第1讲 选择题技法指导纵观近几年的高考题，无论是全国卷还是省市自主命题卷，选择题是高考试题的三大题型之一．除上海卷外，其他高考卷中选择题的个数均在8～12之间，约占总分的27%～40%.该题型的基本特点是：绝大部分选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分地体现和应用，选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种以上的解法．正是因为选择题具有上述特点，所以该题型能有效地检测学生的思维层次及考查学生的观察、分析、判断、推理、基本运算、信息迁移等能力．选择题也在尝试创新，在“形成适当梯度”“用学过的知识解决没有见过的问题”“活用方法和应变能力”“知识的交会”等四个维度上不断出现新颖题，这些新颖题成为高考试卷中一道亮丽的风景线．1．直接法与定义法直接从题设条件出发，利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果，即“小题大做”，选择正确答案，这种解法叫直接法．直接法是选择题最基本的方法，绝大多数选择题都适宜用直接法解决．它的一般步骤是：计算推理、分析比较、对照选择．直接法又分定性分析法、定量分析法和定性、定量综合分析法．【例1】若△ABC的内角A，B，C所对边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )．A．B．8－4C．1D．变式训练1已知＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝( )．A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i2．数形结合法根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形或草图，借助几何图形的直观性、形状、位置、性质等图象特征作出正确的判断，得出结论．这种方法通过“以形助数”或“以数助形”，使抽象问题直观化、复杂问题简单化．【例2】设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－|x|.当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间为( )．A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)变式训练2若函数f(x)＝ex＋lnx，g(x)＝e－x＋lnx，h(x)＝e－x－lnx的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小依次为( )．A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a3．特例法与排除法用符合条件的特例，来检验各选择项，排除错误的，留下正确的一种方法叫特例法(特值法)，常用的特例有特殊数值、特殊函数、特殊数列、特殊图形等．排除法就是根据高考数学选择题中有且只有一个答案是正确的这一特点，在解题时，结合估算、特例、逻辑分析等手段先排除一些肯定是错误的选项，从而缩小选择范围确保答案的准确性，并提高答题速度．【例３】函数f(x)＝(0≤x≤2π)的值域是( )．A．B．[－1,0]C．[－，－1]D．变式训练3函数f(x)＝axm(1－x)n在区间[0,1]上的图象如图所示，则m，n的值可能是( )．-4-\nA．m＝1，n＝1B．m＝1，n＝2C．m＝2，n＝1D．m＝3，n＝14．估算法由于选择题提供了唯一正确的选择项，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义，估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．已知sinθ＝，cosθ＝，则tan＝( )．A．B．C．D．5变式训练4若D为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过D中的那部分区域的面积为( )．A．B．1C．D．2参考答案方法例析【例1】A 解析：由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2＋2ab－c2＝4，由C＝60°，得cosC＝＝＝.解得ab＝.【变式训练1】C 解析：本题可用验证法逐一验证，但以直接法最为简单．由＝1－ni，得m＝(1＋i)(1－ni)＝(1＋n)＋(1－n)i，根据复数相等的条件得∴∴m＋ni＝2＋i，故选C.【例2】C 解析：当K＝时，fK(x)＝＝即的图象如下图．-4-\n由图象可知，所求单调递增区间为(－∞，－1)．【变式训练2】D 解析：在同一坐标系中作出函数y＝ex，y＝e－x，y＝－lnx，y＝lnx的图象，则函数f(x)，g(x)，h(x)的零点a，b，c分别为函数y＝ex与y＝－lnx，y＝e－x与y＝－lnx，y＝e－x与y＝lnx图象交点的横坐标．观察图象可知c＞b＞a，故选D.【例3】B 解析：令sinx＝0，cosx＝1，则f(x)＝＝－1，排除A，D；令sinx＝1，cosx＝0，则f(x)＝＝0，排除C，故选B.【变式训练3】B 解析：若m＝1，n＝1，则函数f(x)＝ax(1－x)的图象的对称轴是x＝，与图象不符，排除A.在区间[0,1]上函数只有一个极值点，排除D.若m＝1，n＝2，则f(x)＝ax(1－x)2，f′(x)＝a(3x2－4x＋1)．由f′(x)＝a(3x2－4x＋1)＝0可知x1＝，x2＝1，结合图象可知函数在区间内递增，在区间内递减，即在x＝处取得最大值．由f＝a××＝知a存在．若m＝2，n＝1，则f(x)＝ax2(1－x)，f′(x)＝a(2x－3x2)，是极值点，显然与图象不符．【例4】D 解析：因为cos2θ＋sin2θ＝1，则m一定为确定的值，因此sinθ，cosθ的值与m无关，从而tan也与m无关，A，B排除．我们可估算tan的大致取值范围来排除不正确的答案，＜θ＜π，＜＜，所以tan＞1，故选D.【变式训练4】C 解析：如图知所求区域的面积是△OAB的面积减去Rt△CDB的面积，所求面积比1大，比S△OAB＝×2×2＝2小，故选C.-4-\n-4-
