专题升级训练16 计数原理、二项式定理(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )．A．24B．18C．12D．62．6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( )．A．1或3B．1或4C．2或3D．2或43．(x2＋2)5的展开式的常数项是( )．A．－3B．－2C．2D．34．设集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )．A．9个B．14个C．15个D．21个5．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是( )．A．74B．121C．－74D．－1216．将1,2,3，…，9这9个数字填在3×3的正方形方格中，要求每一列从上到下的数字依次增大，每一行从左到右的数字也依次增大，当4固定在中心位置时，则填写方格的方法有( )．A．6种B．12种C．18种D．24种二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)7．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为__________(用数字作答)．8．(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝__________.9．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝__________.三、解答题(本大题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分15分)将一个四棱锥的每个顶点染上颜色，使同一条棱上的两端点异色，如果有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数有多少种？11．(本小题满分15分)6个人坐在一排10个座位上，问(1)空位不相邻的坐法有多少种？(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？(3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？12．(本小题满分16分)(1)若(1＋x)n的展开式中，x3的系数是x的系数的7倍，求n.(2)已知(ax＋1)7(a≠0)的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，求a.-3-\n参考答案一、选择题1．B 解析：先分成两类：(一)从0,2中选数字2，从1,3,5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为；(二)从0,2中选数字0，从1,3,5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为.故满足条件的奇数的总个数为12＋6＝18.2．D 解析：6人之间互相交换，总共有种，而实际只交换了13次，故有2次未交换．不妨设为甲与乙、丙与丁之间未交换或甲与乙、甲与丙之间未交换，当甲与乙、丙与丁之间未交换时，甲、乙、丙、丁4人都收到4份礼物；当甲与乙、甲与丙之间未交换时，只有乙、丙两人收到4份礼物，故选D.3．D 解析：5的通项为Tr＋1＝C5－r(－1)r＝(－1)rC.要使(x2＋2)5的展开式为常数，须令10－2r＝2或0，此时r＝4或5.故(x2＋2)5的展开式的常数项是(－1)4×＋2×(－1)5×＝3.4．B 解析：∵P⊆Q，∴x＝2或x＝y，当x＝2时，y可取3,4，…，9等7个值，此时点的个数是7个；当x＝y时，x，y可取3,4，…，9等7个值，此时点的个数是7个，∴这样的点的个数是14个，∴选B.5．D 解析：(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8＝＝，∴展开式中含x3的项的系数为(1－x)5，(1－x)9的展开式中含x4的项的系数，为∴选D.6．B 解析：首先确定1,9分别在左上角和右下角，2,3只能在4的上方和左方，有2种填法，5,6,7,8填在其他位置有种方法．依分步乘法计数原理有种填法，所以选B.二、填空题7． 解析：基本事件总数为，事件“相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课”所包含的基本事件可分为三类，第一类：三节艺术课各不相邻有；第二类：有两节艺术课相邻有；第三类：三节艺术课相邻有.由古典概型概率公式得概率为＝.8．2 解析：∵，∴r＝3时，，∴a＝2.9．0 解析：(x－1)21的通项为，∴.∴.，∴.∴.三、解答题10．解：将四棱锥记为S－ABCD，先染S，A，B，由于颜色各不相同，∴有-3-\n种方法；再染C，D，若C的颜色与A相同，则D有3种染色方法，若C的颜色与A不相同，则C有2种染色方法，D有2种染色方法，依两个基本原理，不同的染色方法数为×(3＋2×2)＝420种．11．解：6个人坐在一起有种坐法，6人坐好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位．(1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中，有种插法，故空位不相邻的坐法有种．(2)将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插有种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有种．(3)4个空位至多有2个相邻的情况有三类：①4个空位各不相邻有种坐法；②4个空位有2个相邻，另有2个不相邻有种坐法；③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有种坐法．综上所述，应有种坐法．12．解：(1)，＝7n，n2－3n－40＝0，由n∈N*，得n＝8.(2)由题意知，,21a2＋35a4＝70a3，a≠0，得5a2－10a＋3＝0⇒a＝1±.-3-
