专题升级训练29解答题专项训练(解析几何)1．设有半径为3千米的圆形村落，A，B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇．设A，B两人速度一定，其速度比为3∶1，问两人在何处相遇？2．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1的直线l，使得l被圆C截得的弦为AB，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．3．设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．4．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．5.(2012·安徽芜湖一中，理19)如图，椭圆C1：=1(a>b>0)的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长．(1)求C1，C2的方程；(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.求的值．6.设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果|AB|＝，求椭圆C的方程．7．已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，且|F1F2|＝2，∠F1PF2＝，△F1PF2的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)点M的坐标为，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点，对于任意的k∈R，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．8．(2012·安徽师大附中五模，理20)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与圆O：x2＋y2＝3相切，过C的左焦点且斜率为的直线也与圆O相切．(1)求双曲线C的方程；(2)P是圆O上在第一象限内的点，过P且与圆O相切的直线l与C的右支交于A，B两点，△AOB的面积为3，求直线l的方程．-5-\n参考答案1．解：建立如图所示平面直角坐标系，由题意，可设A，B两人速度分别为3v千米/时，v千米/时，再设出发x0小时后，A在点P改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇．则P，Q两点坐标为(3vx0,0)，(0，vx0＋vy0)．由|OP|2＋|OQ|2＝|PQ|2知，(3vx0)2＋(vx0＋vy0)2＝(3vy0)2，即(x0＋y0)(5x0－4y0)＝0.∵x0＋y0＞0，∴5x0＝4y0.①将①代入kPQ＝－，得kPQ＝－.又已知PQ与圆相切，直线PQ在y轴上的截距就是两人相遇的位置．设直线y＝－x＋b(b＞0)与圆x2＋y2＝9相切，则有＝3，解得b＝.答：A，B相遇点在离村中心正北千米处．2．解：假设l存在，设其方程为y＝x＋m，代入x2＋y2－2x＋4y－4＝0，得2x2＋2(m＋1)x＋m2＋4m－4＝0.再设A(x1，y1)，B(x2，y2)，于是x1＋x2＝－(m＋1)，x1x2＝.以AB为直径的圆经过原点，即直线OA与OB互相垂直，也就是kOA·kOB＝－1，所以·＝－1，即2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0，将x1＋x2＝－(m＋1)，x1x2＝，代入整理得m2＋3m－4＝0，解得m＝－4或m＝1.故所求的直线存在，且有两条，其方程分别为x－y＋1＝0，x－y－4＝0.3．证明：(1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k12＋2＝0，这与k1为实数的事实相矛盾．从而k1≠k2，即l1与l2相交．(2)方法一：由方程组解得交点P的坐标为，而2x2＋y2＝22＋2＝＝＝1.此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．方法二：交点P的坐标(x，y)满足故知x≠0.从而代入k1k2＋2＝0，得·＋2＝0.-5-\n整理后，得2x2＋y2＝1.所以交点P在椭圆2x2＋y2＝1上．4．解：(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4，知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)．设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，又y32＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.5．解：(1)由题意知e＝＝，从而a＝2b.又2＝a，所以a＝2，b＝1.故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，y＝x2－1.(2)证明：由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝kx.由得x2－kx－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝k，x1x2＝－1.又点M的坐标为(0，－1)，所以kMA·kMB＝·＝＝＝＝－1.故MA⊥MB，即MD⊥ME，故＝0.6．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，y1<0，y2>0.(1)直线l的方程为y＝(x－c)，其中c＝.联立得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0，解得y1＝，y2＝.因为，所以－y1＝2y2.即＝2·，得离心率e＝＝.(2)因为|AB|＝|y2－y1|，所以·＝，由＝，得b＝a.所以a＝，得a＝3，b＝.椭圆C的方程为＋＝1.7．解：(1)设|PF1|＝m，|PF2|＝n.-5-\n在△PF1F2中，由余弦定理得22＝m2＋n2－2mncos，化简得，m2＋n2－mn＝4.由＝，得mnsin＝.化简得mn＝.于是(m＋n)2＝m2＋n2－mn＋3mn＝8.∴m＋n＝2，由此可得，a＝.又∵半焦距c＝1，∴b2＝a2－c2＝1.因此，椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由已知得F2(1,0)，直线l的方程为y＝k(x－1)，由消去y得，(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.∵＝＝＋y1y2＝＋k2(x1－1)(x2－1)＝(k2＋1)x1x2－(x1＋x2)＋＋k2＝(k2＋1)－＋＋k2＝＋＝－.由此可知＝－为定值．8．解：(1)∵双曲线C与圆O相切，∴a＝.由过C的左焦点且斜率为的直线也与圆O相切，得c＝2，进而b＝1，故双曲线C的方程为－y2＝1.(2)设直线l：y＝kx＋m(k<0，m>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．圆心O到直线l的距离d＝，由d＝得m2＝3k2＋3.由得(3k2－1)x2＋6kmx＋3m2＋3＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝.|AB|＝·|x2－x1|＝·＝·＝·.又△AOB的面积S＝|OP|·|AB|＝|AB|＝3，-5-\n∴|AB|＝2.由＝2，解得k＝－1(k＝1舍去)，m＝，此时式Δ>0，∴直线l的方程为y＝－x＋.-5-
