长为,点分别在上,并且满足,如图乙,将直角梯形沿折到的位置,使点在平面上的射影恰好在上．（1）证明：平面；图甲图乙第18题图（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．19．（本题满分14分）在平面直角坐标系内，动圆过定点,且与定直线相切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）中心在的椭圆的一个焦点为,直线过点.若坐标原点关于直线的对称点在曲线上，且直线与椭圆有公共点,求椭圆的长轴长取得最小值时的椭圆方程.20．（本题满分14分）某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响，环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱，个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度11\n与时间(小时)的关系可近似地表示为：,只有当污染河道水中碱的浓度不低于时,才能对污染产生有效的抑制作用.（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？（2）第一次投放1单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到时,马上再投放1个单位的固体碱,设第二次投放后水中碱浓度为,求的函数式及水中碱浓度的最大值.（此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加）21．（本题满分14分）设函数，记的导函数，的导函数，的导函数，…，的导函数，.（1）求；（2）用n表示；（3）设，是否存在使最大？证明你的结论.2013年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测数学（理科）评分参考一、填空题CDBCABBC二、填空题9．R，010．11．12．13．14．（或）15．三、解答题16．⑴解法1、由题可知：，，……1分，……2分11\n，得……3分∴，……4分解法2、由题可知：，……1分，……2分∵，∴……3分，得……4分解法3、设，（列关于x、y的方程组2分，解方程组求得x、y的值1分，求正切1分）⑵解法1、由⑴，记，∴，（每式1分）……6分∵，得（列式计算各1分）……8分（列式计算各1分）……10分∴（列式计算各1分）……12分解法2、由题意得：的直线方程为……6分则即（列式计算各1分）……8分则点到直线的距离为（列式计算各1分）……10分又，∴（每式1分）…12分解法3、即（每式1分）…6分即：，，……7分，，……9分（模长、角的余弦各1分）∴……10分则（列式计算各1分）……12分11\n解法4、根据坐标的几何意义求面积（求B点的坐标2分，求三角形边长2分，求某个内角的余弦与正弦各1分，面积表达式1分，结果1分）17．⑴因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是和，因此从甲到丙遇到拥堵的概率是（列式计算各1分）……2分所以李生小孩能够按时到校的概率是；……3分⑵甲到丙没有遇到拥堵的概率是，……4分丙到甲没有遇到拥堵的概率也是，…5分甲到乙遇到拥堵的概率是，……6分甲到乙没有遇到拥堵的概率是，李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是，所以李生没有八成把握能够按时上班（计算结论各1分）……8分⑶依题意可以取.……9分=,=,=,…11分012分布列是：.……12分18．⑴证明：在图甲中，易知,从而在图乙中有，……1分因为平面，平面，所以平面（条件2分）……4分⑵解法1、如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则，……5分所以平面，则，……6分所以平面与平面所成二面角的平面角，……8分图甲中有，又，则三点共线，……9分设的中点为，则，易证，所以，，；……11分（三角形全等1分）又由，得，……12分于是，，……13分图甲图乙在中，11\n，即所求二面角的余弦值为．……14分图丙解法2、如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则，……5分所以平面，则，图甲中有，又，则三点共线，……6分设的中点为，则，易证，所以，则；又由，得，……7分于是，，在中，……8分作交于点，则，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则、、、，则（坐标系、坐标、向量各1分）……11分显然，是平面的一个法向量，……12分设是平面的一个法向量，则，即，不妨取，则，……13分设平面与平面所成二面角为，可以看出，为锐角，所以，，所以，平面与平面所成二面角的余弦值为．……14分19．⑴由题可知，圆心到定点的距离与到定直线的距离相等……2分由抛物线定义知,的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线……4分（确定“曲线是抛物线”1分，说明抛物线特征1分）所以动圆圆心的轨迹的方程为.……5分⑵解法1、11\n设，则中点为，因为两点关于直线对称，所以，即，解之得（中点1分，方程组2分，化简1分）……8分将其代入抛物线方程，得：，所以.……9分联立，消去，得：……11分由，得，……12分注意到，即，所以，即，……13分因此，椭圆长轴长的最小值为.此时椭圆的方程为.……14分解法2、设，因为两点关于直线对称，则，……6分即，解之得……7分即,根据对称性,不妨设点在第四象限，且直线与抛物线交于.则,于是直线方程为（斜率1分，方程1分）……9分联立，消去，得：……11分由，得，……12分注意到，即，所以，即，……13分因此，椭圆长轴长的最小值为.此时椭圆的方程为.……14分20．⑴由题意知或……2分解得或，即……3分能够维持有效的抑制作用的时间：小时.……4分⑵由⑴知，时第二次投入1单位固体碱，显然的定义域为……5分11\n当时，第一次投放1单位固体碱还有残留,故=+=;……6分当时，第一次投放1单位固体碱已无残留,故当时，=;……7分当时，;……8分所以……9分当时，==;当且仅当时取“=”,即（函数值与自变量值各1分）……11分当时，第一次投放1单位固体碱已无残留，当时，，所以为增函数;当时，为减函数;故=，……12分又,所以当时，水中碱浓度的最大值为.……13分答：第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时；第一次投放小时后,水中碱浓度的达到最大值为.……14分21．⑴易得,,……1分……2分,所以……3分⑵不失一般性，设函数的导函数为，其中，常数，.对求导得：……4分故由得：①，②，……5分③11\n由①得：，……6分代入②得：，即，其中故得：.……7分代入③得：，即，其中.故得：，……8分因此.将代入得：，其中.……9分（2）由（1）知，当时，，，故当最大时，为奇数.……10分当时，……11分又，，，因此数列是递减数列……12分又，，……13分故当或时，取最大值.……14分11
